ARMA模型在西藏自治區(qū)GDP預測分析中的應用

　　【摘 要】該文以西藏自治區(qū)1978～2011年的地區(qū)生產(chǎn)總值時間序列為具體的分析對象，通過對數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理，在此基礎(chǔ)上建立自回歸移動平均模型（ARMA模型）。用Eveiws軟件擬合ARMA模型并做預測分析。
　　【關(guān)鍵字】ARAM模型 單位根檢驗 GDP 預測
　　
　　國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是指在一個特定時期，一個國家或地區(qū)所生產(chǎn)的全部最終產(chǎn)品的價值，可以說，它是影響經(jīng)濟生活乃至社會生活的重要經(jīng)濟指標，通過它可以判斷經(jīng)濟是在萎縮還是在膨脹，是需要刺激還是需要控制。GDP預測的準確性極大地影響著政府的決策，因此如何運用科學有效的方法對其進行分析預測具有重要的理論和現(xiàn)實意義。用于GDP預測的方法很多，該文選擇ARMA模型對西藏自治區(qū)GDP進行模擬預測。
　　一 ARMA模型概述
　　ARMA模型是由美國統(tǒng)計學家博克斯（Box）和金肯（Jenkins）在20世紀70年代提出的，該模型是研究時間序列的重要方法，它實現(xiàn)了對單一時間序列數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)化處理，得到相對精度較高的短期預測結(jié)果。ARMA模型有三種基本類型：自回歸模型（auto-regressive，AR）、移動平均模型（moving-average，MA），以及自回歸移動平均（auto-regressive moving-average，ARMA），前兩種模型是后一種模型的特例。ARMA（p，q）模型的一般表達形式如下：
　　
　　上式表明時間序列Yt不僅和它自身的滯后序列Yt－i，（i＝1，2，…，p）有關(guān)，還與隨機序列μt－i，（i＝1，2，…，q）有關(guān)，其中μt為白噪聲序列。
　　二 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理
　　建立ARMA隨機時間序列模型，首先要考慮研究對象的數(shù)據(jù)是否滿足建模的條件，即要判斷時間序列是否滿足平穩(wěn)性的要求，以下對西藏自治區(qū)GDP數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性分析，以確定能否利用ARMA模型進行擬合。以年份為橫軸，GDP總量為縱軸，描繪出西藏自治區(qū)GDP圖像，見圖1。
　　
　　從圖1中可以看出，西藏自治區(qū)GDP數(shù)據(jù)不具有明顯的周期變化和季節(jié)波動，有明顯的非平穩(wěn)性。西藏自治區(qū)GDP數(shù)據(jù)圖形大致呈指數(shù)增長趨勢，對其采取取對數(shù)（lnGDP）將指數(shù)趨勢化為線性趨勢（見圖2）。通過對lnGDP數(shù)據(jù)進行1次、2次和3次差分后發(fā)現(xiàn)，進行到三階差分D［D（DlnGDP）］才具有平穩(wěn)性。用ADF單位根檢驗三階差分后數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，見表1。
　　
　　表1 ADF單位根檢驗
　　從表1中可以看出，ADF檢驗t值為－7.716807，小于1%置信水平下得t統(tǒng)計量臨界值－3.72。因此在99%的可信度下拒絕序列D［D（DlnGDP）］有單位根的假設(shè)，認為對數(shù)變化后的三階差分D［D（DlnGDP）］是平穩(wěn)的。
　　三 模型的建立與識別
　　平穩(wěn)時間序列ARMA（p，q）的重要特征見表2。
　　表2
　　AR（p）MA（q）ARMA（p，q）
　　模型
　　
　　
　　自相關(guān)
　　函數(shù)拖尾，指數(shù)衰減
　　或正弦衰減截尾（q步）拖尾，指數(shù)衰減或正弦衰減
　　偏自相
　　關(guān)函數(shù)截尾（p布）拖尾，指數(shù)衰減或正弦衰減拖尾，指數(shù)衰減或正弦衰減
