半連續(xù)dcpo

劉玉連，李高林，徐羅山

（1.揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚州225002；2.鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇鹽城224002）

半連續(xù)dcpo

劉玉連1＊，李高林1，2，徐羅山1

（1.揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚州225002；2.鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇鹽城224002）

作為半連續(xù)格的推廣，引入半素集和半連續(xù)dcpo的概念，并討論半連續(xù)dcpo的性質(zhì)，在半連續(xù)dcpo中得到類似于半連續(xù)格的一些主要結(jié)果.同時研究了dcpo的內(nèi)蘊拓?fù)洹隨cott拓?fù)洹隠awson拓?fù)?，證明了上集U半Lawson開當(dāng)且僅當(dāng)U為半Scott開，下集U半Lawson閉當(dāng)且僅當(dāng)U為半Scott閉.最后研究了半連續(xù)映射，證明了若保序映射f半連續(xù)，則f關(guān)于半Scott拓?fù)涫沁B續(xù)映射.

半素集；半連續(xù)dcpo；半Scott拓?fù)?；半連續(xù)映射

由于連續(xù)格理論［1］具有理論計算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)的雙重背景，因此從它誕生以來一直受到人們的廣泛關(guān)注，其中一個重要方面就是盡可能地將連續(xù)格理論推廣到更為一般的序結(jié)構(gòu)上去.在文獻(xiàn)［2］中，RAV在格上定義了半素理想并進(jìn)行了刻畫；趙東升在文獻(xiàn)［3］中利用半素理想在完備格上定義了新的二元關(guān)系“”和半連續(xù)格概念，將連續(xù)格的若干性質(zhì)推廣到半連續(xù)格上.目前，關(guān)于半連續(xù)格的研究有較多報道.李慶國等［4］研究了半連續(xù)格與完全分配格之間的關(guān)系；畢含宇等［5］在完備格上引入半Scott拓?fù)浜桶隠awson拓?fù)洌⒂懻摿税脒B續(xù)格上的半Scott拓?fù)浜桶隠awson拓?fù)涞幕拘再|(zhì)；伍秀華等［6］利用半Scott拓?fù)浣o出半連續(xù)格的等價刻畫，并研究了半連續(xù)格上的半連續(xù)映射；李高林等［7］在半連續(xù)格中引入半基和局部半基，研究了半連續(xù)格的性質(zhì)和刻畫；姜廣浩［8］探討了半連續(xù)格的偽素元和弱素元.這些研究逐步擴(kuò)充了半連續(xù)格理論.由于半連續(xù)格是在完備格中定義的，因此對半連續(xù)性的研究具有一定的局限性.為擺脫這種局限，一方面可以像文獻(xiàn)［9］處理連續(xù)偏序集一樣利用定向完備化探討一般序結(jié)構(gòu)的半連續(xù)性及其與半連續(xù)格的關(guān)系，這方面工作還沒有開展；另一方面可利用適當(dāng)?shù)淖蛹到y(tǒng)Z定義所謂的Z－半連續(xù)偏序集，POWERS等［10］已開展了這方面的研究.但由于子集系統(tǒng)Z的不確定性和廣泛性，從而對Z－半連續(xù)偏序集的研究難以深入，也較難得到新的有意義的結(jié)論.在本文中，筆者先將格上的半素理想推廣到偏序集上的半素集概念，然后在dcpo中定義半連續(xù)性并給出半連續(xù)dcpo的刻畫和性質(zhì)，同時將半連續(xù)格的諸多性質(zhì)推廣到半連續(xù)dcpo上.

1 預(yù)備知識

設(shè)（P，≤）是偏序集，DP.若對任意a，b∈D，存在c∈D，使得a≤c，b≤c，則稱D是P的定向集.當(dāng)定向集D的上確界存在時，記此上確界為∨↑D或sup D.若P的任意定向集D的上確界都存在，則稱P是定向完備偏序集，簡稱dcpo.設(shè)SP，記↑S＝｛x∈P：a∈S，a≤x｝，稱為S的上集；記↓S＝｛x∈P：a∈S，x≤a｝，稱為S的下集；記S↓＝｛x∈P｜x≤y，y∈S｝，稱為S的下界集；記S↑＝｛x∈P｜y≤x，y∈S｝，稱為S的上界集.若IP是P的定向下集，則稱I是P的理想.設(shè)I為P的理想，若L＼I為空集或L＼I為濾子，則稱I為素理想.L的全體素理想記為PI（L）.如果P中任意子集都有上確界和下確界，則稱P為完備格.

