H(curl)-橢圓問題不連續(xù)Galerkin法的后驗誤差估計

邢小青, 鐘柳強

(華南師范大學數(shù)學科學學院, 廣東廣州 510631)

H(curl)-橢圓問題不連續(xù)Galerkin法的后驗誤差估計

邢小青, 鐘柳強*

(華南師范大學數(shù)學科學學院, 廣東廣州 510631)

針對Lipschitz多面體區(qū)域上H(curl)-橢圓問題的不連續(xù)Galerkin法, 提出了一種新的基于殘量型的后驗誤差估計, 并證明了該后驗誤差的一個上界估計. 其中問題的最困難性在于如何處理跳躍項中出現(xiàn)的局部網(wǎng)格尺寸的負次冪.

不連續(xù)Galerkin法； 后驗誤差估計;H(curl)-橢圓問題

令Ω是三維歐氏空間3中的一個有界單連通Lipschitz多面體區(qū)域，?Ω和n?Ω分別是其連通邊界和單位外法向量. 引入標準Sobolv空間H(curl;Ω)={v(L2(Ω))3n?Ω×u=0 on ?Ω}.

(1)

其中

a(u,v)=(×u,×v)+(u,v),

(·,·)表示函數(shù)空間L2(Ω)中的內(nèi)積.

變分問題(1)可以應(yīng)用于多種電磁場模型的數(shù)值模擬[1-2],不連續(xù)Galerkin (DG: Discontinuous Galerkin)法與其他有限元法相比較, 在某些方面更具有優(yōu)勢, 如保局部守恒性和穩(wěn)定性方面等. 關(guān)于模型問題(1), 只有少量的研究文獻是關(guān)于混合型內(nèi)罰不連續(xù)Galerkin 法 (IPDG: Interior Penalty Discontinuous Galerkin)[3-4]. 據(jù)知, 關(guān)于DG法的后驗誤差估計的分析僅出現(xiàn)在文獻[5]中. 但誤差指示子太過于復(fù)雜, 以及依賴于一些計算區(qū)域的嵌入?yún)?shù). 本文給出了一種新的基于殘量型的后驗誤差估計, 與文獻[5]的結(jié)果相比較, 誤差估計更為簡潔. 同時, 證明了后驗誤差的一個整體上界估計, 其中最困難的地方在于跳躍項中出現(xiàn)了局部網(wǎng)格尺寸的負次冪. 我們證明了該跳躍項可以被后驗誤差子所控制住.

本文第1節(jié)引入關(guān)于模型問題(1)的IPDG離散格式，第2節(jié)引入一種新的基于殘量型的后驗誤差估計子及相關(guān)的預(yù)備知識；第3節(jié)給出了IPDG法后驗誤差的一種整體上界估計.

1 IPDG離散格式

(v,w)=vwdx,?v,w(L2(Ω))3,
?y,z(L2(h))3.

令H1(Ω;h)={vL2(T):vT=vT±, 則定義

引入通常的離散有限元空間

ah(uh,vh)=(g,vh), ?vhVh,

(2)

其中

ah(w,v)=(×w,×v)+(w,v)-[[w]],

μ.

(3)

這里常數(shù)μ>0表示罰參數(shù)及hf表示面f的直徑.

由文獻[6]知，當罰參數(shù)滿足μ≥μ0時, 離散變分問題(2)的解是存在唯一的, 其中常數(shù)μ0僅依賴于網(wǎng)格的形狀正則及逼近階數(shù)l.

2 后驗誤差估計子及預(yù)備知識

(4)

其中hT表示單元T的直徑, 且有hT≈hf(即它們是相容的).在本文中, 除了特殊的常數(shù)外, 為了避免重復(fù)使用一般的常數(shù)記號,采用記號:,和≈,即當存在正常數(shù)C1,c2,c3和C3,滿足x1≤C1y1,x2≥c2y2,c3x3≤y3≤C3x3成立時,則簡記為x1C1y1,x2c2y2,x3≈y3.

定義

(5)

注1 與文獻[5]的基于殘量型的后驗誤差估計子相比較,式(5)中項數(shù)更少,表達形式更簡潔.

下面引入提升算子Lh:(H1(Ω;h))3Vh滿足

(6)

上述算子是穩(wěn)定的[7]，即

‖Lh(v)‖L2(Ω)‖‖L2(h),

(7)

其中上述常數(shù)僅依賴于網(wǎng)格的形狀正則和有限元函數(shù)的多項式次數(shù).

故可將由式(3)定義的雙線性ah(·,·)改寫為:

ah(w,v)=(×w,×v)+(w,v)-

(Lh(w),×v)-(Lh(v),×w)+

μ

(8)

ah(u,v)=(g,v),?vH0(curl;Ω).

(9)

關(guān)于IPDG法,當罰參數(shù)滿足μ≥μ0時,如下性質(zhì)成立(分別見文獻[5]的引理4.1和文獻[7]的式(15))：

有界性:ah(w,v)‖w‖h‖v‖h，w,vVh,

(10)

強制性:

ah(v,v)‖v‖h,vVh,

(11)

其中依賴于網(wǎng)格的能量范數(shù)‖·‖h由下式給出

(12)

(13)

(14)

‖v-hv‖L2(T)+‖hf×(v-hv)‖L2(T)

(15)

其中ΩT=∪f TΩf,Ωf={T′h,f?T′}.

