多屬性決策中方案屬性權重計算的相對熵模型

徐亞軍,吳 浩,劉慶祿

(解放軍65571部隊,吉林 四平 136000 )

多屬性決策中,方案屬性的權重反應了各方案屬性間的相對重要程度,合理準確地確定這些方案屬性的權重是進行方案排序選優(yōu)的基礎。

多屬性決策一般由多個專家參與進行,每個專家對每一項方案屬性重要性的個人偏好不同,導致在確定方案屬性權重過程中會出現(xiàn)專家意見不一致的情況。如何解決這一問題？本文試想能否把每個專家對方案屬性重要性的個人偏好集結成專家群體的群偏好,從而解決專家群體中單個專家對方案屬性的重要性意見不一致的情況,求得最能夠讓每一個專家都滿意的方案屬性權重。在此設想下,本文受相對熵原理的啟發(fā),構建了方案屬性權重計算的相對熵模型來求解方案屬性權重。

1 方案屬性權重計算的相對熵模型

限于篇幅,本文只引述有關相對熵離散形式的定義及主要性質(zhì)[1]。設 Ω = ｛ 0, 1, 2,...｝,xi, yi是 Ω 上兩

由上述性質(zhì)可知,當X、Y為離散分布時,相對熵可用于度量二者符合程度。

依據(jù)上述分析,要想得到專家群體對方案屬性集合 A的群偏好向量 Wg,就要最小化它與每一個專家給出的方案屬性重要性偏好向量的相對熵,結合相對熵的概念,建立方案屬性權重計算的相對熵模型如下：

由式(3)可以看出,通過計算各個專家對方案屬性重要性的個人偏好向量與群偏好向量之間偏離值的最小值,使得各個專家對方案屬性重要性的個人偏好與群偏好之間進行了比較,最后通過解此模型,可以得到專家群體對方案屬性集合A的群偏好向量Wg即為方案屬性的權重向量。

2 相對熵模型的求解

設上述模型(式 3)中群偏好向量有最優(yōu)解

構造Lagrange函數(shù)：

把式(4)代入方程組式(6)中,解得方程式的唯一的駐點：

3 模型的可行性及有效性驗證

為了更好地理解方案屬性權重計算的相對熵模型,本文給出一個算例來證明模型的可行性和有效性。

矩陣X中的數(shù)據(jù)越大,表示該專家認為這項屬性越重要。

利用公式(4),將評判矩陣X標準化,得到標準化的評判矩陣：

從矩陣B中我們可以看出,每個專家對方案屬性重要性的個人偏好是不一樣的,而且有的還相差很大,針對這一問題,本文通過求得專家群體對方案屬性重要性的群偏好來解決這一問題。

本文采用基于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的專家權重計算法來計算參與決策的專家權重,限于篇幅,本文不作具體介紹,詳細方法請參考筆者的學位論文[2]。結合以往統(tǒng)計數(shù)據(jù),可以求得參與本次方案決策的專家的權重為 ω = ( 0.53,0.14,0.13,0.20)。

將矩陣B中的數(shù)據(jù)和專家權重ω代入公式7,可以求得專家群體對方案屬性重要性的群偏好向量Wg如下：

至此,求得四個方案屬性的群偏好權重Wg=(0.249,0.276,0.172,0.304)。權重的和不等于1是因為計算中四舍五入導致的計算誤差。

下面來分析一下計算結果,首先構建表1。

表1 方案屬性權重的單個專家偏好與群偏好的比較表

對于專家1來說,其對方案屬性重要性的偏好排序是：方案屬性 1?方案屬性 4?方案屬性 3?方案屬性 2;對于專家 2,排序情況是方案屬性 4?方案屬性2?方案屬性 1?方案屬性 3;對于專家 3,排序情況是方案屬性 3?方案屬性 2=方案屬性 4?方案屬性 2;對于專家4,排序情況是方案屬性4?方案屬性3?方案屬性2?方案屬性1。方案屬性4在排序過程中取得了兩次第一,兩次第二;方案屬性 2在排序過程中取得了兩次第二,一次第三,一次第四;方案屬性 3在排序過程中取得了一次第一,一次第二,一次第三,一次第四;方案屬性 1在排序過程中取得了一次第一,一次第三,兩次第四;結合計算結果,專家群體對方案屬性重要性的偏好排序是方案屬性4?方案屬性2?方案屬性 1?方案屬性 3,是符合方案屬性的總體排序情況的;其次,對于專家 1來說,雖然其在專家群體中的地位比較重要(權重最大),但通過計算專家群體對方案屬性重要性的群偏好,發(fā)現(xiàn)專家群體最終并沒有絕對按照他的意見對方案屬性的重要性進行排序,而是按照多數(shù)人的意見進行排序。這也是符合實際情況的。

4 結束語

通過以上分析,可以發(fā)現(xiàn)方案屬性權重計算的相對熵模型可以把專家群體中單個專家對方案屬性重要性的個人偏好集結成專家群體對方案屬性重要性的群偏好,從而求得讓整個專家群體都滿意的方案屬性權重,同時還能夠避免某個專家的個人偏好對最終方案屬性重要性排序的影響。

[1] 邱苑華.管理決策與應用熵學[M].北京：機械工業(yè)出版社,2002.

[2] 徐亞軍.裝甲戰(zhàn)斗車輛性能指標需求方案決策研究[D].北京：裝甲兵學院,2012.

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