利用組合理論計(jì)算獨(dú)立同分布隨機(jī)變量和的高階矩

左 路

(湖北大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，湖北 武漢 430062)

利用組合理論計(jì)算獨(dú)立同分布隨機(jī)變量和的高階矩

左 路

(湖北大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，湖北 武漢 430062)

中心極限定理建立了關(guān)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的極限分布，但是并未給出隨機(jī)變量和的高階矩的計(jì)算方法。將利用組合理論建立獨(dú)立同分布且均值為零的隨機(jī)變量序列和的高階矩的簡化計(jì)算方法，并在該方法的基礎(chǔ)上擴(kuò)展至一般獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列和的高階矩。

中心極限定理；組合理論；高階矩

對(duì)于一般的非中心化獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，雖然根據(jù)中心極限定理，其和的極限分布為正態(tài)分布，但是計(jì)算和的高階矩即使在正態(tài)分布環(huán)境下仍然很復(fù)雜。在獨(dú)立性、中心化的環(huán)境下，利用隨機(jī)變量和的冪運(yùn)算展開式中變量排列表現(xiàn)出來的組合性質(zhì)，容易構(gòu)建隨機(jī)變量和的高階矩的簡化計(jì)算公式，并可以在此基礎(chǔ)上推廣至一般非中心化獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列。

1 中心化隨機(jī)變量序列和的高階矩

定理1設(shè){Xi,i∈N}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，存在：

E(Xi)=0 0

其中下標(biāo)r(1),…,r(n)為從元素1,…,N中允許重復(fù)取得的n個(gè)元素。如當(dāng)N=8,n=6時(shí)：

記φπ=φ(Xr(1)…Xr(n))，則式(1)可表達(dá)為：

(2)

(3)

于是：

(4)

(5)

根據(jù)q和n的關(guān)系從3個(gè)方面討論式(5)：

(6)

(7)

式(7)中的求和項(xiàng)數(shù)為所有雙元素劃分π的數(shù)量為(n-1)(n-3)…5·3·1。

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由于劃分π中的塊不可能都為雙元素塊，至少有一個(gè)單元素塊，因此φπ=0。

綜上所述，有：

(8)

2 非中心化隨機(jī)變量序列和的高階矩

定理2設(shè){Yi,i∈N}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，存在：

E(Yi)=μ0

[1]蘇淳. 概率論[M]. 第2版.北京：科學(xué)出版社,2010.

[2] Emery M, Nemirovski A，Voiculescu D. Lectures on probability theory and statistics[M].New York:Springer, 2000.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.10.004

O211.4

A

1673-1409(2012)10-N010-03