逼近法輸入求解花鍵反漸開線函數(shù)

麥承賢

（上汽通用五菱汽車股份有限公司，廣西 柳州 545007）

漸開線花鍵的齒面接觸好，承載力大，能自動(dòng)定心，精度高，互換性好，容易獲得不同的齒側(cè)配合間隙，在機(jī)械傳動(dòng)中應(yīng)用廣泛。在漸開線花鍵的設(shè)計(jì)過(guò)程中，確定基本參數(shù)、計(jì)算選定內(nèi)花鍵齒槽寬、外花鍵齒厚及其公差，這些都是比較容易的事；然而在運(yùn)用齒槽寬、齒厚計(jì)算漸開線花鍵的檢驗(yàn)項(xiàng)跨棒距和棒間距M 值時(shí)，則是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程。按照標(biāo)準(zhǔn)選擇齒側(cè)配合間隙的，可以從標(biāo)準(zhǔn)的附表里查找到對(duì)應(yīng)的M 值；但很多時(shí)候可能選用不同于標(biāo)準(zhǔn)里的齒側(cè)配合間隙，這就需要對(duì)漸開線函數(shù)值求反函數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的角度值，再用這個(gè)角度值計(jì)算M 值。

1 漸開線函數(shù)的特性

1.1 漸開線函數(shù)

漸開線函數(shù)的公式為

式中，x為角度值，計(jì)算時(shí)應(yīng)為弧度。

公式中有tan（x），而

tan（x）=sin（x）/cos（x），

作為除數(shù)cos（x）不能等于零，也就是說(shuō)x 作為角度不能等于90°和270°。

作為應(yīng)用在漸開線花鍵上，x的范圍只能在角度坐標(biāo)的第一象限內(nèi)，即

0°≤x ＜90°

1.2 函數(shù)關(guān)系曲線圖

根據(jù)前述，取角度值從0°～85°變化，漸開線函數(shù)值隨角度值變化的曲線如圖1所示。

圖1 漸開線函數(shù)與角度的關(guān)系曲線圖

從圖可以看出，曲線類似于一種拋物線，它在0°～15°范圍，基本貼近為0；在20°～50°范圍，接近于一條斜度很小的直線；在55°～75°范圍，類似一段圓??；在80°～85°范圍，又轉(zhuǎn)成一條斜度很大的直線。

從機(jī)械傳動(dòng)引用的漸開線花鍵具體齒形來(lái)說(shuō)，漸開線應(yīng)用的角度一般在20°～50°范圍，在此范圍漸開線函數(shù)值類似于直線變化，函數(shù)值與角度接近于線性關(guān)系，函數(shù)值隨角度的增大而增大。

1.3 反漸開線函數(shù)

漸開線函數(shù)是指知道inv x=c，求解x的值

x=inv-1（c）

這是沒有直接計(jì)算公式的一個(gè)函數(shù)，不能通過(guò)計(jì)算公式直接算出。

2 通常求解反漸開線函數(shù)方法

2.1 查表法

使用查表法需要在手頭上備有一份漸開線函數(shù)表。根據(jù)M 值計(jì)算過(guò)程中得到的漸開線函數(shù)值，在漸開線函數(shù)表中排列的函數(shù)值里查找，找到接近的兩個(gè)數(shù)值，計(jì)算的漸開線函數(shù)值應(yīng)在這兩個(gè)數(shù)值之間，再用比例法計(jì)算求出對(duì)應(yīng)的角度值。例如，假定計(jì)算的漸開線函數(shù)值為

inv ai=0.020 622

那么查函數(shù)表，得到兩個(gè)接近的值：0.020 533、0.020 775。

表中這兩個(gè)值對(duì)應(yīng)的角度是：22°10′、22°15′。

亦即

invθ1=inv 22°10′=0.020 533，

invθ2=inv 22°15′=0.020 775。

按比例法，有

ai=θ1+（θ2-θ1）×（inv ai-invθ1）/（invθ2-invθ1）

代入數(shù)值，計(jì)算得

ai=22°11′51″，

對(duì)ai的值求漸開線函數(shù)，作驗(yàn)證，有

inv 22°11′51″=0.020 622

證明方法正確有效。

查表法求解反漸開線函數(shù)，是最普遍的傳統(tǒng)方法，現(xiàn)今也還有很多人仍在采用，其求解過(guò)程比較復(fù)雜，求得的值有時(shí)會(huì)不夠精確，還必需保證有漸開線函數(shù)表隨時(shí)可查。

