三角形內(nèi)接矩形的最大面積問題

【問題】美佳玩具廠生產(chǎn)一批玩具時剩下大量的全等三角形的余料，如圖1，△ABC就是其中一塊余料，邊BC=120mm，高AD=80mm.玩具廠為了有效利用這些余料，決定把它們加工成矩形布料，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，探究：怎樣加工才能使得矩形布料的面積最大？

圖1

我們知道，如果四邊形的四個頂點都在三角形的邊上，那么就稱這個四邊形為此三角形的內(nèi)接四邊形，特別的，當(dāng)四邊形是矩形時，就稱此四邊形為三角形的內(nèi)接矩形.將這一實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題就是三角形內(nèi)接矩形的邊長滿足什么條件時，矩形的面積最大，最大面積與該三角形的面積有什么關(guān)系？

三角形內(nèi)接矩形最大面積問題的求解，是代數(shù)、幾何數(shù)形結(jié)合的典型，用到了相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積公式等基本的數(shù)學(xué)知識.這是一個典型的最優(yōu)化問題，解決這類最大面積問題往往需要構(gòu)建二次函數(shù)模型，進而利用二次函數(shù)求最值的有關(guān)知識加以解決.

要正確解決這個問題，我們首先來看特殊的三角形——直角三角形的情形.

【情形一】如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC內(nèi)部作一個矩形DEFC，其中CD、CF分別在兩直角邊AC和BC上，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c、CF=x，矩形DCFE的面積為y，當(dāng)x取何值時，y的值最大？最大值是多少？