數(shù)學(xué)軟件Mathematica在微積分教學(xué)中的應(yīng)用*

禹 實(shí)，賈屹峰，王志高

(中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院，北京 100048)

數(shù)學(xué)軟件Mathematica在微積分教學(xué)中的應(yīng)用*

禹 實(shí)，賈屹峰，王志高

(中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院，北京 100048)

在大學(xué)文科《微積分》的教學(xué)中利用符號(hào)計(jì)算軟件Mathematica的計(jì)算功能和繪制函數(shù)圖形的功能，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性，激發(fā)學(xué)生的興趣，提高學(xué)習(xí)成績(jī)。

Mathematica;符號(hào)計(jì)算;微積分;畫(huà)圖

一、引 言

近年來(lái)，大學(xué)文科各專(zhuān)業(yè)普遍開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)課程作為必修課，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)能力起到了一定作用。大學(xué)文科數(shù)學(xué)課基本上是理工類(lèi)高等數(shù)學(xué)課的壓縮和簡(jiǎn)化，一方面試圖把大量的基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)介紹給學(xué)生;另一方面又受課時(shí)較少的限制必須精簡(jiǎn)內(nèi)容，于是普遍采取了重結(jié)論不重證明，重計(jì)算不重推理，重知識(shí)不重思想的講授方法。這種教學(xué)需要更好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但是，因?yàn)槲睦矸挚?，大部分文科學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也相對(duì)薄弱，甚至有些學(xué)生是因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)差才放棄理工科，轉(zhuǎn)而學(xué)習(xí)文科。他們對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性感到困惑，對(duì)枯燥的理論感到厭煩，而繁雜的計(jì)算、推導(dǎo)和證明更是感到痛苦，甚至使得某些學(xué)生產(chǎn)生厭惡感，從而放棄數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

隨著計(jì)算機(jī)在教學(xué)中的應(yīng)用，各種符號(hào)計(jì)算軟件普遍用于大學(xué)數(shù)學(xué)的輔助教學(xué)。但是目前符號(hào)計(jì)算軟件在教學(xué)方面的應(yīng)用主要是針對(duì)理工科學(xué)生，對(duì)文科學(xué)生目前比較少，而符號(hào)計(jì)算軟件對(duì)文科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更有幫助。通過(guò)符號(hào)計(jì)算軟件，增強(qiáng)直觀性，達(dá)到對(duì)抽象問(wèn)題的理解;通過(guò)在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使得學(xué)生感到數(shù)學(xué)不僅僅是枯燥的理論;大量的繁雜的計(jì)算、推導(dǎo)和證明都可以利用符號(hào)計(jì)算軟件讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)上完成，學(xué)生不必花費(fèi)大量的時(shí)間用于數(shù)學(xué)中的“非本質(zhì)”性問(wèn)題，從而把更多的時(shí)間用于加強(qiáng)“本質(zhì)”性問(wèn)題的學(xué)習(xí)。另外利用符號(hào)計(jì)算還可以拓廣學(xué)生的知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在實(shí)踐教學(xué)中，我們利用Mathematica符號(hào)計(jì)算軟件輔助微積分教學(xué)。

二、Mathematica符號(hào)計(jì)算軟件簡(jiǎn)介

Mathematica符號(hào)計(jì)算軟件是 Wolfram Research公司開(kāi)發(fā)的一個(gè)專(zhuān)門(mén)進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算的軟件。它的主要功能包括三個(gè)方面:符號(hào)演算，數(shù)值計(jì)算和圖形。Mathematica擁有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算功能，支持比較復(fù)雜的符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算。能夠基本可以完成現(xiàn)在大學(xué)數(shù)學(xué) (包括高等數(shù)學(xué)，微積分，線(xiàn)性代數(shù)，概率論等)的所有計(jì)算，許多的大學(xué)數(shù)學(xué)題目都可利用Mathmatica在計(jì)算上完成。Mathematica具有強(qiáng)大的畫(huà)圖功能，可以非常方便地作出各種方式表示的一元和二元函數(shù)的圖形，并且根據(jù)需要自由地選擇畫(huà)圖的范圍和精確度。通過(guò)對(duì)這些圖形的觀察，使得學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題有更加直接的認(rèn)識(shí)。Mathematica還是一個(gè)交互式的計(jì)算系統(tǒng)，具有非常好的界面，輸入輸出都非常方便。另外，Mathematica中的命令都是數(shù)學(xué)中相應(yīng)名詞的英語(yǔ)單詞，容易記憶，并且提供了非常好的幫助功能。

三、Mathematica在微積分中的應(yīng)用

文科微積分主要內(nèi)容包括極限理論、函數(shù)的連續(xù)性、微分、不定積分、定積分、多元函數(shù)微分、重積分。下面我們簡(jiǎn)要介紹Mathematica在這幾方面教學(xué)中的應(yīng)用。

1.極限與函數(shù)連續(xù)性

極限是微積分的基礎(chǔ)，也是教學(xué)的難點(diǎn)，特別是極限的ε－N與ε－δ定義比較抽象，學(xué)生理解比較困難。在教學(xué)中，可以利用Mathematica先畫(huà)出數(shù)列或者是函數(shù)的圖象，給學(xué)生一個(gè)直觀的印象。例如:可以利用命令

