限定混合模型模擬不規(guī)則和多峰直徑結(jié)構(gòu)分布
—— 以長白山云冷杉林為例

杜 志 ，亢新剛 ，岳 剛，徐 光 ，趙東寧 ，楊藝軍 ，高 祥

(1. 北京林業(yè)大學(xué) 省部共建森林培育與保護(hù)教育部重點實驗室，北京 100083；2.汪清林業(yè)局，吉林 汪清 133200)

限定混合模型模擬不規(guī)則和多峰直徑結(jié)構(gòu)分布
—— 以長白山云冷杉林為例

杜 志1，亢新剛1，岳 剛1，徐 光2，趙東寧2，楊藝軍2，高 祥2

(1. 北京林業(yè)大學(xué) 省部共建森林培育與保護(hù)教育部重點實驗室，北京 100083；2.汪清林業(yè)局，吉林 汪清 133200)

以長白山地區(qū)6塊云冷杉林樣地調(diào)查數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用限定混合Weibull模型方法，并利用傳統(tǒng)的負(fù)指數(shù)模型和Weibull模型作為參照，對直徑分布進(jìn)行了模擬。結(jié)果表明：樣地直徑分布呈多峰、rotated-sigmoid等不規(guī)則分布；數(shù)學(xué)統(tǒng)計表明限定混合Weibull模型的直徑擬合效果最好，其次是Weibull模型，最后為負(fù)指數(shù)模型，尤其在模擬雙峰和rotated-sigmoid分布時混合模型優(yōu)勢明顯；殘差圖顯示徑階大于28cm后，相對于其它兩個模型，限定混合Weibull模型的殘差值更接近于0。限定混合模型是一種較好的具有高靈活性和高精度的林分直徑模擬方法。

云冷杉林；直徑分布；限定混合Weibull模型；負(fù)指數(shù)模型；Weibull模型

直徑分布是森林結(jié)構(gòu)的重要組成部分[1-2]，從1898年Liocourt De運用等比級數(shù)來構(gòu)建異齡林直徑結(jié)構(gòu)模型開始，許多函數(shù)模型被用來模擬森林直徑分布狀況，如Pearsonian曲線，負(fù)指數(shù)函數(shù)[3-5]，gamma分布，三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布[6]，β分布，Weibull分 布[1]，Jonson的 SB 分 布[7]等， 其 中Weibull分布運用的最為普遍[8-13]。然而，有的林分經(jīng)歷過度采伐或遭受森林火災(zāi)后，直徑分布由簡單的單峰或反J型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)雜的雙峰或不規(guī)則結(jié)構(gòu)，用單一的函數(shù)并不能進(jìn)行準(zhǔn)確的模擬[14-17]。對此，不少學(xué)者提議運用混合分布模型來描述這些林分直徑分布[18-19]。近來，Liu等介紹了一種限定混合Weibull分布模型，并對比單個三參數(shù)Weibull函數(shù)和負(fù)指數(shù)函數(shù)，來模擬不規(guī)則、多峰或具有明顯偏度的直徑結(jié)構(gòu)分布，發(fā)現(xiàn)限定混合Weibull模型能獲得更高的精度，具有更好的模擬效果[16,20]。對于具有不規(guī)則直徑結(jié)構(gòu)的異齡林，限定混合Weibull分布模型得到了較為廣泛的應(yīng)用[2,21-23]。

長白山云杉冷杉林(主要是臭冷杉Abies nephrolepis、 魚 鱗 云 杉Picea jezoensis var.microsperma和紅皮云杉Picea koraiensis形成的混交林)是我國重要的用材林(尤其是紅皮云杉)和風(fēng)景林，同時發(fā)揮著涵養(yǎng)水源、保持水土的重要效應(yīng)[24]。然而，從19世紀(jì)末開始，長白山林區(qū)經(jīng)歷了不同程度的采伐，火災(zāi)和拓荒等各種形式的干擾，原來較簡單的林分結(jié)構(gòu)遭到破壞，取而代之的是大量具有不規(guī)則林分結(jié)構(gòu)的森林群落[25]，其直徑分布結(jié)構(gòu)復(fù)雜。研究伐后云冷杉林的林分結(jié)構(gòu)，分析其直徑分布特點等，對于我們正確認(rèn)識、合理經(jīng)營森林資源，促進(jìn)其形成穩(wěn)定健康的森林群落具有重要意義。以往對于長白山森林的直徑結(jié)構(gòu)的描述，大多采用單一的函數(shù)模型進(jìn)行分析[9,11,26-27]。本文利用限定混合Weibull函數(shù)對6塊云冷杉樣地的直徑調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，并采用負(fù)指數(shù)函數(shù)、Weibull分布函數(shù)進(jìn)行模擬，對比3者模擬結(jié)果，以期準(zhǔn)確分析云冷杉的直徑結(jié)構(gòu)特點，客觀科學(xué)的評價森林資源，為森林的經(jīng)營管理發(fā)揮一定的理論指導(dǎo)作用。

