復(fù)符號(hào)模式矩陣的復(fù)L可分性

劉 月

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 福州 350108)

0 引 言

考慮如何根據(jù)矩陣的部分信息確定矩陣的性質(zhì), 即在假設(shè)僅已知矩陣“模式”的前提下研究矩陣的秩. 實(shí)數(shù)域中研究的矩陣稱為符號(hào)模式矩陣. 對(duì)于實(shí)矩陣, 此類研究一般稱為實(shí)矩陣的定性分析[1-3]. 本文研究復(fù)矩陣的性質(zhì).

復(fù)矩陣A的“模式”稱為A的復(fù)符號(hào)模式[4], 記為csgn(A). 設(shè)z=a+ib是一個(gè)復(fù)數(shù), 其中a和b都是實(shí)數(shù). 它的復(fù)符號(hào)記為csgn(z), 定義為

csgn(z)=sgn(a)+i·sgn(b).

A的復(fù)符號(hào)模式是指把A的所有元素用相應(yīng)的復(fù)符號(hào)替換后所得的矩陣. 與A具有相同復(fù)符號(hào)模式矩陣全體所構(gòu)成的矩陣集合稱為矩陣A的復(fù)符號(hào)模式矩陣類, 記為QS(A), 即

QS(A)={Bcsgn(B)=csgn(A)}.

若一個(gè)矩陣的秩等于它的列數(shù), 則稱該矩陣是一個(gè)列滿秩矩陣. 設(shè)A是一個(gè)復(fù)矩陣, 若由A的復(fù)符號(hào)模式可以推知A列滿秩, 則稱A是一個(gè)復(fù)L陣. 等價(jià)地,A是復(fù)L陣當(dāng)且僅當(dāng)A的復(fù)符號(hào)模式矩陣類QS(A)中的所有矩陣都是列滿秩的. 復(fù)L矩陣的定義實(shí)質(zhì)上是實(shí)數(shù)域下L矩陣定義的一種推廣[2,5]. 每個(gè)L矩陣都是復(fù)L陣, 所有元素都為實(shí)數(shù)的復(fù)L陣即L陣. 方L陣即為SNS矩陣(符號(hào)非異矩陣). 非L矩陣的識(shí)別問(wèn)題是NP-完全的[5].

對(duì)于方陣, 其不可約性和完全不可分性是兩個(gè)基本性質(zhì), 如Perron-Frobenius定理的條件中要求矩陣是不可約的. 對(duì)于一般矩陣, 也可以定義類似的性質(zhì). 由矩陣復(fù)L性的定義可知它在行列置換下保持不變, 類似于矩陣的完全不可分性, 本文將定義復(fù)L陣的復(fù)L可分性, 該定義是L矩陣可分性的推廣. 本文還將討論復(fù)L可分性在一種特殊的矩陣變換----分裂變換[6]下的性質(zhì), 并證明矩陣的復(fù)L可分性在分裂變換下保持不變.

1 復(fù)符號(hào)模式矩陣的分裂變換及規(guī)范型

若一個(gè)復(fù)數(shù)落在復(fù)平面 C的坐標(biāo)軸上, 則稱其為一個(gè)軸元. 等價(jià)地, 設(shè)z=a+ib是一個(gè)復(fù)數(shù), 其中a和b都是實(shí)數(shù), 則當(dāng)a·b=0成立時(shí),z是一個(gè)軸元. 對(duì)任意兩個(gè)軸元z1和z2, 它們屬于相同的復(fù)符號(hào)模式類中當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)正實(shí)數(shù)k, 使得z1=k·z2. 不是軸元的復(fù)數(shù)稱為象限元.

若一個(gè)復(fù)矩陣的所有元素都是軸元, 則稱該矩陣是一個(gè)軸元陣. 顯然, 實(shí)矩陣都是軸元陣.

在(實(shí))符號(hào)矩陣?yán)碚撓驈?fù)數(shù)域推廣過(guò)程中, 除復(fù)符號(hào)模式推廣外, 還有另一種推廣方式, 稱為Ray模式推廣[7-8]. 在Ray模式推廣中, 非零復(fù)數(shù)z的Ray定義為z/z, 類似可以定義矩陣的Ray模式及Ray模式矩陣類. 由定義易知, 當(dāng)矩陣為A軸元陣時(shí),A的Ray模式矩陣類和復(fù)符號(hào)模式矩陣類恰好相同. 通過(guò)分裂變換, 可以把一般的復(fù)矩陣轉(zhuǎn)化為軸元陣.

