基于馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法的GARCH模型實證研究

摘 要：在對GARCH模型進行探究的基礎(chǔ)上，分別對馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法中的Gibbs抽樣和Metropolis-Hasting抽樣進行了討論，并使用蒙特卡洛方法對上證指數(shù)進行GARCH建模，最后，通過對所得模型數(shù)據(jù)結(jié)果的分析得出了結(jié)論，即我國的上證指數(shù)收益率序列具有顯著的異方差特征，且收益率波動的大小與其自身過去的波動大小有非常明顯的關(guān)系，因此說，我國的大盤指數(shù)也可以采用GARCH模型來進行擬合和解釋。

關(guān)鍵詞： 馬爾可夫鏈蒙特卡洛； GARCH； Gibbs抽樣； M-H算法

中圖分類號：O213 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-291X （2012）14-0179-02

引言

現(xiàn)代金融市場具有的高度不確定性給金融市場自身的健康發(fā)展帶來了巨大的風(fēng)險，金融市場的不確定性往往表現(xiàn)為市場的波動。在金融領(lǐng)域里，異方差建模為市場波動性刻畫、風(fēng)險的描述與防范以及資產(chǎn)定價等提供了有力工具。Bollerslev 1986年將Engle提出的ARCH模型進行了一般化，除了考慮誤差項的滯后期之外，同時也加入了誤差項條件方差的滯后期，從而導(dǎo)出廣義自回歸條件異方差（Generalized ARCH）模型，即GARCH模型。從形式上看，GARCH模型的優(yōu)點在于成功的解決了ARCH（p）模型中階數(shù)p較大的問題，減少了估計量，比ARCH模型具有更高的效益。

一、GARCH模型概述

多年來，人們觀察到的許多金融實際數(shù)據(jù)都表現(xiàn)出市場在一段時期內(nèi)有較大的波動，而在另一段時期上波動較小。雖然從統(tǒng)計檢驗的角度看，對收益率的相關(guān)檢驗大多不顯著，但是對平方序列的相關(guān)性檢驗卻是顯著的，這就促使人們對波動率提出時變假設(shè)。后一個檢驗結(jié)果說明，波動率在一定程度上是可以預(yù)測的，于是Engle[1]于1982年提出了自回歸條件異方差（ARCH）模型。其模型為：

（1）

其中，L為滯后算子，為q階滯后算子多項式；Ωt為t時信息集，一般包括外生變量Rt和內(nèi)生變量Rt的滯后項Rt-1，Rt-2 .

為了減少ARCH模型的滯后階數(shù)及對參數(shù)的約束，Bollerslev[2]提出了GARCH模型。他在條件方差的方程中加上了滯后的項，能體現(xiàn)更為靈活的滯后結(jié)構(gòu)。Bollerslev提出的GARCH模型為：

（2）

GARCH模型認為，收益率的方差可預(yù)測。條件方差不僅取決于最新的信息，也取決于以前的條件方差。

二、馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法

Monte Carlo方法也稱為隨機模擬方法，是一種基于貝葉斯統(tǒng)計理論的參數(shù)估計方法，該方法通過一種我們稱之為馬爾可夫模擬的過程即可實現(xiàn)。馬爾可夫模擬的思想是在空間Ω上模擬一個馬爾可夫過程，它收斂于平穩(wěn)轉(zhuǎn)移分布。馬爾可夫鏈模擬的關(guān)鍵是構(gòu)造一個具有指定的平穩(wěn)轉(zhuǎn)移分布的馬爾可夫過程，并且充分長地運行這個模擬，使得過程當(dāng)前的分布與平穩(wěn)轉(zhuǎn)移分布足夠的接近。因此，我們將利用馬爾可夫鏈模擬來得到分布的方法稱為馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法。

MCMC方法的基本思想是構(gòu)造一條具有指定平穩(wěn)分布的馬爾可夫鏈，即它的轉(zhuǎn)移分布收斂到它的后驗分布，然后充分長的運行此鏈，直到鏈上取值的分布與其平穩(wěn)分布足夠接近時，把來自鏈上的樣本作為來自的樣本，基于這些樣本可進行各種統(tǒng)計推斷，如求均值，方差，峰度，偏度等。不同的MCMC方法主要是構(gòu)造Markov鏈的方法不同，常用來構(gòu)造鏈的方法有Gibbs抽樣和Metropolis-Hasting抽樣[3]。

1.Gibbs抽樣

Geman和Geman夫人、Gelfand和Smith提出的Gibbs抽樣是應(yīng)用最廣泛的MCMC方法。Gibbs抽樣具有將高維的估計問題利用所有參數(shù)的條件分布分解為幾個低維問題的優(yōu)點。Gibbs抽樣的思想是利用條件分布族來得到以為平穩(wěn)分布的馬爾可夫鏈.Gibbs抽樣過程如下：設(shè)記，再記第1至第（k-1）個分量固定為，同時將第（k+1）至第m個分量固定為的條件下，第k個分量的條件分布為：

（3）

定義的轉(zhuǎn)移概率：

. （4）

P是一個轉(zhuǎn)移矩陣，是它的平穩(wěn)分布，Gibbs抽樣并不需要知道平穩(wěn)分布的具體表達式，只需要知道在固定其他分量的條件下，余下的一個分量的條件分布。

