基于5階精度格式WCNS－E－5的p－multigrid方法研究

王新光， 毛枚良，， 鄧小剛， 涂國華

（1.中國空氣動力研究與發(fā)展中心，四川 綿陽621000；2.空氣動力學國家重點實驗室，四川 綿陽621000）

0 引 言

高階精度差分算法同目前成熟的二階精度算法相比，普遍存在收斂速度慢等問題，成為高精度算法推廣應用的瓶頸之一。為了克服這一困難，參照多重網(wǎng)格算法的思想，提出了一種所謂的p－multigrid方法。眾所周知，多重網(wǎng)格方法（multigrid）的實質是為了快速獲得精細網(wǎng)格上的計算結果，在迭代過程中，引入與精細網(wǎng)格存在特定關系的粗網(wǎng)格上的計算過程技術。類似地，p－multigrid方法的實質是為了穩(wěn)定快速地得到高精度算法的計算結果，在迭代過程中，引入低階精度算法的計算過程技術。

p－multigrid方法是由R?nquist等首先提出的。隨后在間斷有限元中得到了廣泛的應用，Maday等［1］分析了p－multigrid方法用于拉普拉斯方程的穩(wěn)定性，Bassi和 Rebay［2］率先將p－multigrid方法用于求解一維的歐拉方程。而Joseph等［3］建立了一套快速低存儲量的p－multigrid方法，并將其用于求解可壓縮歐拉方程。Krzysztof等［4］將p－multigrid方法和單元線光滑器（element line smoother）結合，建立了一個新的算法，并將其用于求解可壓縮的NS方程，結果表明這種方法可以明顯減小計算時間，加快收斂速度。以上這些都是p－multigrid方法在間斷有限元中的應用。最近幾年，Kris Van Den Abeele等［5］將p－multigrid成功用于一維譜體積法（Spectral Volume Method）中，Aleksundar等［6］將其用于RPM（Recursive Projection Method）中，都可以減少計算時間加快收斂。以上這些都證明了p－multigrid方法在加速收斂等方面具有很大的潛力，但從檢索的文獻中還沒有發(fā)現(xiàn)p－multigrid算法用于有限差分中。

由于差分方法和間斷有限元方法的構造思想不同：有限元方法是通過不同精度的基函數(shù)來達到不同的精度，各階導數(shù)是直接計算的，而有限差分方法中，并沒有這樣的基函數(shù)，而各階導數(shù)是由變量分布通過差商得到的。因此，差分方法的p－multigrid方法和間斷有限元方法的p－multigrid方法是不同的。在多重網(wǎng)格法中，使用一種虧損修正法（defect－correction），實現(xiàn)了將二階精度算法結果修正到四階精度。

WCNS－E－5格式為5階精度的非線性耗散緊致顯式格式，是鄧小剛研究員等構造的高精度格式之一［7－8］，具有良好的耗散、色散特性，在 Euler、N－S和RANS方程等一系列的數(shù)值考核試驗中，WCNS格式都表現(xiàn)了良好的性能［9－10］。本文的目標是，基于WCNS－E－5格式和上述虧損修正法的基本思想，通過引入1階精度迎風格式和3階精度非線性加權差分格式，設計了一類p－multigrid方法，通過典型算例，考察了不同方式的p－multigrid方法對計算過程收斂速度的影響。

1 基本理論

1.1 空間離散

考慮標量雙曲型線性方程：

此處，c＞0為常數(shù)。對于網(wǎng)格間距h的均勻網(wǎng)格，式（1）的半離散方程：

式（2）中一階導數(shù)的離散采用3種精度的格式進行離散，一階迎風格式

最優(yōu)3階精度的加權格式

最優(yōu)5階精度的 WCNS－E－5格式其中，權值的定義為：

其中ε＝10－10是為避免分母為零而加的小量。ISk為模板的光滑性度量。

權值設計目標是：在光滑的流動區(qū)，權值應逼近最優(yōu)值，即可以達到格式的最優(yōu)精度；在間斷附近，含有間斷的模板被賦予的權值接近于零，這樣就避免了跨間斷插值，消除了數(shù)值波動。

1.2 P－multigrid

基于上述三種精度格式和p－multigrid方法的思想，類似于多重網(wǎng)格方法（即p－multigrid方法中最高精度格式相對于多重網(wǎng)格方法中的最密的網(wǎng)格），可以構造算法為5階精度的多種迭代循環(huán)方法。圖1給出了典型的3種循環(huán)方法V、W、Saw，圖2和圖3分別給出了組合循環(huán)方法Pre＿V和FMG。圖中圓點表示使用了對應精度的格式。

圖1 在三重精度上的V、W、S循環(huán)Fig.1 V，S ，W－circle based on three different schemes

圖2 在三重精度上的Pre＿V循環(huán)Fig.2 Pre＿V－circle based on three different schemes

圖3 在三重精度上的FMG循環(huán)Fig.3 FMG based on three different schemes

下面基于三階、五階格式的小V循環(huán)的計算過程敘述如下：

1）利用五階格式迭代ν1步，計算得到一個初始解u0；

2）利用三階和五階的加權格式分別計算得到RHS3（u0）和RHS5（u0），計算驅動源項：F＝RHS5（u0）－RHS3（u0）；

3）將u＊0→u＊；

4）利用三階格式計算RHS3（u＊），再利用驅動源項F計算：RHS＊＝F＋RHS3（u＊），并利用這個RHS＊得到一個新的u＊1；

5）重復4），迭代ν2步后得到的結果u＊ν2；

6）將u＊ν2→ui，回到1），完成了一個循環(huán)。

上述過程中，隨著殘差逐漸收斂到零，使得上述過程中ui＝u＊i＝u＊，則使得其中的第四步：RHS＊＝F＋RHS3（u＊）＝RHS5（u＊），最終結果得到的是一個五階精度算法的結果。因此，對于本文給出的p－multigrid方法，計算收斂后的結果是 WCNS－E－5格式的解。

