動(dòng)力煤熱值期權(quán)的定價(jià)及Black—Scholes期權(quán)定價(jià)模型檢驗(yàn)

【摘 要】煤炭燃燒熱值交易的提出，豐富了煤炭的交易品種；使煤炭交易更加科學(xué)化；從理論上將金融期權(quán)的理念擴(kuò)展到實(shí)物期權(quán)并應(yīng)用于煤炭熱值的交易中，使得消費(fèi)者可以利用金融衍生品的固有特點(diǎn)進(jìn)行套期保值，本文試用Black-Scholes模型對(duì)動(dòng)力煤燃燒熱值期權(quán)進(jìn)行科學(xué)的定價(jià)，這樣更加有利于完善煤炭市場(chǎng)體系、幫助煤炭現(xiàn)貨交易商實(shí)現(xiàn)現(xiàn)貨保值以及豐富投資者的投資品種與渠道。

【關(guān)鍵詞】煤炭熱值；期權(quán)；期權(quán)價(jià)格；波動(dòng)率

一、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型相關(guān)理論

布萊克—斯科爾斯假設(shè)條件：第一，在期權(quán)到最后期限前，標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)任何回報(bào)的時(shí)候，即沒(méi)有紅利、利息等。第二，存在一個(gè)固定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的概率，投資者可以借助利率無(wú)限制的條件下進(jìn)行貸出或者借入。第三，不存在任何影響收益的外部因素對(duì)過(guò)程產(chǎn)生影響，如繳稅、交易成本支出、交易保證金等。第四，所有的證券可以進(jìn)行無(wú)限制的細(xì)分。第五，投資者可以對(duì)證券進(jìn)行賣(mài)空操作。第六，環(huán)境中沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利條件。第七，標(biāo)的物的變動(dòng)符合相應(yīng)的幾何布朗定律，在公式中=μ*dt+σdZ，ds所代表的是無(wú)窮小的標(biāo)的物價(jià)格變化值；dt是針對(duì)與時(shí)間的參數(shù)代表無(wú)窮小變化值；是標(biāo)的資產(chǎn)在每一個(gè)無(wú)窮小的變化區(qū)間內(nèi)的平均收益情況；σ是價(jià)格過(guò)程的波動(dòng)率，即連續(xù)計(jì)算收益的資產(chǎn)在單位時(shí)間內(nèi)收益的標(biāo)準(zhǔn)差；dz則是0dt與方差為1dt在無(wú)窮小條件下的隨機(jī)變量。包括：（1）資產(chǎn)價(jià)格是連續(xù)變化的；（2）在整個(gè)期權(quán)生命期內(nèi)，資產(chǎn)的預(yù)期收益和收益方差保持不變；（3）任何時(shí)間段的資產(chǎn)收益和其他時(shí)間段的收益互相獨(dú)立；（4）任何時(shí)間段資產(chǎn)的復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，即log（）～N（μ（t-t）），σ2（t-t）。

二、模型的推導(dǎo)

1.相關(guān)知識(shí)補(bǔ)充。（1）正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布。一是均值為

