一道數(shù)學(xué)趣題的解法淺探

　　在數(shù)學(xué)興趣小組的活動中，顧老師給我們出了這樣一道題：
　　題目很簡單，過程稍復(fù)雜，同學(xué)們，看招：哥哥叫弟弟計算兩個整數(shù)的平方和，弟弟給出答案2012. 哥哥說，錯了.你能證明弟弟算錯了嗎？
　　略加思索，我就在紙上算了起來.
　　解：假設(shè)存在這樣的兩個數(shù)，它們的平方和等于2012.
　　因為02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81．
　　所以，一個數(shù)的平方，個位上的數(shù)只能是0，1，4，9，6，5．
　　又因為2012的個位是2，所以這兩個數(shù)平方后個位上應(yīng)該都是1或都是6．所以這兩個數(shù)只能有下面6種可能：
　　{1}個位上都是1的兩個數(shù)；{2}個位上都是9的兩個數(shù)；{3}個位上是1和9的兩個數(shù)；{4}個位上都是4的兩個數(shù)；{5}個位上都是6的兩個數(shù)；{6}個位上是4和6的兩個數(shù)．
　　先看情況{6hd3Xu+apst5m/6oBUfmQcA==}：假設(shè)這兩個數(shù)為10x+4和10y+6，列方程得：
　?。?0x+4）2+（10y+6）2=2012（x、y均為整數(shù)）．
　　整理，得：5（x2+y2）+2（2x+3y）=98．
　　分三種情況討論：
　　當(dāng)x和y為一奇一偶兩個數(shù)時，5（x2+y2）為奇數(shù)，方程5（x2+y2）+2（2x+3y）=98的左邊為一奇數(shù)，右邊為一偶數(shù)，所以無整數(shù)解．
　　當(dāng)x和y為兩個奇數(shù)時，設(shè)x=2m+1，y=2n+1，代入方程5（x2+y2）+2（2x+3y）=98，整理得：10（m2+m+n2+n）+2（2m+3n）=39．此方程左邊為一偶數(shù)，右邊為一奇數(shù)，所以m、n無整數(shù)解．
　　當(dāng)x和y為兩個偶數(shù)時，同理可得，方程5（x2+y2）+2（2x+3y）=98也無整數(shù)解．
　　所以，方程（10x+4）2+（10y+6）2=2012無整數(shù)解．
　　同理可得，方程（10x+1）2+（10y+1）2=2012，（10x+9）2+（10y+9）2=2012，
　　（10x+1）2+（10y+9）2=2012，（10x+4）2+（10y+4）2=2012，（10x+6）2+（10y+6）2=2012也無整數(shù)解．
　　綜上所述，不存在這樣的兩個整數(shù)，它們的平方和等于2012，所以弟弟肯定算錯了．
　　我作出了上面的解答. 顧老師說：“按照通常的數(shù)學(xué)思維和邏輯，這樣的解法無可厚非，但總感覺復(fù)雜繁瑣，我們先來看看下面一題：有沒有這樣的兩個整數(shù)，它們的平方和等于2013，2014，2015……？”
　　這道題不就是要問至少還要過幾年，年份數(shù)才可以分解為兩個整數(shù)的平方和嘛，解答就更難了，所要證明無整數(shù)解的方程也太多了，這許多方程能不能單憑“奇數(shù)偶數(shù)”說明有無整數(shù)解，我也不敢貿(mào)然肯定．這時，顧老師提醒道：其實，我們可以換一種思路來解答這些問題：
　　因為452=2025，442=1936，322+322=2048，322+312=1985．我們可以借助計算器將下列等式補(bǔ)充完整，橫線上都填整數(shù)，但等號后面必須填大于或等于2012的最小整數(shù)：
　　452+02=2025．442+ ___2=___．432+___2=___．422+___2= ___．
　　412+___2=___．402+___2=___．392+___2=___．382+___2=___．
　　372+ 2=___．362+___2= ___．352+___2=___．342+___2=___．
　　332+___2=___．322+322=2048．
　　計算結(jié)果為：
　　452+02=2025．442+92=2017．432+132=2018．422+162=2020．
　　412+192=2042．402+212=2041．392+232=2050．382+242=2020．
　　372+262=2045．362+272=2025．352+292=2066．342+302=2056．
　　332+312=2050．322+322=2048．
　　顯而易見，等式右邊沒有2012，2013，2014，2015，2016，最小的數(shù)是2017，且2017=442+92，也就是說，至少還要過5年，年份數(shù)2017才可以分解為兩個整數(shù)（44和9）的平方和．
　　同樣的解法，我們也可以很輕松地找到2000年至今，可以分解為兩個整數(shù)的平方和的年份數(shù)：
　　2000=442+82=402+202．
　　2005=412+182=392+222．
　　2009=352+282．
　　換一種思路，往往可以找到通向成功的捷徑，解數(shù)學(xué)題又何嘗不是如此！■
　?。ㄖ笇?dǎo)老師：顧