設(shè)P為dcpo，用表示P上的way below關(guān)系［1］49.如果x∈P，集｛u∈P：ux｝定向且x＝sup｛u∈P：ux｝，則稱P為Domain；完備格L如果還是Domain，則稱其為連續(xù)格.

定義1.1［2］105格L中的理想P稱為半素理想，若x，y，z∈L，x∧y∈P且x∧z∈P，則有x∧（y∨z）∈P.L的全體半素理想記為Rd（L）.

引理1.2［2］112格L中的理想P是半素理想當(dāng)且僅當(dāng)存在L的一族素理想｛Pi｜i∈I｝使得P＝∩i∈IPi.

定義1.3［3］460設(shè)L是完備格，定義關(guān)系如下：a，b∈L，ab，對L中的任意半素理想P，若∨P≥b，則a∈P.記a＝｛x∈L｜xa｝.

定義1.4［3］460若a∈L，a≤∨（a），則稱完備格L為半連續(xù)格.

定義1.5［1］134設(shè)L是偏序集，UL.如果滿足條件：

1）U＝↑U；

2）對L的任一定向集D，當(dāng)∨D存在且∨D∈U時，有U∩D≠，

則稱U為L上的Scott開集.L的全體Scott開集構(gòu)成P上的一個拓?fù)?，稱為Scott拓?fù)?，記為σ（P）.

定義1.6［1］210設(shè)P是偏序集，以｛P＼↑x｜x∈P｝為子基生成的拓?fù)浞Q為P的下拓?fù)?，記為ω（P）.對偶地，以｛P＼↓x｜x∈P｝為子基生成的拓?fù)浞Q為上拓?fù)?，記為ν（P）.以σ（P）∪ω（P）為子基生成的拓?fù)浞Q為Lawson拓?fù)洌洖棣耍≒）.

2 半連續(xù)dcpo

定義2.1 設(shè)L是偏序集，SL.若有一族素理想｛Pi｝i∈I使得S＝∩i∈IPi，則稱S為半素集.

定義2.2 設(shè)L是偏序集，x，y∈L.若對任一半素集SL，當(dāng)∨S存在且∨S≥y時可推出x∈S，則稱xy.用x表示集｛y∈L｜yx｝，x表示集｛y∈L｜xy｝.

定義2.3 設(shè)L是dcpo.若對任意x∈L，x∈（x）↑↓，則稱L是半連續(xù)的.

注2.4 1）一般地，半素集不必為理想.反例如下：設(shè)L＝｛x1，x2，x3，…｝∪｛a，b｝，定義≤關(guān)系，使得i≤j，xi≤xj，a，b≤xi，i∈Z＋，則每一主理想↓xi是素理想，但半素集∩｛↓xi｝＝｛a，b｝不定向.

2）當(dāng)L為完備格時，半素集一定為理想，從而是半素理想，且“”的定義與文獻(xiàn)［3］460中的定義一致.注意到（x）↑↓＝↓（∨x），因此本文定義的半素集和半連續(xù)性是文獻(xiàn)［2］112半素理想和［3］460定義的半連續(xù)概念的合理推廣.

命題2.5 設(shè)L為dcpo，則x＝∩｛S｜S為半素集，若∨S存在且∨S≥x｝＝∩｛P｜P為素理想且∨P≥x｝.

證明 由定義2.1和定義2.2并注意到每一個素理想均為半素集即得.

由命題2.5知x是一個半素集且有下面的推論.

引理2.8 設(shè)A，B為偏序集P的子集.若AB，則有A↑↓B↑↓和A↓↑B↓↑.

