小波去噪質(zhì)量評價方法的對比研究*

陶 珂 朱建軍

(中南大學(xué)測繪與國土信息工程系，長沙 410083)

小波去噪質(zhì)量評價方法的對比研究*

陶 珂 朱建軍

(中南大學(xué)測繪與國土信息工程系，長沙 410083)

針對小波去噪的特點，研究了現(xiàn)有小波去噪質(zhì)量評價方法的實際應(yīng)用效果。通過實驗分析與比較，得到了現(xiàn)有5種小波去噪質(zhì)量評價方法的實際評估能力。

小波變換;小波去噪;質(zhì)量評價;測量數(shù)據(jù);數(shù)據(jù)處理

1 引言

自20世紀(jì)90年代以來，小波分析以其良好的時頻局部化和多分辨率分析的能力而在測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用和越來越多的重視［1-6］。借助小波分解與重構(gòu)技術(shù)，可以有效地濾除觀測信號中的噪聲，提高數(shù)據(jù)處理結(jié)果的可靠性。但是需要指出的是，雖然小波去噪技術(shù)已經(jīng)在大地測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，但應(yīng)用效果并非極佳。其中一個重要的原因在于:實際應(yīng)用中很難掌握實際信號的真實特征，故難以對小波去噪的質(zhì)量進行準(zhǔn)確評價，從而導(dǎo)致最佳分析結(jié)果的選取非常困難。

現(xiàn)有的小波去噪質(zhì)量評價方法主要源于經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)，而小波去噪從根本上講是基于非統(tǒng)計原理，其特點在于:小波分析技術(shù)不考慮系統(tǒng)的概率分布，允許系統(tǒng)的概率分布是未知的或非典型的［7］。因此，基于經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的質(zhì)量評價方法在小波去噪中的應(yīng)用效果需要進行專門的研究并得到充分的重視。為此，本文將系統(tǒng)研究現(xiàn)有小波質(zhì)量評價方法的實際應(yīng)用效果，并總結(jié)各種評價方法的評價能力與特點。

2 小波去噪的基本原理

小波變換的基本思想是用2個或2個以上的函數(shù)(小波基)去逼近原函數(shù)［8］。設(shè)信號x(t)是平方可積函數(shù)，則x(t)的小波變換為該信號與小波函數(shù)ψ(α，τ)(t)的內(nèi)積，為:

式中α和τ分別為伸縮和平移因子，ψ*(t)是ψ(t)的共軛。

小波變換實際上是對函數(shù)的分解，小波變換具有帶通的功能，即可以利用小波變換將原信號分解成不同頻率的信號，每個頻率帶互不重疊，所分解的頻率區(qū)間包含了原函數(shù)的所有頻段。由于信號中的有用部分與噪聲具有不同的時頻特性，如變形監(jiān)測數(shù)據(jù)中，變形信號通常表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則主要集中在小波分解的高頻層。因此，通過選取合理的閾值可以有效去掉噪聲信號，進而小波去噪主要包括以下3個基本步驟［2-6］:

1)選擇小波基以及分解層次，計算各層小波分解系數(shù);

2)針對每一分解層次選擇一個閾值，對高頻系數(shù)進行處理，去除集中在高頻部分的噪聲成分;