1 研究區(qū)概況及研究方法

1.1 研究區(qū)概況

研究區(qū)位于長白山金溝嶺林場(130°10′E，43°22′N)，海拔 300 ～ 1200 m，受季風(fēng)影響，屬溫帶大陸性山地氣候，土壤為針葉林灰棕壤。全區(qū)林分中，云冷杉林是分布最廣的森林類型，占森林面積的80%，現(xiàn)有的多數(shù)云冷杉林是原始林經(jīng)過30%～60%的擇伐后形成的[25]。

本文選取如下群落：于1986年設(shè)立的云冷杉過伐林25號、27號、28號固定樣地，面積均為0.2 hm2，樣地至今遭受2～3次不同強(qiáng)度的采伐。樣地基本保證2年復(fù)測一次。樣地25號和28號選取2008年的調(diào)查數(shù)據(jù)，27號選取2007年數(shù)據(jù)。近原始林20號固定樣地，1986年設(shè)立于44林班4小班，面積0.2 hm2，該林分受破壞程度較低，基本保持原始林相，已連續(xù)復(fù)測12次，選取2008年調(diào)查數(shù)據(jù)。1978年設(shè)置的云冷杉針闊混交林局級2號和5號樣地，面積均為0.5 hm2，已調(diào)查17次，至今沒進(jìn)行過采伐作業(yè)，選取2007年調(diào)查數(shù)據(jù)。云杉Picea koraiensis、冷杉Abies nephrolepis、紅松Pinus koraiensis為6個樣地的主要樹種，其中還有部分色木Acer mono、紫椴Tilia amurensis、楓樺Betula costata、白樺Betula platyphylla、蒙古櫟Quercus mongolica、榆樹Ulmus pumila等。

1.2 研究方法

每兩年對6塊樣地調(diào)查一次，對樣地內(nèi)胸徑≥5 m的喬木進(jìn)行每木檢尺，記錄調(diào)查木的樹種名，胸徑、樹高、冠幅、第一枝下高和坐標(biāo)位置。

本文采用負(fù)指數(shù)函數(shù)，三參數(shù)Weibull分布函數(shù)和限定混合Weibull分布函數(shù)對6塊樣地的直徑分布結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬。

負(fù)指數(shù)函數(shù)為[3,27]：

三參數(shù)Weibull分布密度函數(shù)為：

式 (1)～ (2)中 θ=(α，β，γ)′，α，β，γ分別為位置(直徑分布最小徑階下限值)，尺度，形狀參數(shù)。

假定一個混合分布模型由k個組分組成，其中第i個組分為特定的概率密度函數(shù)，fi(x)為一般概率密度函數(shù)表現(xiàn)形式，則混合分布模型可表示為：

式中ρ1為第i個組分占總分布的比例，滿足：

本文視f1(x)，……，fk(x)為概率密度函數(shù)，不同組分有不同的變量，平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，并限定 fk(x)為三參數(shù) Weibull函數(shù) (X～Weibull(α，β，γ))。同時只考慮2個組分，即k=2。限定混合模型為：

式 (3)中：ψ=(ρ，θ1，θ2)，θ1=(αi，βi，γi)′，i=1 或 2；0≤ρ≤1；方程共有7個參數(shù)，即兩個組分的位置，形狀，尺度參數(shù) (α1，β1，γ1，α2，β2，γ2)和比例參數(shù)ρ。

公式(1)和(3)為概率密度函數(shù)，株數(shù)估計值Ni=N[F(Xi+ω)-F(Xi-ω)]，其中 N為總株數(shù)，F(xiàn)(x)為概率累計函數(shù)，Xi為第i徑階中值，ω為組距除以2。方程(2)為計算第i徑階的樹木株數(shù)，α、β為直徑分布特征的參數(shù)。