證明 若AB，則A↑B↑，A↓B↓，從而有A↑↓B↑↓和A↓↑B↓↑.

命題2.9 設(shè)L為Domain，則L為半連續(xù)dcpo.

命題2.10 設(shè)L是dcpo.若x∈L，都存在半素集Px且x∈P↑↓，則L是半連續(xù)的.

證明 對任意x∈L，由條件存在半素集Px且x∈P↑↓，由引理2.8得P↑↓（x）↑↓，故x∈（x）↑↓.由定義2.3知L為半連續(xù)dcpo.

命題2.11 設(shè)L為dcpo，則下列條件等價：

1）L為半連續(xù)的；

2）x∈L，x是使x∈S↑↓的最小的半素集S；

3）x∈L，存在最小半素集Sx使得x∈S↑↓.

證明 1）2）：由命題2.5知，對任意x∈L，x為半素集.由于L為半連續(xù)的，故對任意x∈L，有x∈（x）↑↓.反過來，對任意x∈L，當(dāng)S為半素集且x∈S↑↓時，下證xS.設(shè)y∈x，由S為半素集知存在一族素理想｛Pi｝i∈I使得S＝∩i∈IPi.由引理2.8知，對任意i∈I，有x∈S↑↓（Pi）↑↓＝↓（∨Pi），于是x≤∨Pi，從而由y∈x得y∈Pi.再由i∈I的任意性得y∈∩i∈IPi＝S，因此xS，即x是滿足x∈S↑↓的最小半素集S.

2）3）：由2）知，存在最小的半素集S＝x，使得對任意x∈L有x∈S↑↓.

3）1）：由命題2.10即得.

3 半Scott拓?fù)浜桶隠awson拓?fù)?/h2>

定義3.1 設(shè)L為dcpo，UL.若L滿足

1）U＝↑U；

2）P∈PI（L）且∨P∈U，有P∩U≠，

則稱U為L中的半Scott開集.L中半Scott開集全體構(gòu)成一拓?fù)?，稱為半Scott拓?fù)洌涀鳓襰（L）.半Scott開集的余集稱為半Scott閉集.

命題3.2 設(shè)L為dcpo，則對任意x∈L，有L＼↓x∈σs（L），從而↓x是半Scott閉集.

證明 首先L＼↓x為上集.設(shè)P為L中的素理想，∨P∈L＼↓x.假設(shè)P∩（L＼↓x）＝，則P↓x，∨P≤∨（↓x）＝x，這與∨P∈L＼↓x矛盾，故P∩（L＼↓x）≠.由定義3.1知L＼↓x∈σs（L），從而↓x是半Scott閉集.

定義3.3 設(shè)L為dcpo，UL.稱U具有性質(zhì)（S）是指：P∈PI（L），若∨P∈U，則y∈P，使得x∈P且x≥y時，有x∈U.

命題3.4 在dcpo L中，下列結(jié)論成立：

1）一個集是半Scott閉的當(dāng)且僅當(dāng)它是下集且對素理想并封閉；

2）x∈L，↓x＝｛x｝－（關(guān)于σs（L））；

3）σs（L）是T0拓?fù)洌?/p>

4）每個上集都是半Scott開鄰域的交；

5）一個集U是半Scott開的當(dāng)且僅當(dāng)它是上集且有性質(zhì)（S）；

6）每個下集有性質(zhì)（S）；

7）有性質(zhì)（S）的所有子集構(gòu)成一個拓?fù)?

證明 可利用命題3.2仿文獻(xiàn)［5］77中注記2.1的證明，從略.

命題3.5 設(shè)L為dcpo，若U＝↑U且U∪｛x｜x∈U｝，則U∈σs（L）.

證明 設(shè)P∈PI（L），∨P∈U，由條件知存在x∈U，使得∨P∈x，即x∨P，故x∈P；從而x∈U∩P≠，又U＝↑U，因此U∈σs（L）.

命題3.6 設(shè)L為dcpo，如果任意U∈σs（L）有U∪｛x｜x∈U｝，則L為半連續(xù)dcpo.