3)針對每個分解層次，對低頻系數(shù)和閾值量化處理后的高頻系數(shù)進行小波重構(gòu)，獲得去噪后的信號。

3 小波去噪質(zhì)量評價方法

現(xiàn)有小波去噪質(zhì)量評價方法主要有5種，現(xiàn)分別對其進行簡要介紹。

3.1 均方根誤差［9］

均方根誤差指分解與重構(gòu)信號與原始信號的均方誤差，記為RMSE，

均方誤差體現(xiàn)了原始信號和去噪之后的信號間的差異，實際使用時，均方誤差越小表示去噪效果越好。

3.2 信噪比和信噪比增益［10］

信噪比指原始信號能量與噪聲能量的比值，記為SNR，

信噪比增益指小波去噪后的信噪比與去噪前的原始信噪比的比值，記為GSNR，

式中SNRdn表示去噪后的信噪比，SNRn表示原始信號的信噪比。

一般認(rèn)為，信噪比越高、信噪比增益越大，則濾波效果越好。

3.3 平滑度指標(biāo)［11］

平滑度指標(biāo)指去噪后信號的差分?jǐn)?shù)的方差根與原始信號的差分?jǐn)?shù)的方差根之比，記為r，

信號越光滑，平滑度指標(biāo)的數(shù)值就越小，則去噪效果越好。

3.4 互相關(guān)系數(shù)［12］

互相關(guān)系數(shù)指小波去噪后的信號與理論參考信號的相似度，記為R，

式中Cov(xi，yi)為xi和yi的協(xié)方差，σx、σy分別為xi、yi的標(biāo)準(zhǔn)差。

R越接近1，去噪效果越好。

3.5 總體評價法［13］

總體評價法綜合考慮了均方根差變化量、信噪比、平滑度以及互相關(guān)系數(shù)等度量指標(biāo)，將其歸化到［0，1］區(qū)間相加獲得，記為H，則:

式中Pv(M)表示均方誤差變化量的歸一化值，Pρ(M)、PSNR(M)、Pr(M)分別表示互相關(guān)系數(shù)、信噪比、平滑度的歸一化值。實際使用時，總體評價指標(biāo)值越大，則認(rèn)為小波去噪效果越好。

4 實驗設(shè)計與分析

4.1 實驗設(shè)計

小波分析質(zhì)量評價方法在實際上主要有兩方面用途［8，11-13］:1)選擇小波去噪的最佳分解與重構(gòu)層次;2)評價不同去噪結(jié)果的可靠性。為此，本文實驗設(shè)計的目的也主要為了檢驗小波去噪質(zhì)量評價方法在這兩方面的應(yīng)用效果:1)針對一個小波去噪過程，是否可以指導(dǎo)選擇最佳的分解層次;2)針對不同的小波去噪方法，是否可以指導(dǎo)選擇最佳的去噪結(jié)果。

設(shè)計實驗數(shù)據(jù)時首先需要考慮兩方面因素:1)為了能夠準(zhǔn)確地獲得小波去噪質(zhì)量的實際評價效果，需要選取真值已知的數(shù)據(jù)進行分析;2)為了全面反映小波去噪質(zhì)量評價方法的應(yīng)用效果，需要充分顧及實際去噪數(shù)據(jù)的固有特性。通過分析已有的研究成果［2-5，14］，可以發(fā)現(xiàn)去噪數(shù)據(jù)主要存在3方面的差異:1)平滑度差異，即真實數(shù)據(jù)中是否存在較多的突變;2)真實數(shù)據(jù)可能存在平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩種情況;3)不同信噪比(高或低)的去噪信號。針對去噪信號的差異，本文針對性地選擇兩組數(shù)據(jù): Blocks標(biāo)準(zhǔn)信號(圖1(a)，N=1 024)和一組模擬的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)S(圖1(d)，N=1 024)，其中模擬數(shù)據(jù)采用3個不同頻率的正弦信號以及一個低頻趨勢信號疊加產(chǎn)生一個模擬的變形監(jiān)測數(shù)據(jù):

Blocks信號為各類信號處理實驗的標(biāo)準(zhǔn)信號，因其具有代表性及普適性，且真知已知，所以本文將其選為實驗數(shù)據(jù);模擬數(shù)據(jù)是根據(jù)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的實際情況進行模擬的，選用不同頻率的正弦信號模擬實際數(shù)據(jù)中不同頻率的成分，低頻趨勢部分用來模擬實際形變的走勢。

