• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    平面第二類曲線積分的一種簡便計(jì)算方法

    2012-11-05 07:35:38李小梅
    關(guān)鍵詞:格林起點(diǎn)導(dǎo)數(shù)

    李小梅

    (浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州310023)

    第二類曲線積分的計(jì)算在微積分學(xué)中是一個(gè)難點(diǎn),其中概念既多又抽象,計(jì)算既繁又難以判斷。如計(jì)算時(shí)須考慮積分曲線為開曲線或者是閉曲線時(shí)的狀態(tài),與積分路徑有關(guān)或無關(guān)時(shí)的性態(tài),被積函數(shù)的偏導(dǎo)是否在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)還是不連續(xù)的條件,曲線是否為正向還是反向時(shí)的確定等[1-3],這些情況在計(jì)算第二類曲線積分都必須進(jìn)行分析。而這些分析恰恰是曲線積分中難以掌握的,特別在研究生入學(xué)考試的命題中,曲線積分的出題率很高,而難度系數(shù)卻又很大,直接導(dǎo)致了較低的解題正確率[4]。本文利用格林公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,推出了平面上第二類曲線積分計(jì)算的一種簡便方法,它無需更多的判斷就可直接進(jìn)行計(jì)算。

    1 準(zhǔn)備知識與命題

    設(shè)曲線L是平面上一條光滑的曲線弧,P(x,y)、Q(x,y)在曲線L上連續(xù)。則有:

    引理1.1(格林公式) 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有

    其中L是D的取正向的邊界曲線。

    引理1.2(曲線積分性質(zhì)) 設(shè)L是有向曲線弧,-L是與L方向相反的有向曲線弧,則

    引理1.3 設(shè)L為平行X 軸的一條線段,A(x0,y1)為起點(diǎn),B(x1,y1)為終點(diǎn),則

    同樣,若L為平行Y 軸的一條線段,A(x0,y0)為起點(diǎn),B(x0,y1)為終點(diǎn),則有:

    證明:略。

    根據(jù)以上引理,本研究推出以下結(jié)論:

    定理1.1 設(shè)開區(qū)域D是一個(gè)單連通域,函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有:

    其中曲線l是起點(diǎn)為A(x0,y0),終點(diǎn)為B(x1,y1)(x0<x1,y0<y1))區(qū)域D 內(nèi)的一條開曲線。

    定理1.2 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,若O(0,0)∈D,且函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上除O(0,0)外具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有:

    其中L是D的取正向的邊界曲線;l是以原點(diǎn)為圓心,半徑為r取逆時(shí)針方向的邊界曲線。

    定理1.3 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,且設(shè)L為封閉正向曲線,函數(shù)P(x,y)或Q(x,y)在曲線L中點(diǎn)B的鄰近無界(或稱其點(diǎn)為P(x,y)或Q(x,y)的一個(gè)奇點(diǎn))。如果對曲線L上除點(diǎn)B外的任意點(diǎn)處函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則當(dāng)積分∮LP(x,y)d x+Q(x,y)d y收斂時(shí),有:

    這次聽眾很少,人們不相信青山。村人天生容易失望,每個(gè)人容易失望。每個(gè)人覺得完了!只有老趙三,他不失望,他說:

    圖1 開曲線構(gòu)成圖Fig.1 For mation diagram of open curve

    2 定理分析與證明

    定理1.1證明 設(shè)開區(qū)域D是一個(gè)單連通域,函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。曲線l的起點(diǎn)為A(x0,y0),終點(diǎn)為B(x1,y1)(A,B為區(qū)域D 內(nèi)兩點(diǎn)且x0<x1,y0<y1),連接AC,CB構(gòu)成封閉曲線L=l-+AC+CB(AC平行x軸,CB平行y軸;且L是D的取正向的邊界曲線,如圖1所示。

    由引理1.1:

    由引理1.2:

    所以根據(jù)引理1.3有:

    特別是當(dāng)x0=x1,y0<y1時(shí):

    圖2 原點(diǎn)在閉曲線內(nèi)Fig.2 Orignial point inside closed curve

    證畢。

    定理1.2證明 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑曲線L圍成,當(dāng)(0,0)∈D時(shí),作位于D內(nèi)圓周l:x2+y2=r2,如圖2所示。

    記D1由L和l所圍成,應(yīng)用格林公式,得

    定理1.3證明 先給出定義:設(shè)L為一條光滑或分段光滑的封閉正向曲線,函數(shù)P(x,y)或Q(x,y)在曲線L中點(diǎn)B的鄰近無界(或稱其點(diǎn)為P(x,y)或Q(x,y)的一個(gè)奇點(diǎn))。如果對曲線L上除點(diǎn)B 外的任意點(diǎn)處函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),取B(b1,b2)點(diǎn)鄰近點(diǎn)B′(b1+ε,b2斂的;如果上述有一個(gè)極限不存在,則稱積分是發(fā)散的。因此,當(dāng)積分∮LP(x,y)d x+Q(x,y)d y收斂時(shí),顯然有