μ，方差為σ的正態(tài)分布隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為：f（x）=exp（-） （1）。如果正態(tài)變量的均值為0，方差為1，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，它的密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為f（x）和F（x）表示，這里，f（x）=e， F（x）=edt。二是如果x是均值為μ，方差為σ的正態(tài)分布變量，那么稱Z=ex是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的，其中μ=exp（μ+）且σ=exp（2μ+σ）exp（σ）-1。（2）布朗運(yùn)動(dòng)。第一，帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)是具有下列性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程x（t），t≥0：一是任何增量X（t+s）-X（s）都是均值為μt，方差為σ的正態(tài)分布變量，μ和σ是確定的參數(shù)。二是對(duì)任何t10。（3）Ito引理。一是用Z（t）表示無(wú)漂移的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，即△t。設(shè)△Z表示時(shí)間改變△t后Z（t）的改變量，由布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)（1），△t（t）=Z（t+△t）-Z（t）=ε，其中ε是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，當(dāng)△t→0時(shí)，上面的關(guān)系可表達(dá)為微分形式：dZ（t）=ε （3）。一般的帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)（Wiener過(guò)程）X（t）可以寫(xiě)成下面的隨機(jī)微分形式：dX（t）=μdt+σdZ（t） （4），其中μ是過(guò)程的漂移率，σ為方差。二是【Ito引理】設(shè)f（X，t）是連續(xù)的，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的非隨機(jī)函數(shù)，X（t）是由下式定義的隨機(jī)過(guò)程：dX（t）=a（X，t）dt+b（X，t）dz（t），其中dz（t）是方程（3）定義的標(biāo)準(zhǔn)Wiener過(guò)程，那么隨機(jī)過(guò)程f=f（X，t）有下面形式的隨機(jī)微分：

df=dt+dX（t）+b（X，t）dt

=（+a（X，t）+b（X，t））dt+b（X，t）dZ（t） （5）

注意：如果f只是X的一個(gè)變量的函數(shù)f=f（X），則同樣的導(dǎo)出Ito引理的結(jié)果是：df=（a（X，t）+b（X，t）））dt+b（X，t）dZ（t）。（4）幾何布朗過(guò)程的微分形式?？紤]方程（4）定義的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其中X（t）的微分由方程（4）定義，取方程（5）中的y=f（X）=ex（t），a（X，t）=μ，b（X，t）=σ利用Ito引理，y的隨機(jī)微分形式為：dy=（μ+）dyt+σydZ，故 =（μ+）dt+σydZ（6）（其中=ex（t）=y，=ex（t）=y），y的漂移率和波動(dòng)率分別是μ+與σ。

2.Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型采用的是典型的動(dòng)態(tài)無(wú)套利均衡分析技術(shù)。在假設(shè)條件下，采取一種動(dòng)態(tài)交易策略，來(lái)復(fù)制歐式買(mǎi)權(quán)到期末的現(xiàn)金流。即用△=份標(biāo)的物股票的多頭（即買(mǎi)入）和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的空頭（即賣(mài)出）來(lái)復(fù)制一份期權(quán)，其中股票的價(jià)格為S，期權(quán)的價(jià)格為f=f（S，t），是股票價(jià)格S和時(shí)間t的函數(shù)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)值為L(zhǎng)，即動(dòng)態(tài)的保持：f=S-L，即L=-f+S。經(jīng)過(guò)一段微小的時(shí)間dt，則有 dL=-df+dS （7）。因?yàn)閒和L都是隨機(jī)過(guò)程，我們應(yīng)用Ito引理來(lái)計(jì)算它的隨機(jī)微分：df=dt+dS+S2dt，dL=（--S2）dt。上式的右邊，隨機(jī)項(xiàng)Z不再出現(xiàn)，這意味著一份期權(quán)的空頭和△份股票的多頭能實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的完全對(duì)沖，而△的大小是動(dòng)態(tài)調(diào)整的。所以，右邊的二者組合和與之等值的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券是完全等價(jià)的，即組合的收益率應(yīng)當(dāng)?shù)扔跓o(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率rf，有rfdt，則dL=（--S2）dt=rfLdt=r（-f+S）dt，整理后得：+rfS+S2=rff。上面的拋物線偏微分方程稱為Black-Scholes方程，它刻畫(huà)了動(dòng)態(tài)調(diào)整組合頭寸保持無(wú)套利均衡的規(guī)律。為了完成期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)，我們還要給出歐氏期權(quán)滿足得邊界條件：當(dāng)t=T時(shí)，對(duì)于買(mǎi)權(quán)，有c=f（T）=max（S（T）-X，0）；對(duì)于賣(mài)權(quán)，有p=f（T）=max（X-S（T），0），其中X時(shí)期權(quán)指定得標(biāo)的物的執(zhí)行價(jià)格。根據(jù)邊界條件，可以倒向解出上述微分方程得初始值的表達(dá)式，即Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式：看漲期權(quán) c=S（t）N（d1）-Xe-rf（T-t）N（d2），看跌期權(quán) p=Xe-rf（T-t）N（d2）-S（t）N（-d1），其中是累計(jì)正態(tài)分布函數(shù)，而 d1= d2=d-σ。