圖1 實驗數(shù)據(jù)Fig.1 Experimental data

分析圖1中6組實驗數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn):1)Blocks標(biāo)準(zhǔn)信號和模擬信號S分別表示了平滑度不同的真實信號，其中Blocks標(biāo)準(zhǔn)信號存在角度的突變，而模擬信號S變化較為平緩;2)由于實際信號非平穩(wěn)的情況較多，故Blocks標(biāo)準(zhǔn)信號和模擬信號S均包含了一定的趨勢成分，因此均是非平穩(wěn)的;3)針對真實Blocks標(biāo)準(zhǔn)信號和模擬信號S分別加入不同信噪比(高或低)的噪聲，生成4組去噪信號。其中B1(圖1(b))和S1(圖1(e))為加入信噪比為2的白噪聲的去噪信號，B2(圖1(c))和S2(圖1(d))為加入信噪比為10的白噪聲的去噪信號?？梢姡疚脑O(shè)計的4組去噪信號可以充分顧及實際去噪信號的固有特點且真值已知，對去噪結(jié)果具有準(zhǔn)確的先驗知識。由于標(biāo)準(zhǔn)信號已知，即已知未加噪聲的純凈信號，所以可求得重構(gòu)信號與原始純凈信號的均方誤差值(區(qū)別于評價標(biāo)準(zhǔn)中的RMSE)，當(dāng)該均方誤差最小時，視為最佳去噪結(jié)果。

實驗分析時，為檢驗小波去噪質(zhì)量評價方法的不同用途，分別采取如下實驗方法:1)選取一種小波基，分別進行8個層次的分解與重構(gòu)，以檢驗去噪評價方法對于不完全去噪、完全去噪及過度去噪情況下的識別效果;2)選取3種常用的小波基haar、db8和sym6，用來獲得不同的小波去噪方法。

基于以上實驗設(shè)計原則與方法，下面將通過具體實驗分析現(xiàn)有5類(6種)小波去噪質(zhì)量評價方法的實際評價效果與規(guī)律。

4.2 Blocks標(biāo)準(zhǔn)信號實驗分析

以包含較多噪聲的信號B1為例，說明實驗的具體實施過程。通過計算重構(gòu)信號與原始純凈信號的均方誤差后發(fā)現(xiàn)，采用haar小波基在第5層次上的去噪效果最好。圖2展示了各類評價方法對haar小波基8個層次分解重構(gòu)結(jié)果的評價變化曲線。分析可以發(fā)現(xiàn):1)根據(jù)評價標(biāo)準(zhǔn)的定義和要求，沒有一種指標(biāo)可以準(zhǔn)確識別正確的分解層次;2)RMSE、SNR、GSNR和R基本上是單調(diào)遞增或遞減的，并沒有極值出現(xiàn);3)H指標(biāo)雖然對應(yīng)有一個最大值，即當(dāng)分解層數(shù)為7時，但其結(jié)果確是錯誤的。

表2展示了分解層數(shù)為5時，6種評價方法針對haar、db8和sym6 3種小波基對信號B1去噪結(jié)果的評價?？梢?1)RMSE、SNR以及GSNR 3種評價方法得到了正確結(jié)論;2)r、R和H方法則無法得出正確結(jié)論。

表1 6種評價方法對不同小波基去噪結(jié)果的評價結(jié)果(分解層數(shù)為5)Tab.1 Evaluation of different wavelet denoising results with six evaluation methods

采用上述策略對包含噪聲較少的信號B2進行分析，發(fā)現(xiàn)采用haar小波基，分解層數(shù)為4時效果最佳。圖3展示了haar小波基對信號B2進行分解后，各評價指標(biāo)的評價結(jié)果?？梢?，沒有一種方法可以正確確定分解與重構(gòu)層次，其評價結(jié)果的特征與B1類似。

表2展示了分解層數(shù)為4時，6種評價方法針對haar、db8和sym6 3種小波基對信號B2去噪結(jié)果的評價?？梢?1)RMSE、SNR、GSNR及H 4種方法得到正確的結(jié)論;2)r和R方法無法得到正確結(jié)論。

