具有時滯的脈沖Rayleigh型方程的周期解

梁瑞喜

(中南大學數(shù)學科學與計算技術學院，中國 長沙 410075)

Rayleigh型方程x″(t)+f(x′(t))+g(x(t-τ(t)))=p(t)=p(t+T)因具有廣泛的應用背景，人們對其周期解的存在性問題一直懷著強烈的興趣，現(xiàn)已有大量的研究結(jié)果[1-8].但具有時滯的脈沖Rayleigh型方程在這方面的研究較少見.本文利用拓撲度理論證明了如下脈沖Rayleigh型方程

(1)

為了方便，以下記Ii(x(ti),x′(ti))為Ii,Ji(x(ti),x′(ti))為Ji.

本文將使用Mawhin連續(xù)定理[6]建立方程(1)周期解的存在性結(jié)果，對非脈沖Rayleigh型方程也是[7]的推廣和改進.

1 一些引理

在后面的證明中，需要如下Mawhin連續(xù)定理.

(a)Lx≠λN(x,λ),?x∈?Ω∩DomL,λ∈(0,1),

(b)QN(x,0)≠0,?x∈?Ω∩KerL,且deg{JQN(x,0),Ω∩KerL,0}≠0,

其中Q：Y→Y是一投影算子，且ImL=KerQ,J:ImQ→KerL是同構(gòu)映射，那么方程Lx=N(x,1)在Ω中至少有一個解.

定義算子

L:DomL?X→Y,x→(x″,Δx(t1),…,Δx(tk),Δx′(t1),…,Δx′(tk)),

N:X×[0,1]→Y,(x,λ)→(-f(x′(t))-g(x(t-τ(t)))+λp(t),I1,…，Ik,J1,…,Jk).

這樣方程(1)有周期解等價于方程Lx=N(x,1),x∈DomL有解.

引理2L是零指標的Fredholm算子，則

KerL={x∈X,x=c,c∈R},

(2)

以及

ImL={(y,a1,…,ak,b1,…,bk):x″=y,Δx(ti)=ai,Δx′(ti)=bi,i=1,…,k}=

(3)

證(2)式顯然成立，下證明(3)式成立.為此考慮方程

(4)

其中ai,bi為常數(shù).不失一般性，取初始時刻t0=0,因此方程(4)滿足x(0)=x(T).由(4)式得

由x(0)=x(T)得

另一方面，令

其中c是任意常數(shù)，易驗證x(t)是(4)的解，且x(0)=x(T).因此

取投影算子Q：Y→Y如下

對每個(y,a1,…,ak,b1,…,bk)∈Y,令

u=(y1,a1,…,ak,b1,…,bk)=(y,a1,…,ak,b1,…,bk)-Q(y,a1,…,ak,b1,…,bk).

證定義投影算子P(x)=x(0),x∈X,那么KP:ImL→KerP∩DomL可定義為：?(y,a1,…,ak,b1,…,bk)=u∈Y,

事實上，對?(y,a1,…,ak,b1,…,bk)∈ImL有

(y(t),a1,…,ak,b1,…,bk)=u(t),

?x∈DomL∩KerP,成立x(0)=0,因此

所以KP是L|Dom L∩Ker P的逆.

2 主要結(jié)果

在這一節(jié)，我們導出方程(1)的周期解的存在性定理.

定理1如果存在正常數(shù)K,D和M，M1，M2，使得下列條件滿足

(H1) |f(x)|≤K,?x∈R,

(H2)xg(x)>0,|g(x)|>K,?|x|>D,

(H3)g(x)≥-M,?x≤-D,

(H5) |Ii|

那么方程(1)至少存在一個T周期解.

證考慮算子方程Lx=λN(x,λ),λ∈(0,1),即

(5)

設x(t)是(5)的任意一個T周期解,可以證明存在ξ0∈[0,T]使得

|x(ξ0-τ(ξ0))|

(6)

假設(6)式不成立，則?s∈[0,T],均有|x(s-τ(s))|>D,從0到T積分(5)式得

(7)

于是

(8)

將方程(5)兩邊同乘以x(t)并從0到T積分得

因此有

(9)

設E1={t:t∈[0,T],x(t-τ(t))>D},E2={t:t∈[0,T],x(t-τ(t))<-D}和E3={t:t∈[0,T],|x(t-τ(t))|≤D}.由(7)式，我們得到

所以

(10)

(11)

由E2,E3的定義及(H3)知

(12)

(13)

由上述不等式，可導出存在與λ無關的R1>0,使得

(14)

由(8)與(14)進一步可證明，存在與λ無關的R2>0，滿足|x(t)|≤R2,從而|x|∞≤R2.又由(5)式有

2(KT+MT+TgD)+p1T+kM2.

從而|x′|∞≤R3.取R0>max{D,R2,R3},令Ω={x∈X:‖x‖≤R0}.則?x∈?Ω,?λ∈(0,1)，有Lx≠λN(x,λ).因為當x∈?Ω∩KerL=?Ω∩R時，x為常數(shù)且|x|=R0,所以QN(x,0)=(-g(x),0,…,0)≠0.定義同構(gòu)映射J(c,0,…,0)=c,那么JQN(x,0)=-g(x),作變換

因?x∈?Ω∩KerL及α∈[0,1]有xF(x,α)=αx2+(1-α)g(x)x>0.故xF(x,α)≠0,從而F(x,α)為同倫變換.于是

至此，引理1的條件均被滿足，所以方程(1)至少存在一個T周期解.證畢.

定理2如果存在正常數(shù)K,D和r2,M1,M2滿足

(h1) |f(x)|≤K,?x∈R,

(h2)xg(x)>0,|g(x)|>K,?|x|>D,

(h5) |Ii|≤M1,|Ji|≤M2.

則當2T2r2<1時，方程(1)至少有一個T周期解.

證同樣考慮算子方程(5)，類似定理1的證明可知

(15)

由(7)式有

所以

KT+kM2.

將上式代入(9)式

從而存在與λ無關的R3>0,滿足|x′|∞≤R3.以下證明與定理1的證明相同.

定理4如果存在正常數(shù)K,D和M，M1，M2，使得下列條件滿足

(c1) |f(x)|

(c2)xg(x)<0,|g(x)|>K,?|x|>D,

(c3)g(x)≥-M,?x≥D,

(c5) |Ii|≤M1,|Ji|≤M2,?x,x′∈R.

那么方程(1)至少存在一個T周期解.

證考慮算子方程Lx=λN(x,λ),λ∈(0,1)，即

(16)

設x(t)是(16)的一個T-周期解，積分(16)式得

(17)

首先可以證明必存在ξ0∈[0,T],使

|x(ξ0-τ(ξ0))|≤D.

(18)

若不然，對?t∈[0,T],均有x(t-τ(t))>D,那么g(x(t-τ(t)))<0,Ji>0.因此

這與(17)式矛盾.

如果?t∈[0,T],均有x(t-τ(t))<-D,那么g(x(t-τ(t)))>0,Ji<0,從而

(19)

將上式代入(19)式，余下可仿定理1得證.證畢.

3 例子與注記

例1考慮方程

x″(t)+exp{-(x′(t))2}+g(x(t-π))=sint+1,t≠ti=iπ,

(20)

取K=1，D=π,M=3此時有?x∈R,|f(x)|≤1,xg(x)<0,|g(x)|>1,?|x|≥π,g(x)≥-3,?x≥π,這樣定理4的條件全部滿足，因此方程(20)至少有一個2π周期解.

注在方程(20)中，當Ii=Ji=0時，方程有2π周期解，但這個結(jié)論不能由文獻[7，8]中的有關定理得出.

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