估算三參數(shù)Weibull函數(shù)參數(shù)的方法有：最大似然估計法[9]、最小二乘法[8]、百分位數(shù)法、線性求解法[28]和近似估計法、改進(jìn)單純形法等，其中以最大似然估計法最為精確，從而得到廣泛應(yīng)用[1,9,16,29]。根據(jù)統(tǒng)計軟件SPSS 18.0和ForStat 2.0來估算方程1和2的參數(shù)，運用R軟件（2.15.1版）中mixdist軟件包，根據(jù)最大似然估計法并結(jié)合Newton-type算法和EM算法求出限定混合模型的參數(shù)[2,16,20-21]。

統(tǒng)計量均方根誤差(RMSE)、平均誤差(Bias)作為不同模型的比較標(biāo)準(zhǔn)，似然比χ2檢驗來檢驗?zāi)Ｐ偷倪m合度[2,20,22]。定義其中Nj為第j個徑階實測的株數(shù)為估計的株數(shù)，Rj為實測值與模型模擬的估計值之間的殘差。

式中，m為徑階數(shù)，χ2的自由度為(m-k-1)，k為參數(shù)個數(shù)。

2 結(jié)果與分析

2.1 林分直徑結(jié)構(gòu)特征

云冷杉林的基本統(tǒng)計量表明(表1)，28號樣地的株數(shù)密度最大，為1 020為株·hm-2。6塊樣地中最大胸徑、平均胸徑和每公頃胸高斷面積的最大值都出現(xiàn)在近原始林20號樣地，其直徑標(biāo)準(zhǔn)差也表現(xiàn)最大，為14.52。而近年經(jīng)歷過采伐的25號、27號和28號樣地的平均胸徑、直徑偏度和峰度都相對偏小。所有樣地的偏度值都大于0，為右偏態(tài)，反映樣地小于平均胸徑的株數(shù)較多，而所有峰度值小于0，說明直徑分布形態(tài)較正態(tài)分布平坦。

表1 云冷杉樣地的基本概況Table 1 Basic characteristics of spruce-fir forest plots

2.2 直徑分布擬合與檢驗

表2顯示了3種模型對6塊樣地直徑結(jié)構(gòu)的模擬參數(shù)值，以5 cm為起測胸徑，體現(xiàn)在模型上則兩種Weibull分布的位置參數(shù)為5，以2 cm為徑階劃分的組距。限定混合Weibull分布中的ρ值與圖1中直徑分布劃分兩個部分后各自所占比例相一致。兩種Weibull分布中的形狀參數(shù)值(即γ、γ1和γ2)基本在1～3.6范圍內(nèi)，說明了其擬合曲線為正偏的山狀曲線。

表2 各樣地的模型參數(shù)值Table 2 Model parameter values of three models for each plot

圖1 各樣地的直徑分布觀測值和不同模型的估計值Fig.1 Observed and predicted diameter distributions of different models for each plot

表3 各樣地直徑分布函數(shù)模型的擬合結(jié)果檢驗Table 3 Fitting statistics of diameter distribution models for each plot

圖1為6塊樣地的直徑分布直方圖和3種分布函數(shù)的模擬曲線，表3顯示了對不同分布函數(shù)的適用性檢驗結(jié)果。25號樣地的直徑分布為明顯的雙峰分布，峰值分別在12 cm和32 cm處，直觀顯示限定混合Weibull分布能對其較好的模擬，而負(fù)指數(shù)分布曲線則忽略了分布情況。表3中Bias、RMSE和χ2值，限定混合Weibull分布的值都最小，而負(fù)指數(shù)分布最大，Weibull分布居中；其中負(fù)指數(shù)的檢驗p值小于0.000 1，限定混合Weibull分布為0.834 0，說明后者的擬合度最優(yōu)，得到了與圖形直觀描述一致的結(jié)果。27號樣地的直徑分布極不規(guī)則，在8 cm、16 cm和30 cm徑階處的株數(shù)較多，Bias、χ2檢驗與RMSE得到了不同的結(jié)果，Bias、χ2檢驗都顯示3種分布中限定混合Weibull分布的檢驗值最小，而RMSE值顯示W(wǎng)eibull分布的最小。

樣地28號的株數(shù)在16～20 cm徑階處分布集中，整體呈右偏態(tài)，胸徑小于平均胸徑(23.6 cm)較多，圖1顯示兩種Weibull函數(shù)都能較好擬合直徑分布，限定混合Weibull分布的檢驗p值達(dá)到0.934 1。近原始林20號和局級樣地2號、5號的株數(shù)峰值出現(xiàn)在8～10 cm處，然后株數(shù)隨徑階增大呈減少趨勢，但在中等徑階處基本相等，從圖中直觀表現(xiàn)出限定混合Weibull分布能夠很好的擬合這分布情況，而Weibull分布忽略了中等徑階處株數(shù)變化平緩的部分。χ2檢驗的p值顯示限定混合Weibull分布最高，且明顯高于Weibull分布和負(fù)指數(shù)分布。

