矩陣代數(shù)上的乘積決定點(diǎn)

楊文雷，朱 軍，甄南南

(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，浙江杭州310018)

0 引言

近年來，對于保持某種性質(zhì)或運(yùn)算的映射的刻畫已成為算子代數(shù)的一個非常重要及活躍的研究領(lǐng)域，并且得出了很多結(jié)果。文獻(xiàn)1討論了零積決定的矩陣代數(shù)，得到了矩陣代數(shù)Mn(B)是由零積決定的。文獻(xiàn)2討論了矩陣代數(shù)上的全可乘點(diǎn)，指出了:?G∈Mn，若detG=0，則G是Mn的全可乘點(diǎn)。文獻(xiàn)3討論了矩陣代數(shù)上的約當(dāng)全可乘點(diǎn)。文獻(xiàn)4、5討論了零積決定的李代數(shù)，文獻(xiàn)6、7討論了矩陣代數(shù)和上三角矩陣代數(shù)上全可導(dǎo)點(diǎn)的問題。文獻(xiàn)2、3均在討論了零點(diǎn)處可乘的基礎(chǔ)上，研究了在其它點(diǎn)處(約當(dāng))可乘的問題，實(shí)現(xiàn)了局部性質(zhì)向整體性質(zhì)的推廣?；诖怂枷?，根據(jù)文獻(xiàn)1，本文類似的定義在其它點(diǎn)處乘積決定的矩陣代數(shù)，并參考了文獻(xiàn)1的證明方法，討論了矩陣代數(shù)Mn(B)及一般數(shù)域上矩陣代數(shù)的乘積決定點(diǎn)的問題，并將所得結(jié)論應(yīng)用于文獻(xiàn)2中，簡化了部分結(jié)論的證明。

1 一般矩陣代數(shù)上的乘積決定點(diǎn)

令C是一個交換的含單位元的環(huán)，A是C上的一個代數(shù)。文獻(xiàn)1給出了一個代數(shù)A是零積決定的概念，類似的，可定義在其它點(diǎn)處乘積決定的代數(shù)的概念。設(shè)x，y∈A，用A2表示所有形如xy的元的C－線性擴(kuò)張。顯然當(dāng)A含單位元時，A2等同于A。令X是一個C－模，{x，y}:A×A→X是一個C－雙線性映射。設(shè)a∈A，考慮以下3個條件:

(1)存在一個固定的 x0∈X，對于任意 x，y∈A，若 xy=a，則{x，y}=x0;

(2)存在一個 C －線性映射 T:A2→X，使得對于任意 x，y∈A，{x，y}=T(xy);

稱A是一個在a處乘積決定的代數(shù)，如果對于每一個C－模X及每一個C－雙線性映射{x，y}若滿足條件1則有條件2成立。此時，稱a是代數(shù)A的乘積決定點(diǎn)。

參見文獻(xiàn)1，可得a是代數(shù)A的乘積決定點(diǎn)的一個充要條件。

引理1 a是代數(shù)A的乘積決定點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)于對于滿足條件1的每一個C－模X及每一個C－雙線性映射 { x，y}都有條件3成立。

設(shè)B是含單位元的交換環(huán)C上的代數(shù)，且B含單位元。以下主要討論矩陣代數(shù)Mn(B)的乘積決定點(diǎn)的問題。用eij表示矩陣單位，設(shè)b∈B，beij表示(i，j)項(xiàng)為b，其余項(xiàng)為0的矩陣。

證明 設(shè)A=Mn(B)，令A(yù)是任一C－模，{x，y}:A×A→X是任一C－雙線性映射使得條件1成立，以下設(shè) a，b 為 B 中任意元，i，j，k，l表示任意指標(biāo)。

設(shè) xt，yt∈A 且滿足xtyt=0，記 xt=，由式4 －6 可得}=0，從而由引理1定理即得證。

根據(jù)上述證明，類似可得下述推論。

推論1 設(shè)Y={G∈Mn(B):G中有m個元不為0，其余元均為0，且n－m≥2}則?G∈Y，G是矩陣代數(shù)Mn(B)的乘積決定點(diǎn)。

通過簡單的變換，可得下述推論。

推論2 設(shè)U是Mn(B)中任一可逆元，Y1={UG:G∈Y}，Y2={G U:G∈Y}，則?E∈Y1，F(xiàn)∈Y2，E，F(xiàn)均為矩陣代數(shù)Mn(B)的乘積決定點(diǎn)。

2 一般數(shù)域上矩陣代數(shù)Mn的乘積決定點(diǎn)

以下通過幾個引理來導(dǎo)出一般數(shù)域上矩陣代數(shù)Mn的乘積決定點(diǎn)的相關(guān)結(jié)果。

引理2 設(shè)Mn為數(shù)域上的矩陣代數(shù)，G∈Mn，若 rankG≤n－2，則 G為Mn的乘積決定點(diǎn)，其中rankG表示矩陣G的秩。

引理3 任意可逆矩陣均不是矩陣代數(shù)Mn的乘積決定點(diǎn)。

證明 由推論2只需證明In不是矩陣代數(shù)Mn的乘積決定點(diǎn)即可。考慮Mn上的雙線性映射{ x，y}=φ(x)φ(y)，參見文獻(xiàn)2注記3.3，易證In不是矩陣代數(shù)Mn的乘積決定點(diǎn)。

引理4 設(shè)G∈Mn，rankG=n－1，則G不是矩陣代數(shù)Mn的乘積決定點(diǎn)。

由上述3個引理，自然地得到下邊的結(jié)論。

定理2 設(shè)G∈Mn，則G是矩陣代數(shù)Mn的乘積決定點(diǎn)的充要條件是rankG≤n－2。

文獻(xiàn)2給出了一個矩陣代數(shù)的全可乘點(diǎn)的定義。并指出了:?G∈Mn，若detG=0，則G是Mn的全可乘點(diǎn)。以下將利用定理2對rankG≤n－2的情況給出更簡潔的一個證明，并且此時，φ并不要求為雙射。

推論3 ?G∈Mn，若rankG≤n－2，則G是Mn的全可乘點(diǎn)。

證明 設(shè)φ:Mn→Mn是任一在G處可乘的線性映射，且滿足φ(In)=In，其中G∈Mn，且rankG≤n－2。定義{x，y}= φ(x)φ(y)，則{x，y}:Mn× Mn→Mn為一雙線性映射。?x，y∈Mn，若 xy=G，則{ x，y}=φ(x)φ(y)=φ(xy)=φ(G)。從而{x，y}滿足條件1，且G是Mn的乘積決定點(diǎn)。于是存在線性映射，使得對于任意 x，y∈Mn，{x，y}=T(xy)。令 y=In，則有 φ(x)= φ(x)φ(In)={x，In}=T(xIn)=T(x)從而 T(x)=φ(x)，φ(x)φ(y)=φ(xy)，?x，y∈Mn。定理得證。

3 結(jié)束語

本文主要討論了矩陣代數(shù)Mn(B)的乘積決定點(diǎn)的情況，并且完全刻畫了一般數(shù)域上矩陣代數(shù)Mn的乘積決定點(diǎn)。

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