從加權(quán)Bloch空間到Qk(p,q)空間上的復(fù)合算子

龍見仁，伍鵬程

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽 550001)

從加權(quán)Bloch空間到Qk(p,q)空間上的復(fù)合算子

龍見仁，伍鵬程*

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽 550001)

復(fù)合算子； 加權(quán)Bloch空間；Qk(p,q)空間； K-Carleson測度； 緊性； 有界性

1 引言及主要結(jié)果

D上廣義加權(quán)Bloch空間和廣義加權(quán)小Bloch空間，其定義分別為：

文獻(xiàn)[5]研究了一類M?bius不變的函數(shù)空間，被稱為QK(p,q)空間.其定義是，設(shè)0

(a)K為非減函數(shù)；

(b)K在(0，1)上二階可微；

(d)K(t)=K(1) (t≥1)；

(e)K(t)≈K(2t) (t≥0)；

則稱dμ為緊K-Carlerson測度.

本文中C表示正常數(shù)，且在不同的地方可以不同，A≈B意味著存在正常數(shù)C,C′，使得CA≤B≤C′A.

本文主要證明以下結(jié)果.

K(g(z,a))dA(z)<∞.

(1)

定理3 令K(r)在[0,∞)上非負(fù)非減，1≤p<∞，-2

戶名：中國氣象局氣象探測中心，賬號：4043200001819900025525， 開戶行：華夏銀行北京紫竹橋支行

K(g(z,a))dA(z)=0.

(2)

2 引理

為證明上述定理，需要以下一些引理.

引理3[13]假設(shè)權(quán)函數(shù)K滿足條件(f)，則

(1)D上的正測度dν為K-Carlerson測度當(dāng)且僅當(dāng)

(2)D上的正測度dν為緊K-Carlerson測度當(dāng)且僅當(dāng)

引理4 假設(shè)K滿足條件(a)和(e)，則

等價(jià).

其中C是正常數(shù).

引理6[3]令K(r)在[0,∞)上非負(fù)非減，0

K(g(z,a))dA(z)<∞；

K(g(z,a))dA(z)=0.

利用緊算子的定義及Montel定理，容易證明引理7.

3 定理的證明

定理1的證明利用引理6知(1)?(3).

(1)?(2)是顯然的.

令s→1，于是條件(3)成立.

(3)?(4)，假設(shè)條件(3)成立.欲證條件(4)成立，由引理3，則只需證

K(g(z,a))dA(z)<∞.

于是條件(4)成立.

而

于是條件(1)成立.從而定理1證畢.

K(g(z,a))dA(z)≤

K(g(z,a))dA(z)<∞.

K(g(z,a))dA(z)=M<∞.

因此

K(g(z,a))dA(z)≤

K(g(z,a))dA(z)

K(g(z,a))dA(z)≤

結(jié)合以上兩方面知

定理3的證明(2)?(1)，這是顯然的.

K(g(z,a))dA(z)=0.

于是條件(3)成立.

(3)?(4)，假設(shè)條件(3)成立.由引理3欲證

為D上的緊K-Carleson測度，則需證

K(g(z,a))dA(z).

利用條件(3)得

于是條件(4)成立.

(4)?(1)，假設(shè)

為D上的緊K-Carleson測度，則由引理3得

(4)?(2)，假設(shè)

因?yàn)?/p>

為D上的緊K-Carleson測度，則由引理3得

K(g(z,a))dA(z)≤

令

K(g(z,a))dA(z)，

K(g(z,a))dA(z)<ε.

由引理1及引理4得

于是當(dāng)n≥N時(shí)，

K(g(z,a))dA(z)

又fn(φ(0))→0 (n→∞).因此

于是條件(2)成立.

K(g(z,a))dA(z)≤

K(g(z,a))dA(z)<ε.

因此，

K(g(z,a))dA(z)

另一方面，

結(jié)合上面兩方面，有

(2)?(5)是顯然的.

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Keywords： composition operator； weighted Bloch space；Qk(p,q) space； K-Carleson measure； compactness； boundedness

CompositionOperatorsfromWeightedBlochSpacetoQk(p,q)Space

LONG Jianren， WU Pengcheng*

(Shool of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

2011-01-11

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171080);貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目(LKS[2010]07)

*通訊作者，wupc@gznu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0048-06

O174.5

A

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】