表2 6種評價方法對不同小波基去噪結(jié)果的評價結(jié)果(分解層數(shù)為4)Tab.2 Evaluation of different wavelet denoising results with six evaluation methods

圖2 6種評價方法對信號B1去噪結(jié)果的評價結(jié)果(haar小波基)Fig.2 Evaluation results of B1(haar)signal denoising results with six evaluation methods

圖3 6種評價方法對信號B2去噪結(jié)果的評價結(jié)果(haar小波基)Fig.3 Evaluation results of B2(haar)signal denoising results with six evaluation methods

4.3 模擬變形監(jiān)測數(shù)據(jù)實驗分析

采用與4.2節(jié)類似的分析思路，發(fā)現(xiàn)采用db8小波基對S1進行分解，當(dāng)分解層數(shù)為4時，得到的為最佳結(jié)果。圖4展示了db8小波基對信號B1進行分解后，各評價指標(biāo)的評價結(jié)果。分析發(fā)現(xiàn)，沒有一種指標(biāo)可以準(zhǔn)確識別正確的分解層次，雖然R和 H方法出現(xiàn)極值點，但其指示結(jié)果是錯誤的。

表3展示了分解層數(shù)為4時，6種評價方法針對haar、db8和sym6 3種小波基對信號S1去噪結(jié)果的評價?？梢?1)RMSE、SNR、GSNR及r 4種方法得到了正確結(jié)論;2)H和R方法無法得到正確結(jié)論。

對于包含較少噪聲的信號S2，采用db8小波基，分解層數(shù)為3時，去噪效果最好。5種評價指標(biāo)的評價結(jié)果列于圖5。從中可見:現(xiàn)有的各種評價指標(biāo)，無法確定分解層數(shù)為3時去噪結(jié)果最佳。

表3 6種評價方法對不同小波基去噪結(jié)果的評價結(jié)果(分解層數(shù)為4)Tab.3 Evaluation of different wavelet denoising results with six evaluation methods

表4展示了分解層數(shù)為3時，5種評價方法針對haar、db8和sym6 3種小波基對信號S2去噪結(jié)果的評價?？梢娭挥蠷MSE、SNR、GSNR以及H 4種指標(biāo)可以識別正確結(jié)果，其他方法均無法得到正確的結(jié)論。

表4 6種評價方法對不同小波基去噪結(jié)果的評價結(jié)果(分解層數(shù)為3)Tab.4 Evaluation of different wavelet denoising results with six evaluation methods

圖4 6種評價方法對信號S1去噪結(jié)果的評價結(jié)果(db8小波基)Fig.4 Evaluation of S1(db8)signal denoising results with six evaluation methods

圖5 6種評價方法對信號S2去噪結(jié)果的評價結(jié)果(db8小波基)Fig.5 Evaluation of S2(db8)signal denoising results with six evaluation methods

4.4 結(jié)果分析

1)現(xiàn)有的小波去噪質(zhì)量評價方法在指導(dǎo)選擇最佳的分解層次方面的能力非常欠缺，從實驗結(jié)果可以看出沒有一種方法可以得到正確的結(jié)論。其中6種具體的評價指標(biāo)大致可以分為兩種類型:(1) RMSE、SNR、GSNR3種方法對于未完全去噪的情況比較敏感，且評價結(jié)果的變化是單調(diào)的，沒有明顯的峰值出現(xiàn);(2)r、R和H3種方法對過度去噪的情況比較敏感，其中r、R方法評價結(jié)果的變化也是單調(diào)的，H方法的評價結(jié)果雖然有峰值，但其結(jié)果的可靠性不高。

2)針對同一信號采用不同小波基去噪，現(xiàn)有評價指標(biāo)的評價能力存在差異。其中RMSE、SNR和GSNR方法通常能夠得到合理的評價結(jié)果;而r、R以及H方法的評價效果很不穩(wěn)定，可靠性差。