‖v⊥‖hμ1/2‖‖.

(16)

證明由式(11)和式(13)可知

則利用式(10)、(12)和[[wconf]]=0,有

ah(v-wconf,v-wconf)‖

令wconf=hv,并利用式(15)即證得結(jié)論.

3 整體上界估計

引理3[8]令V1,1(h)是第一類Nédélec線性有限元空間,則存在算子h)滿足:對任意的vH0(curl;Ω),存在φ和z使得

hT‖φ‖0,T+‖φ‖0,T‖v‖0;ΩT,
hT‖z‖0,T+‖z‖0,T‖×v‖0;ΩT.

(17)

下面給出后驗誤差的第一個上界估計.

ah(u-uh,u-uh)η2(uh,h)+‖[[uh]]‖.

(18)

ah(e,e)=ah(e,v-u⊥)=

(19)

(g,z+φ)-ah(uh,z+φ)=

(R1(uh),z)-(R2(uh),φ)+J1(uh),z+

‖hR1(uh)‖L2(h)‖h-1z‖L2(h)+

‖hR2(uh)‖L2(h)‖h-1φ‖L2(h)+

‖h1/2J1(uh)‖L2(h)‖h-1/2z‖L2(h)+

‖h1/2J2(uh)‖L2(h)‖h-1/2φ‖L2(h)+

‖Lh(uh)‖L2(h)‖×z‖L2(h)

(η(uh,h)+‖[[uh]]‖L2(h))‖v‖h.

進一步,由v=e+u⊥和式(11),有

‖v‖h≤‖e‖h+‖u⊥‖hah(e,e)1/2+‖u⊥‖h.

從而證得

(ah(e,e)1/2+‖u⊥‖h).

令C表示一個與參數(shù)μ無關(guān)的一般常數(shù),則利用Young’s不等式和能量范數(shù)的定義(12),有

C(η2(uh,h)+‖[[uh]]).

(20)

由Cauchy-Schwarz不等式、式(10)、(11)和Young’s不等式,可得

ah(e,u⊥)≤ah[(e,e)]1/2[ah(u⊥,u⊥)]1/2≤

利用式(16)、(19)、(20)及上式，即證得結(jié)論.

C1ah(uh,uh)=C1ah(uh-vconf,uh-vconf).

(21)

ah(uh-vconf,uh-vconf)=

ah(uh,uh-vconf)-ah(vconf,uh-vconf)=

(g,uh-vconf)-ah(vconf,uh-vconf).

(22)

先估計上面第2項.利用式(8)，Lh(vconf)=[[vconf]]=0,并改寫vconf=uh+(vconf-uh),得

ah(vconf,uh-vconf)=(×uh,×(uh-vconf))-

(vconf,uh-vconf)-(Lh(uh),×vconf).

利用分部積分公式及式(6),有

{{uh-vconf}}L2(oh)+(Lh(uh-vconf),×uh).

在上式中再次應(yīng)用Lh(vconf)=0,可得到

ah(vconf,uh-vconf)=(×(×uh),uh-vconf)+

(Lh(uh),×(uh-vconf)).

把上式代入式(22)中,并利用式(4)和Cauchy-Schwarz不等式可知

ah(uh-vconf,uh-vconf)=(g,uh-vconf)-

ah(vconf,uh-vconf)=(g-×(×uh)-uh,

uh-vconf)-[[×uh]],{{uh-vconf}}L2(oh)+

vconf)-(Lh(uh),×(uh-vconf))≤

η(uh,h)(‖h-1(uh-vconf)‖L2(h)+

‖h-1/2{{uh-vconf}}‖L2(oh))+

‖Lh(uh)‖L2(h)‖×(uh-vconf)‖L2(h).

令vconf=huh并利用跡不等式、式(15)和式(7),有

ah(uh-vconf,uh-vconf)≤C2(η(uh,h)×

把上式代入式(21),有

作為引理4和引理5的一個直接結(jié)論,并利用式(11),得到如下關(guān)于誤差的一個整體上界估計：

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[8] SCHOBERL J. A posteriori error estimates for Maxwell equations [J]. Mathematics of Computation, 2008, 77(262):633-649.

APosterioriErrorEstimateofDiscontinuousGalerkinMethodforH(curl)-EllipticProblems

XING Xiaoqing， ZHONG Liuqiang*
(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

A new posteriori error estimate based on residual for discontinuous Galerkin discretizations ofH(curl)-elliptic problems on Lipschitz polyhedron is proposed. The corresponding upper bound is proved. One of the most difficult problem here is how to deal with the presence of the negative power of the local mesh size in the jump term.

2012-02-25

國家自然科學基金項目(10971074; 11171359)

*通訊作者,zhong@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)03-0018-04

O241

A

10.6054/j.jscnun.2012.06.003

Keywords： discontinuous Galerkin method; a posteriori error estimate;H(curl)-elliptic problem

【責任編輯 莊曉瓊】