證明 要證x∈L，x∈（x）↑↓.用反證法.若x（x）↑↓，則存在y∈（x）↑使得xy，從而x∈L＼↓y∈σs（L）.由條件知存在z∈L＼↓y，使得x∈z，即z∈x，故z≤y，這與z∈L＼↓y矛盾；因此對任意x∈L，有x∈（x）↑↓，故L為半連續(xù)dcpo.

定義3.7 設(shè)L為dcpo，由σs（L）∪ω（L）作為子基生成一拓?fù)?，該拓?fù)浞Q為L上的半Lawson拓?fù)洌洖棣藄（L）.

注3.8 由σ（L）σs（L）知λ（L）λs（L）.又因λs（L）有一個由｛U｜U∈σs（L）｝∪｛L＼↑x｜x∈L｝構(gòu)成的子基，從而｛U＼↑F｜U∈σs（L），F(xiàn)有限｝是λs（L）的基，并且每個U∈σs（L）和L＼↑F都有性質(zhì)（S），故每個U＼↑F及所有半Lawson開集都有性質(zhì)（S），其中F是L的有限子集.

命題3.9 設(shè)L為dcpo，則λs（L）為T1拓?fù)?

證明 x∈L，注意到L＼↓x∈σs（L）且L＼↑x∈ω（L），故↓x和↑x是λs（L）中的閉集；因此｛x｝＝↓x∩↑x是Lawson閉的，從而λs（L）為T1拓?fù)?

命題3.10 設(shè)L為dcpo，則有

1）上集U半Lawson開當(dāng)且僅當(dāng)U為半Scott開；

2）下集U半Lawson閉當(dāng)且僅當(dāng)U為半Scott閉.

證明 1）由σs（L）λs（L）知每個半Scott開集是半Lawson開集.反之，由注3.8知每個半Lawson開集有性質(zhì)（S），再由命題3.4之5）知半Lawson開上集是半Scott開集.

2）利用與1）對偶的證法易證.

證明 首先x∈L，x為上集.又P∈PI（L），若∨P∈x，即x∨P，由插入性知存在z∈L使得xz∨P，則由推論2.6得z∈P；從而z∈x∩P≠，故x為半Scott開集.

證明 設(shè)P∈PI（L）且∨P≥y，則∨P∈intσs↑x，故p∈P∩intσs↑xP∩↑x，從而p∈P且p≥x；又P為素理想，故x∈P，因此xy.

命題3.13 設(shè)L為dcpo，｛yn｜n∈Z＋｝L.若…yn…y2y1，則∪｛yn｜n∈Z＋｝為半Scott開集.

證明 首先∪｛yn｜n∈Z＋｝為上集，設(shè)S為素理想且∨S∈∪yn，則存在某個使得∨S∈，則有∈S，從而∈S∩∪yn≠，因此∪｛yn｜n∈Z＋｝為半Scott開集.

4 半連續(xù)映射

定義4.1 設(shè)L，M為dcpo.若f保序且P∈PI（L），有↓f（P）∈PI（M），則稱映射f：L→M為素保持的.

定義4.2 設(shè)L，M為dcpo.若f保序且P∈PI（L），有f（∨P）＝∨f（P），則稱映射f：L→M為保素理想并的.

定義4.3 設(shè)L，M為dcpo.若P∈PI（L），f（∨P）＝∨f（P）且↓f（P）∈PI（M），則稱映射f：L→M為半連續(xù)映射.

定理4.4 設(shè)L，M為dcpo，f：L→M.考慮下列條件：

1）f相對于L，M的半Scott拓?fù)溥B續(xù)；

2）f保素理想并，

則1）2）；若f仍為素保持的，則有2）1）.

證明 可仿文獻(xiàn)［5］79命題3.2的證明，這里從略.

推論4.5 設(shè)L，M為dcpo.若保序映射f：L→M是半連續(xù)映射，則f為（L，σs（L））到（M，σs（M））的連續(xù)映射.