復(fù)矩陣的復(fù)符號(hào)非異性在分裂變換下保持不變[6], 該性質(zhì)可以拓展到一般(非方)矩陣上, 并且類似可知矩陣的復(fù)L性也在分裂變換下保持不變.

定義1設(shè)A=(apq)m×n是一個(gè)復(fù)方陣,j∈〈m〉,k∈〈n〉, 其中: 〈m〉表示行指標(biāo)集{1,2,…,m}; 〈n〉表示列指標(biāo)集{1,2,…,n}. 假設(shè)ajk=a+ib(a,b∈R), 并且A具有如下分塊形式:

其中:A12和A32是列矩陣;A21和A23是行矩陣. 記

則從A到φj,k(A)的過(guò)程稱為在A的元素ajk處進(jìn)行了一次分裂變換.

設(shè)A和B是兩個(gè)m×n階矩陣. 若存在兩個(gè)置換矩陣P和Q, 使得B=PAQ, 則稱A和B是置換相抵的, 記為A～B. 設(shè)σ=σP是P所對(duì)應(yīng)的A的行指標(biāo)集置換,ζ=ζQ是Q所對(duì)應(yīng)的列指標(biāo)集置換. 取j∈〈m〉,k∈〈n〉, 記j′=σ(j),k′=ζ(k), 設(shè)A=(ajk)m×n,B=(bjk)m×n. 則B=PAQ當(dāng)且僅當(dāng)ajk=bj′k′對(duì)每個(gè)j∈〈m〉,k∈〈n〉都成立. 進(jìn)一步, 設(shè)j∈〈m〉,k∈〈n〉是兩個(gè)給定的指標(biāo),j′,k′如前定義, 則易知φj,k(A)和φj′,k′(B)也是置換相抵的. 即對(duì)兩個(gè)置換相抵的矩陣, 若在“相同”的元素上進(jìn)行分裂變換, 則所得矩陣也是置換相抵的.

根據(jù)定義1, 分裂變換可以實(shí)施于矩陣的任何一個(gè)元素上. 引入分裂變換的目的之一是因?yàn)榉至炎儞Q可以減少矩陣的象限元數(shù). 易見當(dāng)對(duì)一個(gè)象限元施行分裂變換后, 所得矩陣的象限元數(shù)較原來(lái)減少1. 對(duì)象限元依次實(shí)施分裂變換, 所得矩陣是一個(gè)軸元陣. 如果固定順序, 則最終所得矩陣是唯一的. 為方便, 本文選取字典序, 最終所得的矩陣稱為原矩陣的規(guī)范型.

性質(zhì)1設(shè)A是一個(gè){m×n}階的復(fù)矩陣, 則:

2 復(fù)L可分性及其在分裂變換下的性質(zhì)

由于矩陣的復(fù)L性在行列置換下保持不變, 所以可以通過(guò)適當(dāng)?shù)男辛兄脫Q, 使得所得矩陣具有相對(duì)簡(jiǎn)單的分塊形式. 顯然有:

定義3如果存在置換矩陣P和Q, 使得

則稱復(fù)L矩陣A是復(fù)L可分的, 其中B1和B2都是非空復(fù)L陣. 若一個(gè)復(fù)L陣不是復(fù)L可分的, 則稱其為復(fù)L不可分.

下面討論矩陣的復(fù)L可分性在分裂變換實(shí)施前后的變化情況.

引理2設(shè)A是一個(gè)復(fù)L陣,ajk是A在(j,k)位置的象限元, 則A是復(fù)L可分的當(dāng)且僅當(dāng)φj,k(A)是復(fù)L可分的.

對(duì)于充分性, 不妨設(shè)j=k=1. 記A′=φ1,1(A), 同時(shí)記

?B′,

情形2) 這4個(gè)元素包含在兩個(gè)相鄰的塊中.

(1)

或

(2)

應(yīng)用引理1和引理2, 對(duì)矩陣含有的象限元個(gè)數(shù)進(jìn)行歸納, 可得本文的主要結(jié)論如下:

定理1表明, 在考慮矩陣的復(fù)L可分性時(shí), 只需把問(wèn)題限制在軸元陣的范圍內(nèi)即可.

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