尋找梅森素?cái)?shù)的新方法

陳德建

（黎明職業(yè)大學(xué)，福建泉州 362000）

1 序 言

定義：形如2p-1的素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù)，記為Mp.

梅森（Mersrnne Marin 1588—1648），法國數(shù)學(xué)家、自然哲學(xué)家、宗教家.他在1644年提出了梅森素?cái)?shù)，梅森素?cái)?shù)的提出是探索表素?cái)?shù)公式的開始，在數(shù)論史上具有開拓性的意義.

但尋找梅森素?cái)?shù)依然很難，從歐幾里德時(shí)代至今的2 300多年，人類只找到46個(gè)梅森素?cái)?shù).它們是：

243112609-1，這個(gè)在普通人看起來頗為奇特的數(shù)字，近來（2008年）正讓國際數(shù)學(xué)界乃至科學(xué)界為之欣喜若狂.這是人類發(fā)現(xiàn)的第46個(gè)也是最大的梅森素?cái)?shù).它有12 978 189位數(shù)，如果用普通字號(hào)將這個(gè)巨數(shù)連續(xù)寫下去，長度可達(dá)50km!這一發(fā)現(xiàn)被著名的《時(shí)代周刊》評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)現(xiàn)”之一，排名29位.

為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)，設(shè)在美國的電子新領(lǐng)域基金會(huì)（EFF）不久前向全世界宣布了為通過GIMPS項(xiàng)目來探尋梅森素?cái)?shù)而設(shè)立的獎(jiǎng)金.規(guī)定第一個(gè)找到超過1 000萬位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)10萬美元；超過一億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元.絕大多數(shù)研究者并不是為了金錢，而是出于樂趣，榮譽(yù)感和探索精神.

梅森素?cái)?shù)是否有無窮多個(gè)，梅森素?cái)?shù)有什么樣的分布規(guī)律等問題都是強(qiáng)烈吸引一代又一代研究者的世界著名問題.

梅森素?cái)?shù)的難尋不僅在與梅森數(shù)MP隨素?cái)?shù)p的增大而迅速增至巨大，還在于梅森合數(shù)的因子也難于尋找.1867年，人們已經(jīng)知道M67是合數(shù)，但對(duì)于它的因子一無所知.直到1903年10月在美國數(shù)學(xué)會(huì)上數(shù)學(xué)家科爾（Freidric Nelson Cole）提交了一篇論文《大數(shù)的因子分解》.當(dāng)科爾自在黑板上寫上 267-1 = 19370771× 761838257287時(shí)，會(huì)場(chǎng)上爆發(fā)了強(qiáng)烈的掌聲.

現(xiàn)在我們知道不大于257的素?cái)?shù)有55個(gè)，梅森素?cái)?shù)有12個(gè)，梅森宣告的10個(gè)梅森素?cái)?shù)錯(cuò)了2個(gè)，而43個(gè)梅森合數(shù)僅錯(cuò)了4個(gè)，依然十分了不起.

從第13個(gè)梅森素?cái)?shù)開始，即從M521開始，都是在1952年以后，借助電子計(jì)算機(jī)而陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的.

傳統(tǒng)的探尋方法有二：一是心算筆算，二是借助電子計(jì)算機(jī)搜索.令人不解的是臺(tái)式電子計(jì)算機(jī)在檢查梅森研究結(jié)果時(shí)居然漏掉了M19這個(gè)梅森素?cái)?shù).由此可推斷雖然電子計(jì)算機(jī)在尋找梅森素?cái)?shù)時(shí)有一定的或然性.換句話說，在已知的梅森素?cái)?shù)之間還可能找到新的梅森素?cái)?shù).

數(shù)學(xué)史上有個(gè)故事，有一個(gè)人排出六角形幻方，后來忘記了，他花了47年時(shí)間才第二次找到，另一個(gè)人用證明的方法花了一年也排出了這唯一的六角形幻方.

2 證 明

定理 2：設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，q是Mp的一個(gè)素因數(shù)，則q形如： q= 2 kp+ 1[2].

例如：211-1=2 047=23×89，223-1=8 388 607=47 ×178 481，229-1=536 870 911=233×1 103×2 089，237-1=137 438 953 471=233×616 318 177.

若不然，必有

其中m，n∈N.

2T p +1= 4 mnp2+ 2(m + n)p+1，兩邊同減去1后除以2p，得

因?yàn)?2q-1= 2sq +1= p，

由于2p-1非平方數(shù)，m≠n，不妨設(shè)m＜n.

2Mq- 1= M127是梅森素?cái)?shù).

整理得

約去p，得

（3）式左邊首項(xiàng)

（3）兩邊同減 22sq-q得

即

也即

m＞x2，而 n＞x1.

m0為正整數(shù).則

整理得

由綜合除法

0.292893218 ×2(s-1)q＜m＜ 2(s-1)q,0.292893218 ×2sq+1＜2sq-1+m＜2sq+1

0，即

綜之有

從（11）式到（17）式，m0的下限不變，上限不斷下降，n0則上限不變，下限不斷上升.這樣的過程可以無限進(jìn)行下去，其極限情況是m0、n0的上下限合而為一.此時(shí)，

[1]王元.談?wù)勊財(cái)?shù)[M].上海：上海教育出版社，1983.

[2]柯召，孫琦.數(shù)學(xué)講義（上）[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]張四保.有關(guān)梅森素?cái)?shù)的預(yù)測(cè)[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009（5）.