連續(xù)小波變換在船舶橫搖阻尼識別中的應用

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(海軍工程大學 艦船工程系，武漢 430033)

橫搖阻尼是取決于船舶本身特性并對船舶在波浪中橫搖運動具有重要影響的一個因素，其精確預測是準確預報船舶耐波性能的關鍵之一。近年來，隨著計算流體力學(CFD)的快速發(fā)展，基于RANS方程的數(shù)值計算方法逐步應用于船舶橫搖運動的研究中來[1-3]，該方法采用動態(tài)網格和幾何重構技術可獲得船舶橫剖面橫搖運動的流場信息，但對于復雜船型，二維剖面的橫搖阻尼系數(shù)明顯忽略了船型及橫搖運動的三維效應。

另外，船舶橫搖阻尼可采用經驗或半經驗公式來確定[4]，但最可靠的還是要通過實船或模型的橫搖衰減試驗，該方法最為可靠，較為常用。利用試驗得到的橫搖衰減時歷曲線可分析確定阻尼系數(shù)的大小，其主要方法有：減滅曲線法[5]、狀態(tài)參數(shù)估計法[6]和隨機減量法[7]。減滅曲線法是一種廣泛應用的橫搖阻尼確定的方法，該方法通過在時域內確定橫搖阻尼隨橫搖幅值的離散變化規(guī)律，但分析出的數(shù)值結果往往很離散。狀態(tài)參數(shù)估計法需事先確定橫搖的準確形式，其實質仍是基于時域信號的參數(shù)擬合方法。隨機減量法可獲得一條統(tǒng)計性的衰減曲線，但受到樣本長度有限、門檻值參數(shù)設定等因素的限制，其工程實用的難度較大。

本文從時頻分析的角度，利用連續(xù)小波變換的參數(shù)識別特性，采用Morlet小波對船舶靜水橫搖時歷信號提取了小波脊線，通過小波脊線的幅值和幅角變化規(guī)律高精度獲得了橫搖阻尼參數(shù)。

1 自由橫搖衰減試驗信號的特點

1.1 有效樣本周期較少

船舶靜水自由橫搖時，由于受流體的阻滯作用而消耗能量，船舶的橫搖幅值大致按指數(shù)規(guī)律衰減。特別對深V型船等船型，靜水自由橫搖衰減試驗有效采集的樣本周期數(shù)一般不超過10個[8]。這對信號的處理分析提出了更高的要求，即需在有限長度的信號中提取橫搖固有周期和橫搖阻尼等參數(shù)。若對信號的局部極值進行離散分析，則需開展多次試驗測量，然而由于外界環(huán)境干擾等因素，每次試驗的狀態(tài)并不完全相同，因此可能引入了更多的試驗誤差。

1.2 有阻橫搖的周期隨幅值發(fā)生變化

傅里葉變換方法(FFT方法)是一種常用的數(shù)字信號處理方法，該方法認為信號的頻率不隨時間發(fā)生變化[9]，而由于阻尼的存在，船舶靜水橫搖時實測信號的頻率隨時間將發(fā)生微小變化，嚴格地說，此時FFT頻譜分析方法已經失效，應采用時頻分析的方法處理。

1.3 噪聲干擾

試驗采集信號不可避免地含有噪聲干擾，如機械設備產生的振動噪聲和測量儀器中的交流電噪聲等。因此，一種合適的信號處理方法除了可實現(xiàn)高精度參數(shù)提取功能外，還應具備較強的抗噪聲干擾性能。

2 連續(xù)小波變換參數(shù)識別原理

小波變換是一種時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻時具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，這種“變焦距特性”使得小波變換具有對信號較強的自適應性。

如果時域函數(shù)φ(t)∈L2(R)，并且滿足以下容許條件

(1)

則φ(t)是一個基本小波。

式中：L2(R)——φ(t)滿足平方可積條件;

對任一函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換定義(內積型)為

(2)

式中:*——共軛；

a、b——尺度因子和平移變量。

在模態(tài)參數(shù)識別中使用的基本小波有Morlet小波、Cauchy小波和諧波小波等。其中，Morlet小波是一種單頻復正弦調制高斯波，也是最常用的復值小波，在時頻域都有著比較好的聚集性，這里選擇Morlet連續(xù)小波作為小波基函數(shù)。Morlet小波的時域表達式為

(3a)

式中:fb、ω0——帶寬參數(shù)和小波的中心頻率，而Morlet小波的頻域表達式可寫為

(3b)

它屬于非正交、冗余小波。為減少冗余量，提高對信號的分析精度，通常取ω0≥5.0。

圖1和圖2給出了Morlet小波的波形曲線和幅頻曲線，其中fb=5.0，ω0=π rad/s。

以靜水有阻橫搖為研究對象，若在小搖幅范圍內，船模靜水有阻橫搖的微分方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其解的表達式可寫為

θ(t)=Aeμωntcos(ωdt+ε0)

(4)

