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    由兩道競賽題淺析函數(shù)單調(diào)性的巧用

    2012-12-31 00:00:00楊榮魏春強(qiáng)
    學(xué)園 2012年9期

    【摘 要】單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一,文章通過兩道競賽題,為我們展示了試題中函數(shù)單調(diào)性的巧用,并對其進(jìn)行了進(jìn)一步的推廣、研究。

    【關(guān)鍵詞】函數(shù) 單調(diào)性 競賽題

    【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810(2012)09-0137-01

    例1,x、y為實數(shù),且滿足,則

    x+y= 。(高中聯(lián)賽,1997)

    解:原方程組變形為。

    根據(jù)方程組的結(jié)構(gòu)特征,我們可以構(gòu)造函數(shù)f(t)=t3+1997t,則由方程組得,f(x-1)=f(1-y)。

    ∵f(t)′=3t2+1997>0

    ∴f(t)在R上單調(diào)遞增,則由函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)得:

    x-1=1-y,即x+y=2。

    例2,如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),θ∈[0,2π),則θ的取值范圍為 。(全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,2011)

    解:sin3θ-cos3θ>(cos5θ-sin5θ)

    sin3θ+sin5θ>cos5θ+cos3θ

    設(shè)t=sinθ,t∈R。

    令f(t)=t3+t5;

    ∵f(t)′>0,∴f(t)在t∈R時單調(diào)遞增。

    即f(sinθ)>f(cosθ);

    ∴sinθ>cosθ;

    ∴,)。

    以上兩道例題,我們將原式進(jìn)行適當(dāng)變形,并根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),通過分析函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)函數(shù)的單值性特點,即可將其順利解答,該方法巧妙簡潔。

    上述問題利用了函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而我們可以對以上兩例進(jìn)一步擴(kuò)展。

    例1可推廣為:

    若(n,m,k∈R+且m≠n,h

    ∈R),則x+y=a+b。

    解:可將方程組變形為。

    構(gòu)造方程:f(t)=t2n+1+kt2m+1。

    由方程組得:f(x-a)=f(b-y)。

    ∵f(t)′=(2n+1)t2n+k(2m+1)t2m>0;

    ∴f(t)在R上單調(diào)遞增。

    故有:x-a=b-y。

    ∴x+y=a+b。

    同理,例2可推廣為:

    若cos(2n+1)θ-sin(2n+1)θ<λ(sin(2m+1)θ-cos(2m+1)θ),(m,n∈R+且m≠n,λ∈R),則:

    ,

    解:可將原式變形為:λsin(2m+1)θ+sin(2n+1)θ>cos(2n+1)θ+λcos(2m+1)θ。

    設(shè)t=sinθ,t∈R。

    f(t)=t2n+1+λt2m+1。

    ∵f ′(t)=(2n+1)t2n+λ(2m+1)t2m>0。

    ∴f(t)為R上的增函數(shù)。

    即:f(sinθ)>f(cosθ)。

    ∴sinθ>cosθ;

    ∴,。

    由以上例題可以看出,通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性解決問題,是反映題目本質(zhì)特征的解法,有事半功倍之效。因此,在以后的學(xué)習(xí)中,我們不能就題論題,而要深入思考,揣摩命題人意圖,開闊數(shù)學(xué)思維,找到反映題目本質(zhì)結(jié)構(gòu)的解法,提高數(shù)學(xué)解題能力。

    參考文獻(xiàn)

    [1]陳傳理、張同軍.競賽數(shù)學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2010

    [2]張梅、魏春強(qiáng).一道競賽題的解法及其推廣研究[J].考試周刊,2011(65)

    [3]陳德燕.新專題教程高中數(shù)學(xué)集合與函數(shù)(第三版)(全新修訂)[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2007

    [4]傅榮強(qiáng).新課標(biāo)龍門專題:高中數(shù)學(xué)(函數(shù))[M].北京:龍門書局出版社,2008

    〔責(zé)任編輯:高照〕

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