從六塊樣地總體而言，各樣地在6 cm徑階處的株數(shù)分布都較少，近期遭受過2～3次采伐的3塊樣地的直徑分布情況表現(xiàn)為不規(guī)則，圖中曲線顯示負(fù)指數(shù)分布難以擬合其分布情況。而近原始樣地和局級樣地的直徑分布曲線在中等徑階處平坦，隨后才呈現(xiàn)下降趨勢。表3的模型適合度檢驗表明，6塊樣地3種模型中限定混合Weibull分布的Bias值和χ2值均為最小，其中Bias的絕對值均小于0.05，而負(fù)指數(shù)分布的值最大，Bias絕對值均大于0.5。除27號、28號樣地中3種模型RMSE值，Weibull分布表現(xiàn)最小外，其它樣地中的模型擬合RMSE值大小規(guī)律與Bias值、χ2值的一致。

圖2 各樣地的觀測株數(shù)與不同模型估計株數(shù)的殘差Fig.2 Residuals of observed and predicted diameter distributions of different models for each plot

圖2的殘差圖反映了各模型的模擬結(jié)果：25號樣地中混合限定Weibull分布除8 cm、26 cm徑階處，株數(shù)殘差值基本在-2到2之間波動，殘差相對較小；27號在10 cm處，混合限定Weibull分布高估了其株數(shù)，而另兩種模型低估了株數(shù)；28號樣地兩種Weibull分布，20號的負(fù)指數(shù)分布和Weibull分布的殘差值在大多徑階范圍內(nèi)表現(xiàn)極為接近；Weibull分布在2號樣地的18 cm徑階處，以及5號樣地的22 cm處，都過于高估了株數(shù)。所有樣地中，負(fù)指數(shù)分布在6 cm徑階處的殘差值都相當(dāng)大；在超過一定徑階(＞28 cm)后，相對于其它兩種模型，混合限定Weibull分布的殘差值都更接近于0，偏離較少。

3 結(jié)論與討論

(1)云冷杉林是長白山地區(qū)地帶性植被，對于該森林群落過去執(zhí)行采育擇伐的營林方式，但存在擇伐過大的情況[25]。本文從6塊樣地的基本統(tǒng)計量分析，各樣地的喬木密度和每公頃的胸高斷面積差異都較大，直徑分布直方圖表現(xiàn)極不規(guī)則，尤其是25號、27號和28號樣地，證實了當(dāng)?shù)厣纸?jīng)歷過采伐的經(jīng)營歷史。而近原始林20號樣地和局級2號和5號樣地的直徑分布在中等徑階范圍內(nèi)曲線表現(xiàn)平坦，并不是傳統(tǒng)的反“J”形，而呈現(xiàn) Goff和 West定義的“rotated-sigmoid”[19]，由于中度或強(qiáng)度的人為干擾造成許多大小不等的林隙，林內(nèi)幾乎同時再生出一批樹木，當(dāng)它們達(dá)到近熟進(jìn)入林冠層，生命力強(qiáng)，一段時間內(nèi)，它們擁有相對高的生長率和低死亡率，此階段過后成為成熟木，生長減緩，抗干擾能力減弱，死亡率增加，則形成了這種不規(guī)則分布[2,19-20]。各樣地在6 cm徑階處的株數(shù)明顯偏少，這種現(xiàn)象的產(chǎn)生可能是因立地遭到人為破壞，導(dǎo)致森林退化；也可能由于外業(yè)數(shù)據(jù)收集過程中人為主觀的忽視了起測徑階5 cm左右樹木的測量。若為后者，對于各個模型的模擬和評價顯然有影響，對此，不少學(xué)者采用8 cm或更大徑階作為直徑模擬對象[2,20,23,27]。但在分析6塊樣地歷次的測量數(shù)據(jù)，確認(rèn)小徑階的株數(shù)較少后，本文以6 cm為直徑模擬起點，以期客觀反映森林生長狀況。