    注:對于積分曲線為封閉曲線時(shí),定理1.2、1.3分別討論了封閉曲線L包含原點(diǎn)和經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0)且函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)僅在O(0,0)處不連續(xù)(此時(shí)曲線積分就是文獻(xiàn)[5]中所定義的無界函數(shù)廣義第二類曲線積分)時(shí)的兩種情況。至于函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在封閉曲線所圍的閉域D上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則按格林公式做。

    3 舉 例

    上面定理是分平面第二類曲線積分為開曲線還是閉曲線兩種類型進(jìn)行討論的。因此,在應(yīng)用上面定理時(shí),首先考察曲線是開曲線還是閉曲線,再分別應(yīng)用上述定理即可(以下例題均假設(shè)滿足定理?xiàng)l件,題中不再說明)。

    分析:按照平常方法計(jì)算有1)參數(shù)法[1],但較難;2)判斷與路徑無關(guān),需考慮添加輔助線[6]。由于此曲線為開曲線,且起點(diǎn)O(0,0),終點(diǎn)B(1,1),其中x0=0<x1=1;y0=0<y1=1,滿足定理1.1的條件,直接用定理即可。

    分析:此積分路徑雖然是兩段曲線相加的,但仍為開曲線。只要找到起點(diǎn)O(0,0),終點(diǎn)B(0,2),且起點(diǎn)的x,y坐標(biāo)分別≤終點(diǎn)的x,y坐標(biāo),可用定理1.1。

    于是,據(jù)定理1.1有:

    分析:此曲線為開曲線。但此積分路徑起點(diǎn)A(a,0),終點(diǎn)O(0,0),起點(diǎn)的x,y坐標(biāo)分別 ≥ 終點(diǎn)的x,y坐標(biāo),不能直接應(yīng)用定理1.1,可先計(jì)算

    圖3 積分路徑圖Fig.3 Diagram of integral route

    解:因?yàn)?/p>

    由定理1.1公式:

    例5:設(shè)在上半平面D={(x,y)|y>0}內(nèi),函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意t>0的都有f(tx,ty)=t-2f(x,y)。證明:對D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,都有(x,y)dx-xf(x,y)dy=0。

    證明:由于函數(shù)f(x,y)在上半平面D={(x,y)|y>0}內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且

    由f(tx,ty)=t-2f(x,y)兩邊對t求導(dǎo)可得:

    解:1)當(dāng)x2+y2≠0時(shí),利用格林公式有

    2)當(dāng)(0,0)∈D 時(shí):利用定理1.2得:

    例7:計(jì)算上題。其中積分路徑為:L1:y=x2,L2:y=1,L3:x=0所圍的閉曲線L。

    分析:此為閉曲線,且積分路徑經(jīng)過原點(diǎn),按定理1.3做。

    解:取曲線L為正向曲線,

    4 結(jié) 語

    綜上所述,利用上述定理計(jì)算平面第二類曲線積分時(shí),無需更多的考察曲線是否與路徑無關(guān),是否取正向、反向,是否需要添加輔助線。也無需更多地考慮積分曲線方程是否復(fù)雜,以免代入后產(chǎn)生的計(jì)算繁瑣。采用此定理時(shí),只需先觀察曲線是開曲線還是閉曲線,然后按照定理的條件、結(jié)論計(jì)算即可。但由于此定理主要是由格林公式推導(dǎo)而來的,故牽涉到將平面第二類曲線積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域上的二重積分的計(jì)算,如果二重積分易計(jì)算,則此方法就更顯示出其優(yōu)越性。

    [1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):下冊[M].6版.北京:高等教育出版社,2007:191-213.

    [2] 吳贛昌.高等數(shù)學(xué)(理工類):下冊[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2007:104-118.

    [3] 李潤菁.探討曲線積分問題的求解方法[J].寧德師專學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010(4):410-413.

    [4] 梁存利.高數(shù)考研中有關(guān)曲線積分問題的求解方法[J].科技資訊,2009(36):156-157.

    [5] 王淑蘭,王洪林.積分路徑上含有孤立奇點(diǎn)的第二類曲線積分[J].河北工程技術(shù)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2002(1):44-48.

    [6] 馮烽.平面第二型曲線積分的解題思路與計(jì)算技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010(2):34-36.

