話說靜液壓強(qiáng)計(jì)算公式

戶文好

(蠡縣中學(xué) 河北 保定 071400)

說到靜液壓強(qiáng)計(jì)算公式我們?cè)偈煜げ贿^了，從初中教科書中我們就已經(jīng)知道

p=ρgh

然而，你可曾知道這是一個(gè)片面的公式，或說是個(gè)“相對(duì)壓強(qiáng)”公式.讓我們來考察一下這個(gè)公式的推導(dǎo)過程.

圖1

如圖1所示，在靜止的、密度為ρ的液體中， 劃出了一個(gè)上下粗細(xì)均勻，截面積為S的豎直液柱．液柱由液面至深h處．已知液柱在側(cè)面所受各方向液體的水平壓力，大小相等且相互平衡.在豎直方向受向下的重力G和向上的液體的壓力pS，由于液體處于靜止平衡狀態(tài)，故而可知

pS=G

即

pS=ρghS

從而可得

p=ρgh

(1)

這就是我們所熟知的深h處的靜液壓強(qiáng)計(jì)算公式.

推導(dǎo)出這個(gè)公式有一個(gè)重要條件常常被忽略，那就是沒有計(jì)算液面上的壓強(qiáng)p0.事實(shí)上通常液面上是有壓強(qiáng)的，比如說大氣壓強(qiáng).

那么，這個(gè)公式是不是有點(diǎn)兒?jiǎn)栴}，起碼是不夠全面吧！不夠全面用起來就短不了出錯(cuò).

例如：一個(gè)水杯中盛有高h(yuǎn)=10 cm的水，杯口敞開，杯底有一空氣泡.問空氣泡的壓強(qiáng)有多大?已知環(huán)境的大氣壓強(qiáng)p0=1.0×105Pa.

此題如果用公式p=ρgh計(jì)算,得出空氣泡的壓強(qiáng)

p=ρgh

代入數(shù)據(jù)得

p=0.98×103Pa

只有大氣壓強(qiáng)p0=1.0×105Pa的百分之一，顯然是錯(cuò)誤的，應(yīng)該比大氣壓強(qiáng)大才對(duì).

圖2

全面的計(jì)算應(yīng)該考慮表面上的壓強(qiáng)，如圖2所示.與圖1相比，只是所劃出來的液柱，多了液面上向下的壓力p0S.由于液體處于靜止平衡狀態(tài)，故而可知

pS=p0S+G=p0S+ρghS

從而可得

p=p0+ρgh

(2)

這就是全面的計(jì)算靜液壓強(qiáng)的公式.

按此全面的計(jì)算靜液壓強(qiáng)的公式，上述水杯中空氣泡的壓強(qiáng)應(yīng)為

p=p0+ρgh

代入數(shù)據(jù)得

p=1.01×105Pa

這才是正確答案.

公式(1)所計(jì)算的壓強(qiáng)，忽略了表面外力作用，常稱之為“相對(duì)壓強(qiáng)”，考慮表面外力作用的公式(2)所計(jì)算的壓強(qiáng)，稱之為“絕對(duì)壓強(qiáng)”.由于我們生活在大氣中，對(duì)大氣壓強(qiáng)我們習(xí)以為常，以致不再注意，所以，我們常說的鍋爐內(nèi)的蒸氣壓強(qiáng)、人體的血壓等等指的都是相對(duì)壓強(qiáng)(又叫“計(jì)示壓強(qiáng)”)，也就是比大氣壓強(qiáng)高出來的那部分壓強(qiáng).如此說來，公式(1)雖然片面，但還是另有意義的，不能一棍子打死，只是要清楚它在什么條件下成立，注意它在什么條件下可以使用即可.

對(duì)于靜止的液體來說，更具基礎(chǔ)性的是壓強(qiáng)差公式，現(xiàn)簡(jiǎn)介如下.

設(shè)想，在某靜止的液體中任取兩點(diǎn)1和2，在點(diǎn)1處的壓強(qiáng)為

p1=p0+ρgh1

h1為點(diǎn)1處的深度.