注：B-S模型只解決了不分紅股票的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，莫頓發(fā)展了B-S模型，使其亦應(yīng)用于支付紅利的期權(quán)。

存在已知的不連續(xù)紅利假設(shè)某股票在期權(quán)有效期某時(shí)間t（即除息日）支付已知紅利Dt，只需將該紅利限值從股票價(jià)值S中除去，將調(diào)整后的股票價(jià)值S′=S-Dte-rT（帶入B-S中變型。如果在有效期內(nèi)存在其他所得，依該法，減去得新公式：C= （S-Dte-rT（）N（d1）-Le-rTN（d2）

三、公式的檢驗(yàn)

（1）該模型的使用需有一個(gè)重要前提，即：標(biāo)的資產(chǎn)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。可以通過(guò)以下兩方面進(jìn)行驗(yàn)證。第一，利用伊藤引理可以得到：log-logS=log 服從均值為（μ*=）（T-t）（即μ（T-t）），方差為σ（T-t））的正態(tài)分布。第二，利用對(duì)數(shù)正態(tài)特性，也可以得到投資決策現(xiàn)時(shí)t與之后某一時(shí)刻T之間連續(xù)復(fù)利年收益的概率分布。將t與T之間年收益率定義為a，則連續(xù)復(fù)利年收益率也服從正態(tài)分布。S=Se，a=ln，a～Φμ-， 。（2）B-S模型應(yīng)用條件檢驗(yàn)的內(nèi)容和意義。一是檢驗(yàn)內(nèi)容。作為標(biāo)的資產(chǎn)的煤炭，其價(jià)格的變化是否遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布；連續(xù)復(fù)利收益率是否遵循正態(tài)分布。二是檢驗(yàn)意義。通過(guò)對(duì)以上兩個(gè)方面的檢驗(yàn)，可以驗(yàn)證B-S模型的第一個(gè)假設(shè)條件，即標(biāo)的資產(chǎn)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。有了這一假設(shè)的驗(yàn)證，為在煤炭使用中運(yùn)用B-S模型奠定了基礎(chǔ)，并提供了科學(xué)的依據(jù)。（3）B-S模型應(yīng)用條件檢驗(yàn)的工具和方法。SPSS是公認(rèn)的最優(yōu)秀的統(tǒng)計(jì)分析軟件包之一，具備多種統(tǒng)計(jì)分析方法。本文選用SPSS軟件，進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。本文運(yùn)用的是單樣本的K-S檢驗(yàn)。該檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)一組樣本觀測(cè)結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)分布同某一指定的理論分布之間是否一致。K-S檢驗(yàn)的基本思路是，將順序分類(lèi)數(shù)據(jù)的理論累計(jì)頻率分不同觀測(cè)的經(jīng)驗(yàn)累積頻率分布加以比較，求出它們最大的偏離值，然后在給定的顯著性水平上（一般取0.05）檢驗(yàn)這種偏離是否偶然出現(xiàn)的。

四、B-S模型應(yīng)用條件檢驗(yàn)過(guò)程和檢驗(yàn)結(jié)果分析

（1）樣本的選取與數(shù)據(jù)整理。在選取樣本時(shí)，選取了環(huán)渤海動(dòng)力煤均價(jià)，且動(dòng)力煤的熱值為5500大卡，由于熱值是固定的，它的價(jià)格與動(dòng)力煤的價(jià)格是正相關(guān)的，此時(shí)只分析動(dòng)力煤的價(jià)格走勢(shì)。數(shù)據(jù)如表1及表2。

