途徑倒轉(zhuǎn)思維法在中考解題教學(xué)中的運(yùn)用

從與已有解題途徑相反的方向去思考問題和處理問題的思維方法稱為途徑倒轉(zhuǎn)逆向思維法［1］，其在中考解題中的滲透面較為廣泛.在實(shí)際的解題教學(xué)中，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)概念、公式、定理的逆用性引導(dǎo)，將逆推分析法和反證法等方法融入解題教學(xué)，通過應(yīng)用途徑倒轉(zhuǎn)思維法來提高學(xué)生的解題能力.

一、試題講解中應(yīng)注重學(xué)生逆向思維訓(xùn)練

解題時(shí)學(xué)生習(xí)慣于按照從左到右或化繁就簡的一個(gè)順序，這樣使數(shù)學(xué)概念、公式、定理不能得到實(shí)質(zhì)性的掌握.在某些題中，需要學(xué)生能夠從問題的另一面出發(fā)，從右到左或?qū)竭M(jìn)行變形，對(duì)概念和定理命題的一個(gè)條件和結(jié)論轉(zhuǎn)化的深層理解.

【例1】（2011年黃岡市）要使式子a+2a 有意義，則a的取值范圍為.

分析：此題考查的是對(duì)分式和根式概念的逆向理解.只要保證根式里面的值大于等于零，分式中分母不為零即可.

【例2】（2012年廣州）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-23x-k=0有兩個(gè)相等實(shí)根，則k的值為.

分析：一元二次方程解的情況可由根的判別式進(jìn)行分類.此題考查的是根的判別式的逆用，有兩個(gè)相等實(shí)根表明Δ=（-23）2-4×（-k）=0，解出k=-3.

簡評(píng)：解題中對(duì)于數(shù)學(xué)概念、公式、定理的逆用，實(shí)際是重歸于對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理的認(rèn)識(shí).從以上兩題也反映出概念、公式逆用的考查在中考中的重要性.所以教師很有必要在解題中對(duì)學(xué)生進(jìn)行該方面的思維訓(xùn)練.

二、善用分析法，執(zhí)果索因，挖掘承接結(jié)論與已知條件的輔助因素，逆向找出解題途徑

逆推分析法是指從欲求問題出發(fā)，對(duì)問題表述進(jìn)行分析轉(zhuǎn)譯，著重于挖掘承接結(jié)論與條件的輔助因素，使得問題得以解答的一種逆向思維方法.中考數(shù)學(xué)題型中的幾何證明題、最值問題和運(yùn)動(dòng)探索題用逆推分析法解答能夠使解答過程更清晰，更具條理性.

【例3】（2011年上海中考）如圖1，在梯形ABCD

置關(guān)系的判斷方法，并應(yīng)用這些方法解決有關(guān)實(shí)際問題.教材是在初中平面幾何對(duì)圓與圓的位置關(guān)系的初步分析的基礎(chǔ)上得到圓與圓的位置關(guān)系的幾何方法，著重強(qiáng)調(diào)了幾何方法，對(duì)代數(shù)方法沒做要求，但用代數(shù)方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓，是平面幾何問題的深化，它將是以后處理圓錐曲線的常用方法.因此，增加了用代數(shù)方法來分析位置關(guān)系的內(nèi)容，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、幾何問題代數(shù)化等思想方法的運(yùn)用能力及辯證思維能力，其基本思維方法和解決問題的技巧對(duì)今后整個(gè)圓錐曲線的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義.

五、教學(xué)評(píng)析

數(shù)學(xué)是思想的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué).學(xué)生的思維活動(dòng)依賴于教師的循循善誘和精心的點(diǎn)撥與啟發(fā)，而數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)又決定了數(shù)學(xué)內(nèi)容的掌握和運(yùn)用都需經(jīng)過艱苦、細(xì)致的思考和探索.問題具有啟發(fā)性和探索性是本教學(xué)設(shè)計(jì)的具體體現(xiàn).比如，研究圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0與圓C2：：x2+y2-4x-4y-2=0的關(guān)系時(shí)，問：有沒有必要把交點(diǎn)的坐標(biāo)求出來？更進(jìn)一步問：能否說明，要研究圓C1與圓C2的關(guān)系只要研究直線x+2y-1=0與C1（或C2）的關(guān)系就可以了呢？問題具有針對(duì)性、挑戰(zhàn)性，不僅體現(xiàn)了化歸的思想，而且頗具思考價(jià)值.

本課例運(yùn)用變式教學(xué)，確保學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的持續(xù)熱情.變式教學(xué)是對(duì)數(shù)學(xué)中的定理和命題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)點(diǎn)內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計(jì)方法.通過變式教學(xué)，采用一題多用、多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，從而讓學(xué)生產(chǎn)生主動(dòng)參與的動(dòng)力，保持其參與教學(xué)過程的興趣.本設(shè)計(jì)提出問題1后接著提出與之有聯(lián)系的問題2和問題3.通過學(xué)生的觀察分析，發(fā)現(xiàn)了過兩圓交點(diǎn)的公共弦所在直線方程；通過學(xué)生不同思維方法的探究，歸納出曲線系方程解決與圓交點(diǎn)有關(guān)問題的優(yōu)越性.

本課例采用聯(lián)想、設(shè)疑、探索、討論、引導(dǎo)、歸納等方法進(jìn)行分析，并在教學(xué)情境中還原這種精神過程，給學(xué)生充分展示一系列的圖形或?qū)嶋H例子，讓學(xué)生親自實(shí)踐，親自操作，同時(shí)進(jìn)行比較分析、研究.經(jīng)過反復(fù)的觀察和思考后，憑借他們的直覺作出各種猜想，然后加以證明.只有這樣，才能夠使學(xué)生感到數(shù)學(xué)的親切、自然；才能夠使學(xué)生感到教學(xué)內(nèi)容不是從天而降，從而對(duì)教學(xué)過程做到心中有數(shù).而且，還使學(xué)生從中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)研究的思想方法，培養(yǎng)了對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.

【基金項(xiàng)目】本文是廣東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題：《高中數(shù)學(xué)新課程課堂教學(xué)典型案例研究》成果項(xiàng)目之一.

（責(zé)任編輯 黃春香）