在點(diǎn)2處的壓強(qiáng)為

p2=p0+ρgh2

h2為點(diǎn)2處的深度.

不難證明，點(diǎn)2處與點(diǎn)1處的壓強(qiáng)差(設(shè)h2>h1且h=h2-h1)

p2-p1=ρgh

(3)

式(3)就是著名的壓強(qiáng)差公式，也就是歐拉靜液平衡方程，其在靜流體中的地位就像伯努利方程在動(dòng)流體中一樣.

我們說歐拉靜液平衡方程更具基礎(chǔ)性是因?yàn)樗梢宰鳛橐后w靜止平衡的條件，或說判據(jù).液體靜止平衡，這個(gè)方程必定成立；反之這個(gè)方程不成立，必將失衡而發(fā)生流動(dòng).

如圖3所示倒置的U形管，其中有水.A端開口，此處的壓強(qiáng)與外界大氣壓強(qiáng)p0相同.B端堵著，低于A端，水不流動(dòng).在此情況下，B端的壓強(qiáng)pB與A端的壓強(qiáng)p0的關(guān)系，依據(jù)壓強(qiáng)差公式有

pB-p0=ρg(hB-hA)

圖3

這就是說，在上述靜止?fàn)顟B(tài)下，B端水的壓強(qiáng)

pB=p0+ρg(hB-hA)

大于大氣壓強(qiáng)p0.

那么，一旦將B端放開，水就會(huì)與外界大氣接觸，壓強(qiáng)突然由pB減小為p0，平衡的條件被破壞，水因而失衡由靜止變?yōu)榱鲃?dòng)，且向壓強(qiáng)減小的方向流動(dòng)，從B端流出. 這就是虹吸的原理．

我們說歐拉靜液平衡方程更具基礎(chǔ)性還因?yàn)榘⒒椎略砗团了箍ǘ啥伎梢詮倪@個(gè)方程導(dǎo)出.

設(shè)想一個(gè)規(guī)則的長(zhǎng)方體物塊，豎直放在液體中，其高度為h,上、下底面(橫截面)與液面平行，大小為S.則此物塊所受浮力

F浮=p下底S-p上底S=(p下底-p上底)S

由壓強(qiáng)差公式

p下底-p上底=ρgh

可得

F浮=(p下底-p上底)S=ρghS=ρgV

V為物塊排開液體的體積.對(duì)于不規(guī)則物體，根據(jù)壓強(qiáng)差公式，用積分的方法，亦可以得到同樣的結(jié)果.此即阿基米德原理.

考慮液體內(nèi)任意兩點(diǎn)1和2，且已知其高度差h. 在此條件下，在點(diǎn)1處另外再增加一個(gè)壓強(qiáng)Δp1,則在點(diǎn)2處跟著也會(huì)增加一個(gè)壓強(qiáng)Δp2，則有

(p2+Δp2)-(p1+Δp1)=ρgh

若高度差h不變，也就是液體靜止、平衡、不流動(dòng)，則ρgh=恒量.從而可知

Δp2=Δp1

這就是帕斯卡定律．這個(gè)定律通常表述為，加在密閉(靜止)液體上的壓強(qiáng)，能夠大小不變地“傳遞”到液體內(nèi)各處．

阿基米德(BC287～BC212)和帕斯卡(1623～1662)都早于牛頓(1643～1727)和歐拉(1707～1783)，但是阿基米德原理和帕斯卡定律都被后來牛頓以及歐拉的理論所整合，這也是科學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果．我們學(xué)習(xí)科學(xué)不能只注意原始的科學(xué)探究，更應(yīng)注意歷史的簡(jiǎn)并與整合，不然分散的知識(shí)越來越多,我們還學(xué)得過來嗎？

1 趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程·力學(xué).北京：高等教育出版社，2004.7

2 王紹符，張喜榮. 從靜液壓強(qiáng)的形成解讀阿基米德原理和帕斯卡定律.物理通報(bào)，2011(10):79～83