一類非線性微分差分方程亞純解的性質

彭長文,陳宗煊

(1.華南師范大學數(shù)學科學學院,廣東廣州 510631； 2.貴州師范學院數(shù)學與計算機科學學院，貴州貴陽 550018)

一類非線性微分差分方程亞純解的性質

彭長文1,2,陳宗煊1*

(1.華南師范大學數(shù)學科學學院,廣東廣州 510631； 2.貴州師范學院數(shù)學與計算機科學學院，貴州貴陽 550018)

利用值分布理論，研究了幾類非線性差分方程是否有有限級超越亞純解的問題，還考慮了“微分差分方程fn(z)+M(z,f)=h(z)是否存在有限級超越整函數(shù)解”的問題，其中n(≥3)是整數(shù)，h(z)是非零的有理函數(shù)，M(z,f)是關于f的線性微分差分多項式.

微分差分多項式； 差分多項式； 微分差分方程； 非線性差分方程

1 引言與結果

本文使用值分布理論的標準記號[1]，用ρ(f)表示復平面上的亞純函數(shù)f的級，m(r,f)表示均值函數(shù)，N(r,f)表示積分計數(shù)函數(shù)，T(r,f)表示f的特征函數(shù).亞純函數(shù)g是函數(shù)f的小函數(shù)是指：g滿足T(r,g)=S(r,f)=o(T(r,f))，至多除去一個對數(shù)測度為有限的集合.

本文中，假設關于f的差分多項式是形如

其中亞純系數(shù)b(J,J是一個有限指標集)滿足T(r,b)=o(T(r,f)),μ(J,j=1,…,)是正整數(shù)且滿足

并且至少有一個δ是非零的,n是P(z,f)的次數(shù).

類似地，關于f的微分差分多項式是形如

其中亞純系數(shù)b(J,J是一個有限指標集)滿足T(r,b)=o(T(r,f)),μ(J,j=1,…,),nl,ni是不全為零的非負整數(shù)，且滿足

ci,δ是復常數(shù)，n是Q(z,f)的次數(shù).

假設f(z)是亞純函數(shù)，定義

為f的e-型級.

近幾年來，許多研究者對復差分進行了大量的研究，得到了許多有意義的結果[2-5].非線性差分方程的超越解的性質也一直受到關注，YANG和LAINE[6]對幾類非線性差分方程解的增長性進行研究，并且得到如下定理.

定理A 假設q(z),p(z)是多項式且q(z)不恒為零,則非線性差分方程

f2(z)+q(z)f(z+1)=p(z)

沒有有限級的超越整函數(shù)解.

定理B 若q(z)為非常數(shù)多項式，b,c為非零復常數(shù)，則方程

f3(z)+q(z)f(z+1)=csinbz

無有限級整函數(shù)解.如果q(z)=q是一個非零常數(shù)，當b=3n,q3=(-1)n+1c2，n是一個非零整數(shù)，則該方程有3個互相判別的有限級整函數(shù)解.

定理C 令n≥4是一個整數(shù)，M(z,f)是關于f的線性微分差分多項式，h是一個有限級亞純函數(shù).則微分差分方程

fn(z)+M(z,f)=h(z)

最多有一個有限級超越整函數(shù)解使得M(z,f)的系數(shù)是關于f的小函數(shù).如果這個解存在，則f和h的級相同.

本文將以上幾個定理的結果推廣到更一般的情況，得到了如下結果.

定理1 假設n(≥4)是整數(shù)，q(z)是非零多項式，b,c為非零復常數(shù)，則非線性差分方程

fn(z)+q(z)f(z+1)=csinbz

(1)

無有限級的整函數(shù)解.

YANG和LAINE[6]考慮了n=3和q(z)是非常數(shù)多項式的情形，得到了定理B.而在本文中，討論了當整數(shù)n≥4，q(z)是非零多項式的情形，得到了定理1，推廣了定理B的結果.

定理2 假設q(z),p(z)是非零多項式,則非線性差分方程

f2(z)+q(z)f(z+1)=p(z)

(2)

無有限級超越亞純解.若存在無窮級超越亞純解，則σe(f)≥log 2.

定理3 假設c1,…，cm是非零復常數(shù)，m,n是正整數(shù)，且n≠m，q(z),p(z)是多項式且q(z)不恒為零,則非線性差分方程

fn(z)+q(z)f(z+c1)…f(z+cm)=p(z)

(3)

沒有有限級的超越整函數(shù)解.

定理3精煉和推廣了定理A.

定理4 若q(z)為多項式，p(z)為有限級超越整函數(shù)，則方程

f2(z)+q(z)f(z+1)=p(z)

(4)

的所有有限級超越亞純解的級滿足ρ(f)=ρ(p).

定理5 令n(≥3)是一個整數(shù)，M(z,f)是關于f的線性微分差分多項式，h是一個有理函數(shù).則微分差分方程

fn(z)+M(z,f)=h(z)

(5)

沒有有限級超越整函數(shù)解.