由以上的分析結(jié)果可知，各組樣本都高度符合：P>0.05（0.05為顯著性水平），即接受正態(tài)分布的原假設(shè)。結(jié)果表明，該方法中各組樣本基本遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布。（2）連續(xù)復(fù)利收益率正態(tài)分布的檢驗(yàn)。由于B-S模型假設(shè)套期保值率是連續(xù)變化的，因此利率要使用連續(xù)復(fù)利。連續(xù)復(fù)利假定利息是連續(xù)支付的，因此用此模型進(jìn)行期權(quán)估價(jià)時(shí)收益率使用連續(xù)復(fù)利計(jì)算。同樣采用K-S檢驗(yàn)。經(jīng)檢驗(yàn)，P值為0.972，顯然其收益率也是基本遵循正態(tài)分布。（3）結(jié)論。根據(jù)SPSS軟件的檢驗(yàn)結(jié)果，可以認(rèn)為動(dòng)力煤的價(jià)格基本遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即B-S模型中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)假設(shè)，也就是說(shuō)對(duì)于煤炭熱值期權(quán)可以使用B-S模型估價(jià)。作為檢驗(yàn)的補(bǔ)充，年收益率也基本符合正態(tài)分布。

五、B-S模型實(shí)證分析

1.波動(dòng)率。歷史波動(dòng)率是基于過(guò)去的統(tǒng)計(jì)分析得出的，假定未來(lái)是過(guò)去的延伸，利用歷史方法估計(jì)波動(dòng)率類(lèi)似于估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)收益系列的標(biāo)準(zhǔn)差。歷史波動(dòng)率具體計(jì)算方法：（1）從市場(chǎng)上獲得動(dòng)力煤在固定時(shí)間間隔（如每天、每周或每月等）上的價(jià)格。（2）對(duì)于每個(gè)時(shí)間段，求出該時(shí)間段末的動(dòng)力煤熱值價(jià)格與該時(shí)段初的價(jià)格之比的自然對(duì)數(shù)。（3）求出這些對(duì)數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差，再乘以一年中包含的時(shí)段數(shù)量的平方根（如，選取時(shí)間間隔為每天，則若扣除閉市，每年中有250個(gè)交易日，應(yīng)乘以根號(hào)250），得到的即為歷史波動(dòng)率。針對(duì)期權(quán)來(lái)說(shuō)，標(biāo)的物的波動(dòng)率是影響其價(jià)值的重要因素之一。在其他參數(shù)不變的情況下，標(biāo)的物價(jià)格波動(dòng)越大，期權(quán)的價(jià)值也越大。

2.環(huán)渤海動(dòng)力煤熱值期權(quán)價(jià)格計(jì)算。（1）環(huán)渤海動(dòng)力煤熱值波動(dòng)率計(jì)算。選取等時(shí)間間隔的數(shù)據(jù)如下表4所示：

對(duì)于選取的該時(shí)間段，可以得出動(dòng)力煤熱值價(jià)格與該時(shí)段初的價(jià)格之比的自然對(duì)數(shù)分別為：0.001363327、0.042673141、0.030850776。它們的標(biāo)準(zhǔn)差為0.021275098，設(shè)一年中包含的時(shí)段數(shù)量為270，則波動(dòng)率為0.349585531。（2）期權(quán)價(jià)格的計(jì)算。以上波動(dòng)率計(jì)算數(shù)值為0.349585531，在這里取0.3。我們選取熱值價(jià)格為0.13元/大卡，假設(shè)行權(quán)價(jià)格為0.13元/大卡，股息收益率為0，到期時(shí)間為1年，可以利用excel表格求出其價(jià)格，如下圖1所示：

則其看漲期權(quán)的價(jià)格為0.0176元，看跌期權(quán)的價(jià)格為0.0131元。

參 考 文 獻(xiàn)

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