無(wú)界區(qū)域上具有記憶項(xiàng)的半線性耗散波動(dòng)方程的整體吸引子的維數(shù)估計(jì)

韓英豪，任怡靜，梁建華

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029)

無(wú)界區(qū)域上具有記憶項(xiàng)的半線性耗散波動(dòng)方程的整體吸引子的維數(shù)估計(jì)

韓英豪，任怡靜，梁建華

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029)

Hausdorff維數(shù);分形維數(shù);記憶項(xiàng);整體吸引子

為了避免不必要的常數(shù)出現(xiàn)，不妨假設(shè) k(∞)=1。利用 V.Pata在文獻(xiàn)［5］中采用過(guò)的方法，把過(guò)去的位移的變化量用新的變量來(lái)表示。也就是說(shuō)，方程(1)通過(guò)變換

得到方程組

該方程組的初始條件為

這里 η0(x，s)=u0(x，0) －u0(x，－s)。

本文首先研究方程(2)的初值問(wèn)題，為此給出所需要的各種條件，定義相空間，并給出本文中有用的幾個(gè)引理;然后集中處理方程所決定的半群的可微性;最后根據(jù)特征方程－φ(x)△u=au，x∈RN的特征值a分布的漸近估計(jì)得出Hausdorff維數(shù)和分形維數(shù)的上界。

1 準(zhǔn)備工作

2 X0中整體吸引子的Hausdorff維數(shù)

首先證明方程組(5)所決定的半群S(t)在相空間X0上的Fréchet可微性，然后根據(jù)算子A=－φ△的特征函數(shù)的漸近分布，利用Liouville公式估計(jì)Hausdorff維數(shù)和分形維數(shù)的上界。為此，首先給出Hausdorff維數(shù)和分形維數(shù)的定義。

度量空間H的子集A?H的Hausdorff測(cè)度定義為

式中，C(A，ε)是由A的所有半徑為ri≤ε的球構(gòu)成的覆蓋的集合，那么容易看出μH(A，d)關(guān)于d是不增的。因此Hausdorff維數(shù)定義為

而分形維數(shù)的定義是

下面考慮半群S(t)的可微性。在本文中字母c始終表示正常數(shù)，其值在不同的場(chǎng)合表示不同的值。

引理4在命題1的假設(shè)條件下，如果f還滿足(H5)，那么，對(duì)任意給定的方程(5)的解u(t)，線性化方程

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Estimates on the Dimension of the Global Attractor for a Semilinear Dissipative Wave Equations with Linear Memory on RN

HAN Ying－h(huán)ao，REN Yi－jing，LIANG Jian－h(huán)ua
(School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China)

hausdorff dimension;fractal dimension;memory term;global attractor的狀態(tài)。當(dāng)k(s)≡1時(shí)此模型為半線性波動(dòng)型方程，在海洋學(xué)、聲學(xué)、地球物理學(xué)等學(xué)科中經(jīng)常出現(xiàn)。此處φ(x)表示在一點(diǎn)x∈RN處的波動(dòng)的速度。對(duì)有界區(qū)域的情形，此類問(wèn)題已經(jīng)有了很深入的研究。然而，對(duì)無(wú)界區(qū)域的情形，仍有不少問(wèn)題有待解決。近幾年來(lái)有不少學(xué)者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了研究，如Ph.Brenner在文獻(xiàn)［1］中得到了此類方程的整體強(qiáng)解的存在性，E.Feiresl在文獻(xiàn)［2－3］中研究了此類方程的解的漸近行為和緊吸引子的存在性，N.I.Karachalios和 N.M.Stavrakakis在文獻(xiàn)［4］中研究了此類方程的整體吸引子的維數(shù)估計(jì)。具有記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程出現(xiàn)在對(duì)由周圍粘彈性環(huán)境引起的具有衰減記憶的波動(dòng)理論的研究中，例如具有記憶性能的電磁材料等領(lǐng)域的理論研究經(jīng)常出現(xiàn)。最近有很多學(xué)者研究了具有記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程，如文獻(xiàn)［5－6］等。韓英豪等人在文獻(xiàn)［6］中研究了在無(wú)界區(qū)域上具有記憶項(xiàng)的波動(dòng)方程的吸引子的存在性。本文在此基礎(chǔ)上研究了在無(wú)界區(qū)域上具有線性記憶項(xiàng)的耗散波動(dòng)方程的整體吸引子的Hausdorff維數(shù)和分形維數(shù)的上有界性。

O175.29

A

1009－315X(2012)01－0037－06

2011－11－03;最后

2011－11－25

韓英豪(1963－)，男，朝鮮族，吉林延邊人，副教授，博士，主要從事無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)研究。

(責(zé)任編輯 鄒永紅)