2 算例考察

2.1 一維粘性Burgers方程

這個算例的主要目的是考察圖1中的V循環(huán)，在各個精度上選擇不同的步數(shù)，使用不同初值的計算收斂情況。對于非線性Burgers'方程：

其精確解為：

其中通過下式通過迭代求解：

計算條件：Re＝25，u｜x＝0，u｜x＝1＝－1。

表1給出了圖1中V循環(huán)在各層精度上使用不同步數(shù)的三種循環(huán)，圖4給出了四種不同的初值。圖5為由不同的初值得到的收斂結果，可見它們只與算法精度相關，表2進一步定量地展示了計算結果同算法的關系，所采用的V循環(huán)計算結果同 WCNS－E－5格式的一致，但計算所消耗的CPU時間接近于3階精度格式，比5階精度格式減少約30%，圖6全面展示了算法和初值對收斂速度的影響，p－multigrid方法的收斂速度均比 WCNS－E－5格式的要快，同時，初值對收斂速度存在明顯的影響。

表1 三種不同的V循環(huán)Table 1 Three different V－circles

圖4 四種不同的初值Fig.4 Four different initial values

圖5 精確解和數(shù)值解的比較Fig.5 Comparison of exact solution and numerical solution

表2 Initial＿1的結果比較Table 2 Comparison of different initial＿1's solution

2.2 二維無粘圓柱

采用圖7所示的網(wǎng)格（O型網(wǎng)格：128×33，物面距離0.001，遠場取到20倍直徑），計算條件為M＝0.3的無粘圓柱繞流。

在不可壓假設下，低速無粘圓柱繞流的壁面壓力系數(shù)的理論解為：

其中θ角表示圖7中以其中的粗線為基準，逆時針旋轉的角度，前駐點處θ＝90°。圖8給出了流場的壓力等值線。圖9給出了數(shù)值解和理論解的比較，考慮到可壓縮性效應，兩者一致性良好。

圖6 不同算法不同初值消耗的CPU時間的柱狀圖Fig.6 Bar chart of CPU time of different schemes and different initials

通過無粘圓柱來研究圖1和圖2所示的五種不同循環(huán)的效率以及脈動范圍的大小。由于在無粘圓柱的計算中后駐點壓力收斂速度最慢，可以通過后駐點來觀察圓柱的收斂情況，圖10展示了各種算法給出的后駐點壓力收斂情況，使用p－multigrid的各種循環(huán)和五階格式相比收斂速度更快，脈動范圍更小。圖11給出了壁面壓力最大偏差（瞬時值與5階精度方法的收斂值之差）迭代的演化情況，Pre＿V和FMG方法的收斂速度要明顯的快于V、S、W循環(huán)，主要是由于這兩種循環(huán)，可以看做是在V循環(huán)開始之前，使用三階格式和一階格式計算了一個較好的初場。

同時從圖10、圖11中可以看到在計算的初期pmultigrid方法可以有效地加速收斂，但是隨著流場逐漸收斂，在計算的后期p－multigrid方法加速收斂的效果不再明顯。

2.3 NACA0012翼型

采用圖12中所示的網(wǎng)格（C型網(wǎng)格：121×50，物面距離0.001）。計算條件為M＝0.3，Re＝30.0，攻角α＝0.0°。圖13給出了計算得到的壓力等值線。

從圖14殘差的比較中可知，S循環(huán)、W循環(huán)、V循環(huán)和FMG的收斂速度接近于三階格式的收斂速度，其中S循環(huán)和 W循環(huán)的收斂速度非常接近，F(xiàn)MG和V循環(huán)的收斂速度要稍快于三階格式。

圖15給出了計算過程前600s的V循環(huán)、W循環(huán)和五階格式壁面壓力的平均偏差的變化。兩種pmultigrid方法均明顯加快了收斂速度。

3 結束語

參考DG方法中廣泛使用的p－multigrid方法的基本概念，在結合有限差分法特點的基礎上，基于1階迎風格式、3階加權格式和5階加權緊致格式WCNS－E－5，開展了以加快高精度格式收斂速度的pmultigrid方法研究，給出了三種基本循環(huán)（V、W、S形式）和兩種組合循環(huán)（Pre＿V、FMG形式）。通過典型算法的對比計算，得到以下階段性結論：

（1）p－multigrid方法的各種循環(huán)方式，主要影響收斂歷程，而最終計算結果同最高階算法精度一致；

（2）p－multigrid方法中所采用的1階精度算法收斂最快，5階精度算法收斂最慢，p－multigrid方法的收斂速度整體上接近三階精度的收斂速度，具有一定的收斂加速效果，與5階格式相比，能夠減少30%左右的CPU時間；

（3）p－multigrid方法明顯的加速收斂效果主要體現(xiàn)在計算過程的初期，當計算結果接近收斂解時，p－multigrid方法加速收斂的效果不再明顯。

在下一步研究中，將在優(yōu)化p－multigrid方法循環(huán)過程和融合多重網(wǎng)格技術等方面開展研究工作，提高p－multigrid方法對高精度算法加速收斂的效果。

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