　　從表2中可以看到，根據(jù)拖尾和截尾的性質(zhì)可以選擇不同的模型進行擬合，在ARMA模型定階中可以通過運用自相關(guān)和偏自相關(guān)圖觀察確定序列D［D（DlnGDP）］的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（如表3所示）。
　　
　　表3 表5
　　從表3-2中D［D（DlnGDP）］的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)中我們可以看到，它們都是拖尾的，因此可設(shè)定為ARMA模型。D［D（DlnGDP）］的自相關(guān)函數(shù)1-3階都是顯著的，從4階后開始下降很大，數(shù)值也不太顯著，因此先假定q的值為3。D［D（DlnGDP）］的偏自相關(guān)函數(shù)1-2階都很顯著，并且從第3階起下降明顯，因此初步設(shè)定p的值為2，建立ARMA（2，3）模型。由于自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)的方法來定階并不是太精確，主觀性較強，最佳定階法是構(gòu)造一個準則函數(shù)，該函數(shù)既要考慮用某一模型對原始數(shù)據(jù)擬合的接近程度，同時又要考慮模型中所含待定參數(shù)的個數(shù)。通常根據(jù)赤池信息準則（Akaike information criterion，AIC）及施瓦茨信息準則（Schwarz information criterion，SIC）來確定模型滯后階數(shù)（p，q）值。選取p＝（2，3）；q＝（2，3），組合之
　　后的AIC、SIC的值見表4
　　表4
　?。?，2）（2，3）（3，2）（3，3）（3，4）
　　AIC-2.62-2.57-2.56-2.53-2.27
　　SIC-2.39-2.29-2.22-2.20-1.89
　　根據(jù)最佳模型準則，選取赤池信息法則AIC值與施瓦茨貝葉斯法則SIC值越小越好的原則，選擇ARMA（2，2）比較合適。
　　從表5中可以看到，變量都以較高的概率通過了顯著性檢驗。而且，從模型的擬合程度看，決定系數(shù)達到了87%，模型具有很好的預測功能。DW統(tǒng)計量為2.2，不存在序列相關(guān)。特征方程的倒數(shù)跟的絕對值都小于1，滿足平穩(wěn)性的要求。
　　四 模型檢驗
　　對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗，結(jié)果見表6
　　從樣本的殘差自相關(guān)圖可以看出，樣本的ACF和PACF值都在兩倍標準差之內(nèi)，即認為殘差為白噪聲序列，說明該模型是有效的。做回歸殘差圖（見圖3），從圖形中可以清楚地看出這個模型的優(yōu)點：首先，比較實際值和擬合值，可以發(fā)現(xiàn)該預測模型能夠很好地擬合實際值；其次，該模型明顯地抓住了年度變動的特征，并且這種固定的年度模式較好地擬合了西藏自治區(qū)GDP數(shù)據(jù)的大部分變動；最后，生成的殘差序列為白噪聲序列，而且大部分落在5%的顯著帶寬中。該模型僅在1989、1990年經(jīng)濟波動劇烈時，模擬的效果較差，這與當時的西藏經(jīng)濟社會發(fā)展環(huán)境有一定的關(guān)聯(lián)。
　　
　　表6 圖3
　　五 模型預測
　　所有的檢驗表明，樣本區(qū)間上所建立的ARMA(2，2)模型是合適的，利用Dynamic預測方式（圖4-3）及“static”方法（圖4-4）對西藏自治區(qū)的GDP進行預測。
　　
　　圖4 圖5
　　圖中的實線代表的是D(D(DlnGDP))的預測值，兩條虛線代表了2倍標準差的置信區(qū)間，從圖中可以看出，隨著時間的推移，預測值很快趨向于序列的均值（接近0），這與實際是相符的，近期的變量對于現(xiàn)在的變量影響較大，但隨著時間的增長，影響越來越小。從圖4中還可以看到theil不相等系數(shù)為0.59，表明模型的預測能力較好，而對它的分解可以看出偏誤比例很小，方差比例較大，說明實際序列的波動較大，而模擬序列的波動較小，這可能是由于預測時間過長引起的。利用“static”方法來估計1989～2011年的D［D（DlnGDP）］，可以得到如圖5所示的結(jié)果，從圖5中可以看出，“static”方法得到的預測值波動較大；同時，方差比例的增加表明了模擬實際序列的波動較大，表明模型的預測結(jié)果較dynamic要差。
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