式中:A——橫搖幅值參數(shù)；

μ——無因次橫搖阻尼系數(shù)；

ωn——無阻橫搖的固有頻率；

圖1 Morlet小波波形曲線

圖2 Morlet小波幅頻曲線

對時間序列θ(t)，其第k階模態(tài)的Morlet小波變換可表示為[10]

(5)

當ak=ω0/ωd時，小波系數(shù)在整個時域范圍內的幅值達到極值，并在(ak,b)處形成一個小波脊，由小波脊構成的曲線稱為小波脊線。由式(5)可知，

(6a)

arg (Wθ(ak,b))=ωdb+ε0

(6b)

在確定的尺度因子ak下，時間序列θ(t)的無阻橫搖固有頻率和無因次橫搖阻尼系數(shù)可聯(lián)立式(6a)和(6b)求出。

ωnk=

(7a)

(7b)

3 邊界效應的處理方法

對有限長度的信號直接進行信號分析，將不可避免產生邊界效應。采用小波變換方法時，邊界效應表現(xiàn)為在時間端點附近產生類似Gibbs現(xiàn)象的偽振蕩，這與實際信號明顯不符。該現(xiàn)象將屏蔽大角度下的橫搖阻尼特性，進而影響參數(shù)識別的精度，另外也給采集信號數(shù)據(jù)段的有效截取帶來不確定性。

分析發(fā)現(xiàn)，小波變換是由信號卷積來實現(xiàn)的，但實際測量信號均在時域離散且有限長，這就造成卷積后兩端小波變換系數(shù)的失真，且不同尺度下小波變換系數(shù)受邊界效應影響的程度不同。因此，邊界效應產生的實質是由算法的卷積特性決定的，故如何有效抑制邊界效應就成了提高參數(shù)識別精度的關鍵問題。

常規(guī)的邊界效應處理方法是對信號進行邊界延拓，如簡單周期延拓、以邊界點為對稱中心的周期延拓、以邊界點重復的對稱周期延拓等[11]。但對靜水橫搖衰減試驗信號而言，上述邊界延拓的方法均不適用，原因在于其信號的幅值存在衰減，不滿足軸對稱或中心對稱的規(guī)律。本文采用支持向量機(SVM)預測技術[12]先對信號進行延拓，以增加信號的可用分析長度，并確保延拓信號不改變實測信號端點附近的變化趨勢，小波變換分析后再截取實測信號對應的時間段數(shù)據(jù)，這樣處理可有效避免有用信號的流失。

4 應用實例分析

為驗證Morlet小波變換在識別靜水橫搖阻尼中的有效性，構造一個類似如式(4)的仿真信號，并在信號中附加一定的高斯白噪聲干擾，仿真環(huán)境下的基本物理參數(shù)信息詳見表1，選取的小波帶寬參數(shù)和中心頻率與圖1和圖2的參數(shù)一致。

表1 仿真信號的基本物理參數(shù)

橫搖衰減試驗信號在連續(xù)小波變換域上的分布呈現(xiàn)明顯“脊”的形態(tài)，脊上的數(shù)據(jù)表現(xiàn)出與原信號最相似的特性，脊的起伏變化對應著信號幅值的變化，脊所在位置對應著信號瞬時頻率的變化，各個信號分量的主要參數(shù)均可以從各自對應的脊上的信息中提取出來。小波脊線的提取算法總體上說有兩種方法，一是利用脊上信號的相位特征；二是利用脊上信號的能量最集中、幅值最大的特點，提取時頻平面上極值點的位置作為脊所在的位置。利用相位信息提取脊的方法適合于單條脊線存在的情況，由于船舶橫搖信號僅包含單條脊線，故本文采用相位特征提取小波脊線。

圖3 靜水自由橫搖衰減仿真信號

圖4 時頻平面內連續(xù)小波變換的模

圖5 小波脊線的幅值曲線

圖6 小波脊線的相位曲線

5 結論

1)靜水橫搖試驗時，其有阻橫搖周期隨橫搖幅值的衰減而發(fā)生變化，采用FFT頻譜分析方法對變周期類信號進行處理是失效的，因此采用時頻分析方法更適用于靜水橫搖試驗數(shù)據(jù)的處理與分析，而連續(xù)小波變換方法正是一種有效的時頻分析信號處理方法。

2)連續(xù)小波變換是一種識別船舶橫搖阻尼的有效方法。在合理的帶寬參數(shù)、小波中心頻率以及邊界處理方法下，該方法識別的橫搖阻尼參數(shù)精度較高。故尋找合適的帶寬參數(shù)和小波中心頻率對信號處理的精度十分關鍵，而邊界效應的處理應依據(jù)橫搖衰減試驗信號的特點進行延拓，并確保延拓信號不改變實測信號端點附近的變化趨勢。

3)靜水橫搖衰減信號的瞬時頻率與幅值信息均包含在小波脊線之中，而小波脊線的準確提取是識別橫搖阻尼問題的關鍵。

4)在線性橫搖阻尼范圍內，本文提出的方法是適用的，若將其應用至非線性橫搖阻尼的識別，需要進行更深入的研究。

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