定理C研究了在h是亞純函數(shù)的條件下，導出方程(5)至多有一個有限級的超越整函數(shù)解f，且ρ(f)=ρ(h).而定理5專門討論若h是有理函數(shù)，則方程(5)無有限級的超越整函數(shù)解.

注1 當m=n時，方程(3)存在有限級超越整函數(shù)解.

例1 方程

f2(z)-f(z+1)f(z-1)=sin21

有解f(z)=sinz，ρ(f)=1.

當m≠n時，方程(3)可能存在無限級超越整函數(shù)解.

例2 方程

fn(z)-f(z+1)=0

有解f(z)=exp(ezlog n)，ρ(f)=∞.

2 引理

為了證明定理，需要下面的引理.

引理1[7]若f是非常數(shù)的級為ρ<+∞的亞純函數(shù)，則對于任意給定的復數(shù)c1,c2和任意的ε>0，有

成立.

引理2[7]若f是亞純函數(shù)，其極點收斂指數(shù)()=<+∞，η≠0是一固定的復常數(shù)，則對任意的ε>0，有

N(r,f(z+η))=N(r,f)+O(r)+O(logr)

成立.

引理3[7]令f是一個級為ρ<+∞的亞純函數(shù)，η是一固定的非零復常數(shù)，則對任意ε>0，有

T(r,f(z+η))=T(r,f)+O(rρ-1+ε)+O(logr).

有有限級的超越亞純解，則d=max{p,q}≤n.

的差分方程，其所有系數(shù)的增長是o(T(r,y)) (r→∞)，di不恒為零，并且假設y是該方程的非有理亞純解，d=max{p,q}>n，那么對任意ε,0<ε<(d-n)/(d+n)，存在r0>0使得當r≥r0有

其中C=max{|c1|,…,|cn|}和K>0是常數(shù).

引理6[9]假設fj(z) (j=1,…,n;n≥2)是亞純函數(shù)，gj(z) (j=1,…,n)是整函數(shù)，滿足

(2)當1≤j

引理7[10]假設g:(0,+∞)→，h:(0,+∞)→是單調增函數(shù)，且在一個對數(shù)測度為有限的集合E外滿足g(r)≤h(r),則對任意的α>1，存在r0>0，使得對所有r>r0，有g(r)≤h(αr)成立.

引理8[6]若c是一個非零常數(shù)，α是一個非常數(shù)亞純函數(shù).則微分方程f2+(cf(n))2=α沒有超越亞純解滿足T(r,α)=S(r,f).

引理9[6]形如

H(z,f)P(z,f)=Q(z,f)

的微分差分方程，其中H(z,f),P(z,f),Q(z,f)是關于f的微分差分多項式，H(z,f)的最高次數(shù)是n，并且Q(z,f)的次數(shù)小于等于n.如果f是該微分差分方程的級為ρ<+∞的超越亞純解，且H(z,f)只包含一項次數(shù)最大的項，則對任意ε>0，有

m(r,P(z,f))=O(rρ-1+ε)+S(r,f)

在一個對數(shù)測度為有限的集合外成立.

3 定理的證明

定理1的證明假設Q(z)是方程(1)的多項式解，則有

Qn(z)+q(z)Q(z+1)=csinbz.

(6)

顯然式(6)左邊是多項式，而右邊是超越整函數(shù)，所以方程(1)沒有多項式解.

假設f是方程(1)的超越整函數(shù)解，對方程(1)兩邊微分有

nfn-1(z)f′(z)+q′(z)f(z+1)+

q(z)f′(z+1)=cbcosbz,

(7)

bfn(z)+bq(z)f(z+1)=bcsinbz.

(8)

對式(7)、(8)兩邊平方相加有

f2n-2(z)[b2f2(z)+n2f′(z)2]=Tn+1(z,f),

Tn+1(z,f)是關于f的次數(shù)小于等于n+1的微分差分多項式，其系數(shù)是多項式.

下面分2種情形討論：

(一)Tn+1(z,f)≡0時，有b2f2(z)+n2f′(z)2≡0，從而

T(r,b2f2(z)+n2f′(z)2)=

m(r,b2f2(z)+n2f′(z)2)=S(r,f)

成立，進而由引理7知α=b2f2+n2f′2是關于f的不恒為零的小函數(shù).由引理8可知α必是一個常數(shù).對α=b2f2+n2f′2兩邊微分也有

解得

f(z)=l1eibz/n+l2e-ibz/n,

整理得

(9)

即

(10)

式(10)的所有系數(shù)是常數(shù)或是多項式.

(11)

綜上可知，當n≥4時，方程(1)不存在有限級的整函數(shù)解.