2.2 專用軟件程序計(jì)算

在計(jì)算機(jī)普及使用的現(xiàn)今，在基礎(chǔ)軟件上編制一個(gè)專用的程序，程序可以循環(huán)計(jì)算，使用步長(zhǎng)遞增角度值變化計(jì)算對(duì)應(yīng)的漸開線函數(shù)，當(dāng)計(jì)算函數(shù)等于已知值時(shí)停止計(jì)算，輸出顯示角度值。例如，就有用Visual Basic、C++等軟件編寫的求解反漸開線函數(shù)的一些程序。

使用專用軟件程序求解反漸開線函數(shù)，方便快速，但這種方法只能是程序編寫者極其小范圍的人能夠采用。

3 Excel程序中逼近法輸入求解反漸開線函數(shù)

隨著計(jì)算機(jī)的普及，作為Office辦公軟件之一的Excel程序，已是應(yīng)用很廣了，其可以直接輸入單個(gè)參數(shù)數(shù)值或者編制計(jì)算代式計(jì)算出結(jié)果。基本上每個(gè)工程技術(shù)人員都會(huì)應(yīng)用Excel程序來(lái)做設(shè)計(jì)計(jì)算。逼近法輸入求解反漸開線函數(shù)，就是在Excel程序應(yīng)用基礎(chǔ)上使用。

3.1 逼近法輸入求解釋義

逼近法輸入求解，就是以inv x=c的已知函數(shù)值c 做比較對(duì)象，假定一個(gè)角度θ，給θ 初步輸入一個(gè)在合理范圍內(nèi)的數(shù)值，計(jì)算invθ，不斷地修正θ 值，使invθ 逐步接近于c 值，在一定的精度要求下，很容易得到invθ=c的成立，此時(shí)即可解得反漸開線函數(shù)x=θ。

3.2 確定角度和函數(shù)值需保證的精度

（1）角度值精度。角度數(shù)值在零件圖紙上都是以度分秒來(lái)標(biāo)準(zhǔn)及要求的，1（"）換算成（°）為

1″=0.000 278°，那么，在以度表示時(shí)，保留到小數(shù)點(diǎn)后第5位，精度足夠。

（2）函數(shù)值精度。在50°附近用兩個(gè)相差0.000 01°的角度，計(jì)算漸開線函數(shù)值，如

Inv 50.123 45°=0.322 161 48

Inv 50.123 46°=0.322 161 73

另在20°附近用兩個(gè)相差0.000 01°的角度，計(jì)算漸開線函數(shù)值，如

Inv 20.222 45°=0.015 424 917

Inv 20.222 46°=0.015 424 941

對(duì)比上面兩段角度區(qū)間的函數(shù)值，大角度區(qū)間的函數(shù)值，從小數(shù)點(diǎn)后到第7位開始變化；小角度區(qū)間的函數(shù)值，從小數(shù)點(diǎn)后到第8位開始變化，那么將函數(shù)值保留到小數(shù)點(diǎn)后第8位，精度足夠。

3.3 求解步驟

（1）完成文件準(zhǔn)備。建立一個(gè)新的空白Excel文件，進(jìn)行命名。如果是用Excel文件進(jìn)行的漸開線花鍵聯(lián)結(jié)設(shè)計(jì)，也可以直接使用現(xiàn)有的文件，在新起行開始準(zhǔn)備。

（2）做初始表格。如圖2所示，任意取7行8列表格，進(jìn)行加實(shí)邊框、調(diào)整列寬、合并單元格、輸入描述文字。這里將表格取在B2到I8格。

圖2 初始表格示意圖

注意，一定要清楚表格的單元格代號(hào)，后續(xù)所說(shuō)的某某格，都是以圖2顯示位置來(lái)說(shuō)。

（3）向表格輸入初始數(shù)值、計(jì)算式、取值條件。前面所說(shuō)，角度保留到小數(shù)點(diǎn)后第5位，精度足夠，所以將假定的角θ 設(shè)定為7個(gè)數(shù)字，在C3到I3格分別填入，初始建議用4、0、0、0、0、0、0，修正時(shí)方便，當(dāng)然也可以用其他數(shù)字。