對(duì)于函數(shù)，利用Limit不但可以求出函數(shù)在無(wú)窮大或某一點(diǎn)的極限，而且還可以求函數(shù)的左極限和右極限，從而判斷函數(shù)的連續(xù)性。例如:用Limit可以直接求出的極限是。比較復(fù)雜，需要用羅比達(dá)法則計(jì)算的極限也都可以由Limit直接求出，例如求的極限:

如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在這一點(diǎn)連續(xù)，因此，可以直接利用Limit求極限和函數(shù)在該點(diǎn)的值比較是否相等確定函數(shù)的連續(xù)性。對(duì)于間斷點(diǎn)，仍然可以利用Limit判斷是哪一類(lèi)間斷點(diǎn)，

則左右極限不相等，故是跳躍間斷點(diǎn)。

類(lèi)似，還可以判斷其他的間斷點(diǎn)類(lèi)型。

2.導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)始終貫穿著整個(gè)微積分的學(xué)習(xí)，在微積分中起著舉足輕重的作用，簡(jiǎn)單的低階導(dǎo)數(shù)容易計(jì)算，復(fù)雜函數(shù)或者高階導(dǎo)數(shù)，特別是二元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算就比較復(fù)雜了。二元函數(shù)本身就比較復(fù)雜，圖象是三維的，需要有比較好的空間想象力。利用Mathematica中畫(huà)圖函數(shù)Plot3D能夠比較精確地畫(huà)出二元函數(shù)的三維圖象，這樣對(duì)二元函數(shù)的理解更為直觀。

圖4，圖5是用Plot3D畫(huà)出的兩個(gè)二元函數(shù)f(x，y)=x2－y2，x2+y2+z2=1 的圖象。

Mathematica給出了計(jì)算導(dǎo)數(shù)的命令D，利用該命令，可以計(jì)算函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并且可以完成一些簡(jiǎn)單的推理和證明。

計(jì)算導(dǎo)數(shù)的命令與解方程的命令Solve或者Root結(jié)合，可以計(jì)算一元函數(shù)和二元函數(shù)的極值以及條件極值。

Mathematica中用Dt計(jì)算微分，該命令比較簡(jiǎn)單，這里不詳細(xì)說(shuō)明。

3.不定積分和定積分

積分是微積分學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，一方面不定積分的公式比較多，計(jì)算過(guò)程中有很多的技巧;另一方面重積分的積分區(qū)域的確定比較難。

Mathematica中用Integrate計(jì)算不定積分和定積分。

例4求∫tan2xdx

利用Integrate計(jì)算得到的不定積分與正確結(jié)果相差一個(gè)常數(shù)C。在不定積分的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步計(jì)算定積分。

Integrate仍然可以計(jì)算重積分，但是積分區(qū)域的確定比較困難。這里我們利用Mathematica的繪圖功能，畫(huà)出圖象，根據(jù)圖象確定積分區(qū)域。

例5計(jì)算∫D∫xydxdy，其中D是由y=x2，y=x確定的區(qū)域。

則從上圖可以看出，x∈ [0，1]，y∈ [x2，x]，則

利用繪圖功能，可以進(jìn)一步確定更復(fù)雜的積分區(qū)域。

四、結(jié)束語(yǔ)

微積分是大學(xué)文科學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)，將符號(hào)計(jì)算軟件引入微積分教學(xué)中，增強(qiáng)直觀性，再進(jìn)一步理解抽象的內(nèi)容，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)成績(jī)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。但是應(yīng)避免學(xué)生對(duì)計(jì)算機(jī)的依賴(lài)。

[1]陽(yáng)明盛，林建華.Mathematica基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)軟件 [M].大連:大連理工大學(xué)出版社，2006.

[2]張寶善.Mathematica符號(hào)運(yùn)算與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].南京:南京大學(xué)出版社，2007.

[3]徐安農(nóng).Mathematica數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) (第2版)，電子工業(yè)出版社，2009.

[4]余敏，葉柏英.微積分基礎(chǔ) －引入Mathematica軟件求解[M].上海:華東理工大學(xué)出版社，2006.

[5]秦德生.基于CAS環(huán)境下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究 [J].《現(xiàn)代遠(yuǎn)距離教育》，2009，(06).

[6]趙樹(shù)嫄.微積分 [M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2007.

The Application of Mathematic Software“Mathematica”in Calculus Teaching

Yu Shi，Jia Yifeng，Wang Zhigao
(China Institute of Industrial Relations，Beijing 100048，China)

In calculus teaching，we can strengthen intuitiveness of mathematics，motivate student’s desire of learning and improve student’s grades through applying the function of calculation and drawing functional digraph of Mathematica，the symbolic computation software．

Mathematica;symbolic computation;calculus;drawing

G642

A

1673－2375(2012)01－0115－04

2011－11－02

禹實(shí) (1956—)，女，北京人，大學(xué)，中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院高職學(xué)院教授;賈屹峰 (1972—)，男，陜西西安人，博士，中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院基礎(chǔ)部講師;王志高 (1983—)，男，山東聊城人，碩士，中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院基礎(chǔ)部講師。

中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院教改課題《計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)與文科大學(xué)教學(xué)改革》(JG0917)資助項(xiàng)目;中國(guó)勞動(dòng)關(guān)系學(xué)院院級(jí)課題《孤立子中的符號(hào)計(jì)算研究》(10YYA034)資助項(xiàng)目。

[責(zé)任編輯:寸 言]