定理2的證明若f(z)是方程(2)的不具有極點的超越亞純函數(shù)解，即f(z)是超越整函數(shù).將方程(2)變形為

由p(z),q(z)是多項式，f(z)是超越整函數(shù)，有

T(r,p)=o(T(r,f)),T(r,q)=o(T(r,f)) (r→∞)

且d=max{2,0}=2>1=n,C=1，由引理5可知對任意ε,0<ε<(d-n)/(d+n)=1/3，存在r0>0使得當r≥r0有

其中K>0是常數(shù)，從而有

(12)

令ε→0有

若f(z)為方程(2)具有極點的超越亞純函數(shù)解，設z0為f(z)的k階極點，則z0+1為f(z)的2k階極點，z0+2為f(z)的22k階極點，…,z0+s為f(z)的2sk階極點.從而

n(|z0|+s,f)≥2sk+O(1),

logn(|z0|+s,f)≥slog 2+O(1),

則

綜上可知σe(f)≥log 2.

注2 在定理2的證明過程中，如果f是方程(2)有極點的超越亞純解時，也可直接應用引理5證明，過程和f是方程(2)的超越整函數(shù)解時的證明完全一樣，從而定理2的證明可綜合為上述證明過程中的第一部分.

定理3的證明當n>m時，有n=max{p,q}= max{n,0}>m,由引理4可知方程(3)無有限級超越整函數(shù)解.

當m>n時，由引理1和方程(3)，有

mm(r,f)=m(r,fm)=

m(r,fn)+O(rρ-1+ε)+O(logr)=

nm(r,f)+O(rρ-1+ε)+O(logr).

因此

(m-n)T(r,f)=(m-n)m(r,f)≤

O(rρ-1+ε)+O(logr),

所以ρ(f)<ρ，矛盾.

綜上可知，當m≠n時，方程(3)沒有有限級的超越整函數(shù)解.

若考慮方程(3)是否存在有限級超越亞純解，直接由引理4可得到下面的推論1.

推論1 假設c1,…,cm是非零復常數(shù)，m,n是正整數(shù)，n>m,且q(z),p(z)是多項式，q(z)不恒為零,則非線性差分方程

fn(z)+q(z)f(z+c1)…f(z+cm)=p(z)

沒有有限級的超越亞純函數(shù)解.

定理4的證明設f是方程(4)的級為ρ<+∞的超越亞純函數(shù)解，則有

ρ(p)=ρ(f2(z)+q(z)f(z+1))≤

max{ρ(f2(z)),ρ(q(z)f(z+1))}=ρ(f).

從而ρ(p)≤ρ(f).

若ρ(p)<ρ(f)，則存在σ使得ρ(p)<σ<ρ(f)=ρ，從而由方程(4)和引理3有

2T(r,f)=T(r,f2)=T(r,p(z)-q(z)f(z+1))≤

T(r,p)+T(r,f(z+1))+T(r,q)≤

T(r,f)+rσ+O(rρ-1+ε)+S(r,f).

(13)

對所有充分大的r，式(13)在一個對數(shù)測度有限的集合外成立.當ε充分小時，由引理7可得

ρ(f)≤max{ρ-1+2ε,σ+ε}<ρ.

矛盾，所以ρ(f)=ρ(p).

定理5的證明若設f是方程(5)的級為ρ(f)=ρ<∞的超越整函數(shù)解，將方程(5)變形為

從而

T(r,h)+T(r,f)+O(rρ-1+ε)+S(r,f)=

T(r,f)+O(rρ-1+ε)+O(logr)+S(r,f).

因此

(n-2)T(r,f)≤O(rρ-1+ε)+O(logr)+S(r,f).

(14)

若ρ(f)=0，則有

(n-2)T(r,f)≤o(1)+O(logr)+S(r,f).

(15)

若0<ρ(f)=ρ<∞，由h是有理函數(shù)可知ρ(h)=0.設0=ρ(h)<σ<ρ(f)=ρ，則

T(r,h)+T(r,f)+O(rρ-1+ε)+S(r,f)≤

T(r,f)+O(rρ-1+ε)+rσ+S(r,f).

因此

(n-2)T(r,f)≤O(rρ-1+ε)+rσ+S(r,f).

(16)

由式(16)導出ρ(f)<ρ矛盾.

綜上可知方程(5)不存在有限級的超越整函數(shù)解.

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Keywords： difference-differential polynomial; difference polynomial; difference-differential equation; nonlinear difference equation

PropertyofMeromorphicSolutionsofCertainNonlinearDifferentialandDifferenceEquations

PENG Changwen1,2, CHEN Zongxuan1*

(1.School of Mathematics，South China Normal University，Guangzhou 510631, China;2.School of Mathematics and Computer Sciences, Guizhou Normal College, Guiyang 550018, China)

By applying Nevanlinna’s value distribution theory of meromorphic functions, the following problems are investigated: the existence of finite order transcendental meromorphic solutions of several kinds nonlinear difference equations, and the existence of finite order transcendental entire function solutions of differential-difference equations with the formfn(z)+M(z,f)=h(z), wheren(≥3) is an integer,h(z) is a given non-vanishing rational function, andM(z,f) is a linear differential-difference polynomial inf.

2010-12-14

國家自然科學基金項目(10871076)

*通訊作者，chzx@vip.sina.com

1000-5463(2012)01-0024-05

O174.52

A

【責任編輯 莊曉瓊】