C4格，輸入計(jì)算式

使其為實(shí)際角θ的度數(shù)。

C5格，輸入invθ的計(jì)算式

=TAN（C4×3.141 59/180）-C4×3.141 59/180，計(jì)算式需要將度換算成弧度。

C6格，輸入設(shè)計(jì)計(jì)算的需要求解反函數(shù)的函數(shù)值：inv a，已知的數(shù)值，假如為0.063 625 28。

C7格，輸入條件取值式子

=IF（C5>C6，C5-C6，C6-C5），求invθ 與inv a的差值，用絕對(duì)值。

C8格，輸入條件取值式子

=IF（C7<0.000 000 01，C4，0），判斷invθ 與inv a在保留到小數(shù)點(diǎn)后第8位時(shí)是否已相等，若相等，顯示求解的a的角度值，否則顯示為0。

輸入時(shí)，將C5、C6、C7格設(shè)置為小數(shù)位數(shù)9位，這樣輸入后，表格顯示如圖3所示。

圖3 初始輸入后表格示意圖

（4）修正假定角θ的7個(gè)數(shù)字。首先，修正十位上的數(shù)字4：比較invθ 與inv a，invθ 大，將數(shù)字減小1，調(diào)整為3，再比較，已變小于了，則完成調(diào)整。

其次，修正個(gè)位上的數(shù)字0：先將數(shù)調(diào)整為5，比較invθ 與inv a，invθ 大，調(diào)整為4，還大，繼續(xù)，直到調(diào)整為1后，invθ 變小于了，此時(shí)完成調(diào)整。注意，在此有可能要重新調(diào)整到為0才變?yōu)樾∮凇?/p>

再次，修正小數(shù)點(diǎn)后第1位的數(shù)字0：同樣，先將數(shù)調(diào)整為5，比較invθ 與inv a，invθ 小，調(diào)整為9，變大于，依次調(diào)整為8、7、6，都還是大于，最后調(diào)整為5，變?yōu)樾∮冢藭r(shí)完成調(diào)整。

注意，必須是數(shù)字剛好調(diào)小1個(gè)數(shù)值時(shí)，invθ 由大于變?yōu)樾∮冢潘阏{(diào)整完成，數(shù)字正確。

依此類推，小數(shù)點(diǎn)后第2位到第5位的數(shù)字，按上述同樣的方法修正調(diào)整。

修正調(diào)整完成后，表格顯示如圖4所示。

圖4 修正調(diào)整數(shù)字后表格示意圖

（5）求解完成。至此，采用逼近法輸入求解反漸開線函數(shù)完成，C8格顯示求解得出的角度值，這是一個(gè)精確的數(shù)值。

4 后續(xù)的M 值計(jì)算

對(duì)于進(jìn)行漸開線花鍵設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，完成了關(guān)鍵的求解反漸開線函數(shù)，后續(xù)的對(duì)漸開線M 值的計(jì)算就簡(jiǎn)單了。

漸開線花鍵標(biāo)準(zhǔn)GB/T3478的單行冊(cè)、或者機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)，都有漸開線花鍵M 值計(jì)算公式，在同一個(gè)excel文件里求解反漸開線函數(shù)的表格之后的新起行，框出新的表格，作簡(jiǎn)單描述、輸入已知數(shù)值、列入計(jì)算式，進(jìn)行直接計(jì)算即可完成。

5 結(jié)束語(yǔ)

漸開線花鍵的M 值，是檢驗(yàn)漸開線花鍵是否符合要求的重要數(shù)據(jù)，計(jì)算M 值的前提，是求解對(duì)應(yīng)的反漸開線函數(shù)，傳統(tǒng)的查表法比較復(fù)雜，且容易弄錯(cuò)；應(yīng)用專業(yè)軟件編程求解，使用的范圍偏小難以普及。

運(yùn)用excel程序?yàn)榛A(chǔ)，逼近法輸入求解反漸開線函數(shù)，適用方便，并不復(fù)雜，可以求解得到精確的角度值，它還可以跟之前的漸開線花鍵設(shè)計(jì)尺寸計(jì)算和之后的M 值計(jì)算連接起來(lái)，保存在同一個(gè)文件中。這種方法也算是應(yīng)用專業(yè)軟件編程求解方法之一，它因?yàn)閑xcel程序的普及而容易大范圍應(yīng)用。

[1]GB/T 3478.1～9-2008，圓柱直齒漸開線花鍵（米制模數(shù)齒側(cè)配合）[S].

[2]郭 林.漸開線齒廓跨棒距和棒間距的實(shí)用計(jì)算方法[J].天津汽車，1995，（04）：24-27.