定理4.6 設(shè)P，Q為dcpo，（g，d）為從P到Q的Galois聯(lián)絡(luò).若g是半連續(xù)映射，則d保關(guān)系，即對任意x，y∈Q，xy蘊含d（x）d（y）.

定理4.7 設(shè)L為dcpo，M為半連續(xù)dcpo，（g，d）為L與M間的Galois聯(lián)絡(luò)［1］22，且對任意x∈M，x是理想.若g是半連續(xù)映射且為單射，則L為半連續(xù)dcpo.

證明 由于（g，d）為L與M之間的Galois聯(lián)絡(luò)，g為單射，故d為滿射；于是x∈L，存在y∈M使得d（y）＝x.由于M為半連續(xù)dcpo且對任意x∈M，x是理想，故有y≤∨y.又由d是下伴隨保并知x＝d（y）≤d（∨y）＝∨d（y），故x∈↓∨d（y）.z∈M，若z∈y，則zy.由定理4.6知d（z）d（y），即d（z）∈d（y），從而d（y）d（y）；故x∈↓∨d（y）（d（y））↑↓＝（x）↑↓，因此x∈L，有x∈（x）↑↓，從而L為半連續(xù)dcpo.

［1］ GIERZ G，HOFMANN K H，KEIMEL K，et al.Continuous lattices and domain［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2003：1－263.

［2］ RAV Y.Semiprime ideals in general lattices［J］.J Pure Appl Algebra，1989，56（2）：105－118.

［3］ ZHAO Dong－sheng.Semicontinuous lattices［J］.Algebra Univers，1997，37（4）：458－476.

［4］ LI Qing－guo，WU Xiu－h(huán)ua.Generalization and catesian closed subcategories of semicontinuous lattices［J］.Acta Math Sci，2009，29（5）：1366－1374.

［5］ 畢含宇，徐曉泉.半連續(xù)格上的半Scott拓?fù)渑c半Lawson拓?fù)洌跩］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，22（2）：75－81.

［6］ 伍秀華，李慶國.半連續(xù)格的刻畫和映射［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，2007，27（3）：654－658.

［7］ 李高林，徐羅山，陳昱.半連續(xù)格上的半基和局部半基［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010，24（1）：51－55.

［8］ 姜廣浩.半連續(xù)格上的一個注記［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，22（1）：15－17.

［9］ 徐羅山.相容連續(xù)偏序集及其定向完備化［J］.揚州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2000，3（1）：1－6，10.

［10］ POWERS R C，RIEDEL T.Z－Semicontinuous posets［J］.Order，2003，20（4）：365－371.

Abstract：As a generalization of semicontinuous lattices，the concepts of semiprime sets and semicontinuous dcpos are introduced.Basic properties of semicontinuous dcpos are discussed.The main results of the theory of semicontinuous lattices are carried to semicontinuous dcpo.Moreover，some intrinsic topologies—the semi－Scott topology and the semi－Lawson topology on semicontinuous dcpos are investigated.It is proved that an upper set Uis semi－Lawson open iff it is semi－Scott open；a lower set Uis semi－Lawson closed iff it is semi－Scott closed.Finally the concept of semicontinuous mapping is introduced，it is showed that if fis order preserving and semicontinuous，then fis continuous with respect to the semi－Scott topologies.

Keywords：semi－prime set；semicontinuous dcpo；semi－Scott topology；semicontinous mapping

（責(zé)任編輯 時 光）

Semicontinuous dcpos

LIU Yu－lian1＊，LI Gao－lin1，2，XU Luo－shan1
（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Sch of Math Sci，Yancheng Teachers’Coll，Yancheng 224002，China）

O 153.1；O 189.1

A

1007－824X（2012）02－0001－05

2012－01－11

國家自然科學(xué)基金資助項目（61074129，61103018，11101352）；江蘇省自然科學(xué)基金資助項目（BK2010313，BK2011442）；國家重點實驗室開放課題（SKLSDE－2011KF－08）；鹽城師范學(xué)院資助項目（11YCKL001）

＊聯(lián)系人，E－mail：liuyulian886688＠163.com