(2)采用限定混合模型，并用Weibull函數(shù)和負(fù)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行模擬比較。擬合結(jié)果圖反映出限定混合Weibull函數(shù)具有更好的擬合效果，對于直徑雙峰分布的25號和不規(guī)則分布的局2號樣地，限定混合模型擬合效果尤為明顯。Bias、RMSE和χ2檢驗從數(shù)學(xué)統(tǒng)計角度對3種模型進(jìn)行得出近乎一致的結(jié)論，限定混合模型的擬合效果最優(yōu)，其次是Weibull分布模型，最后是負(fù)指數(shù)分布模型，此結(jié)論與Zhang[20]和Liu[16]研究結(jié)果一致。同時，各模型模擬結(jié)果的殘差圖也直觀反映了在一定范圍內(nèi)限定混合模型的擬合優(yōu)勢。

(3)本文采用兩組分限定混合模型在模擬不規(guī)則和多峰直徑分布中顯示出較好的靈活性和精度，一些學(xué)者運用多種統(tǒng)計方法來對比檢驗多組分的模擬效果[23,30]，發(fā)現(xiàn)三組分的Weibull分布擬合效果相對于兩組分的并沒有顯著改善，模型過多組分易造成擬合過程中的收斂效果降低，參數(shù)的增加也會使評價標(biāo)準(zhǔn)的卡方降低[2]，認(rèn)為混合模型組分?jǐn)?shù)不應(yīng)太多。另外，由于天然異齡林的直徑結(jié)構(gòu)復(fù)雜，模型各組分?jǐn)M合部分常出現(xiàn)過度重疊現(xiàn)象，給組分比例的預(yù)估帶來干擾[21]，因此需要多次代入不同的組分比例值，通過比較最大似然法求得的卡方值，確定最終的組分參數(shù)值[20]。

(4)高精度和高靈活性的直徑分布擬合模型對于森林經(jīng)營有重要作用，應(yīng)逐步探討不同模型的混合，以及非參數(shù)方法的運用。直徑分布在森林生長和生產(chǎn)量計算方面有不可或缺的作用，而異齡混交林在整個演替階段總處于錯綜復(fù)雜的動態(tài)過程中，對某一時刻樣地的靜態(tài)描述顯然不能滿足對于森林的經(jīng)營規(guī)劃要求。結(jié)合二十幾年連續(xù)復(fù)測打下的良好基礎(chǔ)，將來應(yīng)延續(xù)固定樣地的復(fù)測，構(gòu)建直徑結(jié)構(gòu)動態(tài)變化數(shù)據(jù)，客觀全面的分析森林生長規(guī)律。

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Simulation of multi-peaks and irregular diameter distributions by finite mixture models: a case study on spruce-fir forests in Changbai Mountain

DU Zhi1, KANG Xin-gang1, YUE Gang1, XU Guang2, ZHAO Dong-ning2, YANG Yi-jun2, GAO Xiang2

(1.Key Laboratory for Silviculture and Conservation of Ministry of Education, Beijing Forestry University, Beijing 100083, China;2. Wangqing Forestry Bureau, Wangqing 133200, Jilin, China)

Based on the investigation data from six example plots in Changbai Mountain in northeastern China, the finite mixture Weibull model was applied to simulate the tree diameter distribution with. the results of traditional methods of negative exponential model and Weibull model as the comparisons. The results show that the tree diameter distributions of six plots were presented irregular shapes of multi-peaks, rotated-sigmoid, etc.. The statistics show the fitting effect of finite mixture Weibull model was the best, especially in modelling bimodal and rotated-sigmoid distributions, then was the Weibull model’s, and negative exponential model’s was the last.The residual figure displays the residual value of finite mixture model more close to zero than others. The finite mixture model was a better alternative method, with high flexibility and precision to model tree diameter distribution.

spruce-fir stands; diameter distribution; finite mixture Weibull model; negative exponential model; Weibull model

S758.5；S791.14

A

1673-923X(2013)04-0043-07

2012-09-25

國家“十二五”科技支撐項目——闊葉紅松林和云冷杉過伐林可持續(xù)經(jīng)營技術(shù)與示范(2012BAD22B2)；國家林業(yè)局948項目（2013-4-66）

杜 志（1986-），男，湖南長沙人，碩士研究生，主要從事天然林結(jié)構(gòu)方面的研究；E-mail：duzhi6880448@163.com

亢新剛（1952-），男，北京人，教授，主要從事天然林結(jié)構(gòu)和生長以及經(jīng)營管理的研究；E-mail：xingangk@163.com

[本文編校：吳 彬]