一類(lèi)具有分布時(shí)滯的SIR傳染病模型的穩(wěn)定性分析

王桂臻，李必文(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引 言

數(shù)學(xué)模型在分析傳染病的傳播和控制方面已經(jīng)成為重要的工具.近幾十年來(lái),國(guó)際上傳染病動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展十分迅速,大量的數(shù)學(xué)模型被用于分析各種各樣的傳染病問(wèn)題,所涉及的因素也不斷增多,方程的形式越來(lái)越復(fù)雜,如引起廣泛關(guān)注的時(shí)滯微分方程模型.時(shí)滯在傳染病模型中是廣泛存在的，Betertta等在文獻(xiàn)中研究了一類(lèi)具有時(shí)滯的SIR傳染病模型,他們得到了無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性;如果時(shí)滯充分小,地方病平衡點(diǎn)還是全局穩(wěn)定的.這是時(shí)滯模型的一個(gè)基本結(jié)果,即地方病平衡點(diǎn)對(duì)于小時(shí)滯是全局穩(wěn)定的.2000年,Taketlchi、Ma和Betertta又研究了另一個(gè)時(shí)滯SIR模型,得到了類(lèi)似的結(jié)果.2002年,Ma和Taketlchi研究了一類(lèi)具有分布時(shí)滯的SIR傳染病模型,得到了只要地方病平衡點(diǎn)存在,模型就是持久的.

在[1]中，已經(jīng)研究了下面的分布時(shí)滯模型

(1)

(2)

滿(mǎn)足初始條件S(0)≥0,I(0)≥0,R(0)≥0.

1 平衡點(diǎn)分析

令系統(tǒng)(2)的右端為零, 可給出系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn):

2 全局漸近穩(wěn)定性

由于系統(tǒng)(2)的前兩個(gè)方程不依賴(lài)于變量R，因此我們僅考慮前兩個(gè)方程的穩(wěn)定性.

定理1 若R0>1 ，那么E*是全局漸近穩(wěn)定的.

b=βm(S*)I*+μ1S*

(3)

(μ2+λ)I*=βm(S*)I*

(4)

(5)

下面我們來(lái)研究Lyapunov泛函的表現(xiàn)形式，定義如下

(6)

用(3)替代b，得到

(7)

用(4)代替(μ2+λ)I*，得

(8)

用定積分的分部積分法，我們有

(9)

(10)

結(jié)合式(7)，(8)，(10),可得

對(duì)上式進(jìn)行變形，得到

參考文獻(xiàn):

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