3)分析各種評價方法的表現(xiàn)性能可以發(fā)現(xiàn): (1)RMSE、SNR及GSNR方法在未完全去噪時結(jié)果更符合定義，難以對一個信號不同層次的去噪效果進行評價，但其對于采用不同小波基對信號進行去噪的結(jié)果的質(zhì)量評價在現(xiàn)有方法中是最可靠的，可以在實際應(yīng)用時，作為最佳小波基選擇的依據(jù);(2) r、R與H方法的可靠性較差，傾向于識別過度去噪的情況，建議在實際應(yīng)用中不要單獨使用。

5 結(jié)語

研究了現(xiàn)有小波去噪質(zhì)量評價方法的實際表現(xiàn)，給出了現(xiàn)有評價方法針對單一信號不同分解層次去噪結(jié)果及不同小波基去噪結(jié)果的實際應(yīng)用效果。同時，得到了現(xiàn)有評價方法的基本評價規(guī)律。實驗分析發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有方法很難滿足實際應(yīng)用的要求，尤其是用于輔助選取單一信號最佳去噪結(jié)果方面存在較大的缺陷。同時也證明，基于經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的質(zhì)量評價方法在小波分析去噪這類基于非統(tǒng)計理論的數(shù)據(jù)處理方法中的應(yīng)用，存在較大的局限。

1 寧津生，汪海洪，羅志才.小波分析在大地測量中的應(yīng)用及其進展［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版)，2004，29 (8):659-663.(Ning Jinsheng，Wang Haihong and Luo Zhicai.Applications of wavelet analysis in geodesy and its progress［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2004，29(8):659-663)

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3 黃聲享，劉經(jīng)南.小波分析在高層建筑動態(tài)監(jiān)測中的應(yīng)用［J］.測繪學(xué)報，2003，32(2):153-157.(Huang Shengxiang and Liu Jingnan.Deformation analysis based on wavelet and its application in dynamic monitoring for highrise buildings［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2003，32(2):153-157)

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9 文鴻雁.基于小波理論的變形分析模型研究［D］.武漢大學(xué)，2004.(Wen Hongyan.A study of deformation analysis model based on wavelet theory［J］.Wuhan:Wuhan University，2004)

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11 吳繼忠.GPS觀測數(shù)據(jù)的小波閾值法消噪［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2009，(4):79-82.(Wu Jizhong.De -noising of GPS observations with wavelet threshold method［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009，(4): 79-82)

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13 李宗春，等.變形測量異常數(shù)據(jù)中的小波變換最佳級數(shù)的確定［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版)，2011，36 (3):285-288.(Li Zongchun，et al.Deformation measurement of abnormal data in the wavelet transform to determine the best series［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2011，36(3):285-288)

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A COMPARATIVE STUDY ON VALIDITY ASSESSMENT OF WAVELET DE-NOISING

Tao Ke and Zhu Jianjun
(Department of Geomatics Engineering，Central South University，Changsha 410083)

Wavelet transform has played an important role in the field of surveying data processing，as the noise can be eliminated effectively on the basis of wavelet decomposition and reconstruction.Currently，the research of wavelet de-noising mainly focuses on the development of wavelet de-noising methods，however，the validity assessment of wavelet de-noising result should be indeed taken into account.Seeing that，a comparative study on validity assessment methods of wavelet de-noising is down.The practical performance of existing validity assessment methods is obtained through a series of experiments.

wavelet transform;wavelet de-noising;validity assessment;surveying data;data processing

1671-5942(2012)02-0128-06

2011-12-08

國家自然科學(xué)基金(40974007)

陶珂，女，1987年生，碩士研究生，主要從事大地測量數(shù)據(jù)處理方面研究.E-mail:hncstaoke@126.com

P207

A