2.Metropolis-Hasting抽樣

假定我們希望從分布中抽取一個隨機樣本，它包含一個復(fù)雜的標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)，直接的抽取要么太浪費時間，要么不可行，但若存在一個近似分布，且可以很容易的得到隨機樣本的話，那么則可以應(yīng)用Metropolis算法。Metropolis算法就是從近似分布中產(chǎn)生一系列的隨機抽取，使其分布函數(shù)收斂到。此算法的步驟如下：

步驟1：抽取一個隨機的初始值，滿足；

步驟2：對t=1，2，…

（1）第t次迭代時，在給定前面的抽取下，從已知分布中抽取一個候選樣本。用表示已知分布，在Gelman中稱為跳躍分布。這個跳躍分布要求是對稱的，即對于所有的，，t，有

（2）計算比率

（3）選擇

在一些正則性條件下，序列{}依分布收斂到。

算法的實施要求對所有的和計算比率r，以便從跳躍分布中抽取，并從均勻分布中抽取一個隨機實現(xiàn)，決定接受或者拒絕。不需要的標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)，因為這里只利用比率。此算法的接受和拒絕準(zhǔn)則思想如下：1.如果從到的跳躍增加了條件后驗密度，則接受作為；2.如果這個跳躍降低了后驗密度，則以等于密度比的概率設(shè)定=，否則設(shè)定=。

Hasting[4]1970年以兩種方式推廣了Metropolis算法。首先，跳躍分布無需對稱；其次，跳躍準(zhǔn)則修正為：

（5）

這個修正的算法稱為Metropolis-Hasting抽樣。

三、實證研究

1.數(shù)據(jù)及其統(tǒng)計分析。取上證指數(shù)為研究對象，數(shù)據(jù)全部來自雅虎中國網(wǎng)站。收益率指數(shù)采用對數(shù)收益率，即rt=100*（lnpt-lnpt-1），其中pt和pt-1分別是第t日和第t-1日的指數(shù)收盤價。為了避免股市的暴漲暴跌對模型擬合造成的影響，數(shù)據(jù)起始點選在1997年2月以后，即我國證監(jiān)會對股市實行漲跌停板制度以后，時間跨度為1997年2月17日至2012年3月19日，樣本數(shù)據(jù)共3656個。表1給出了序列的日對數(shù)收益率的基本統(tǒng)計情況。

表1 上證指數(shù)日收益率的基本統(tǒng)計

2.GARCH效應(yīng)檢驗。序列是否存在GARCH效應(yīng)，最常用的檢驗方法是殘差平方相關(guān)圖檢驗和拉格朗日乘數(shù)法（LM）檢驗。本文采用LM方法對上證指數(shù)收益率進行檢驗。畫出上證指數(shù)1997年2月17日至2012年3月19日對數(shù)收益率圖，如圖1。

圖1 上證綜指970217—110823日收盤價對數(shù)收益率

由圖1可以看出該日收益率序列是平穩(wěn)的。

3.建模。經(jīng)過典型的ML[5]方法，使用Matlab （R2011a）對此組數(shù)據(jù)序列建立新息（innovations）基于正態(tài)的GARCH（p，q）模型，分別令p=1，2，3和q=1，2，3，經(jīng)過對比選擇了相對最優(yōu)的GARCH（1，1）模型。其中估計的均值方程為：

（6）

方差方程為：

（7）

其中，括號內(nèi)為對應(yīng)系數(shù)的t-統(tǒng)計量。此模型的AIC和BIC值分別是-20219和-20175，很小且非常接近的AIC和BIC值說明模型擬合的效果比較理想。

4.MCMC模擬及預(yù)測。在這里我們采用Metropolis-Hasting抽樣方法進行蒙特卡洛模擬，數(shù)據(jù)以2012年3月19日的上證收盤價（2410.18）為基點，進行向前10階的模擬，模擬生成2012年3月20日至2012年4月5日共10個交易日的對數(shù)收益率和收盤價，如表2所示。

四、結(jié)論

實證結(jié)果表明，上證綜指收益率序列具有顯著的異方差性，并且可采用GARCH（1，1）模型對時間序列的波動性進行擬合和解釋。這說明，上證指數(shù)收益率的波動大小，即總體風(fēng)險都與其各自過去的波動大小有明顯的關(guān)系。也就是說，上證綜指收益率的波動，即其條件方差序列都是“長記憶”型的，且群集聚集特征非常明顯。另外，的估計值之和0.98542小于1且接近1，說明收益率條件方差序列為寬平穩(wěn)且是單位根過程，具有很好的可預(yù)測性。

參考文獻：

[1] Engle R F.Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variances of UK inflation[J].Econometrica，1982，（31）：

987-1008.

[2] Bollerslev T.Generalized Autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[3] Rusy S.Tasy，金融時間序列分析：第二版[M].北京：人民郵電出版社，2009：479-480.

[4] Hasting W K.Monte carlo sampling methods using markov chains and their applications[J].Biometrica，1970，（57）：97-109.

[5] 陸懋祖.高等時間序列計量學(xué)[M].上海：上海人民出版社，1999：231-302.[責(zé)任編輯 高惠琦]