    猜你喜歡
    格林起點(diǎn)導(dǎo)數(shù)
    解導(dǎo)數(shù)題的幾種構(gòu)造妙招
    麻辣老師
    我喜歡小狼格林
    小讀者(2020年4期)2020-06-16 03:34:04
    綠毛怪格林奇
    電影(2018年12期)2018-12-23 02:19:00
    弄清楚“起點(diǎn)”前面有多少
    起點(diǎn)
    我的“新”起點(diǎn)
    關(guān)于導(dǎo)數(shù)解法
    導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中的應(yīng)用
    格林的遺憾
    山東青年(2016年1期)2016-02-28 14:25:24
    天堂中文最新版在线下载| 国产高清不卡午夜福利| 黄色一级大片看看| 国产一区二区三区av在线| 黑人高潮一二区| 国产av国产精品国产| 国产成人aa在线观看| 又黄又爽又刺激的免费视频.| www.av在线官网国产| 超色免费av| 一级a做视频免费观看| 大香蕉97超碰在线| tube8黄色片| 黑丝袜美女国产一区| av福利片在线| 美女福利国产在线| 欧美成人精品欧美一级黄| 欧美激情 高清一区二区三区| 亚洲av欧美aⅴ国产| 中国三级夫妇交换| 亚洲四区av| 精品亚洲成a人片在线观看| 女人久久www免费人成看片| 69精品国产乱码久久久| 国精品久久久久久国模美| 国产亚洲一区二区精品| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 成人手机av| 亚洲精品国产色婷婷电影| 国产黄色视频一区二区在线观看| 免费看不卡的av| 大话2 男鬼变身卡| 国产精品免费大片| 最近的中文字幕免费完整| 男人添女人高潮全过程视频| 全区人妻精品视频| 国产亚洲欧美精品永久| 在线免费观看不下载黄p国产| 美女中出高潮动态图| 日本-黄色视频高清免费观看| 亚洲伊人久久精品综合| 免费日韩欧美在线观看| 国产又爽黄色视频| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 国产精品三级大全| 丰满饥渴人妻一区二区三| 赤兔流量卡办理| 日韩人妻精品一区2区三区| 午夜激情久久久久久久| 下体分泌物呈黄色| 欧美激情 高清一区二区三区| 国产极品天堂在线| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 精品人妻在线不人妻| 边亲边吃奶的免费视频| 国产精品一区二区在线不卡| 国产成人欧美| 国产探花极品一区二区| 搡女人真爽免费视频火全软件| 亚洲精品av麻豆狂野| 国产成人欧美| 国产av码专区亚洲av| 日日撸夜夜添| 婷婷色综合www| 亚洲伊人色综图| 免费av不卡在线播放| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 久久国产亚洲av麻豆专区| 黄色 视频免费看| 99国产精品免费福利视频| 国产一区二区三区av在线| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 美女视频免费永久观看网站| 黄色配什么色好看| 边亲边吃奶的免费视频| 成人手机av| 日韩一区二区三区影片| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 亚洲av在线观看美女高潮| 中国美白少妇内射xxxbb| 大香蕉久久网| 在线天堂最新版资源| 18在线观看网站| 精品国产乱码久久久久久小说| 美女国产视频在线观看| 色哟哟·www| 男女高潮啪啪啪动态图| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 大码成人一级视频| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 中文欧美无线码| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 亚洲美女视频黄频| 午夜久久久在线观看| 天美传媒精品一区二区| 欧美人与性动交α欧美软件 | 精品少妇黑人巨大在线播放| 街头女战士在线观看网站| 青青草视频在线视频观看| 999精品在线视频| 捣出白浆h1v1| 我的女老师完整版在线观看| 51国产日韩欧美| 久久亚洲国产成人精品v| 91aial.com中文字幕在线观看| 最近中文字幕高清免费大全6| 三上悠亚av全集在线观看| 久久国产精品大桥未久av| 日韩三级伦理在线观看| 日本欧美国产在线视频| 99热全是精品| av福利片在线| 一级毛片 在线播放| 国产一区亚洲一区在线观看| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 黄色 视频免费看| 精品亚洲成a人片在线观看| 午夜福利乱码中文字幕| 午夜福利乱码中文字幕| 欧美+日韩+精品| 人成视频在线观看免费观看| 91久久精品国产一区二区三区| 国产伦理片在线播放av一区| 少妇被粗大猛烈的视频| 好男人视频免费观看在线| videos熟女内射| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 国产精品免费大片| 超碰97精品在线观看| 免费大片黄手机在线观看| 少妇人妻 视频| 日韩欧美精品免费久久| 两个人免费观看高清视频| 男女边摸边吃奶| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 亚洲国产成人一精品久久久| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| www.熟女人妻精品国产 | 一级,二级,三级黄色视频| 青青草视频在线视频观看| 内地一区二区视频在线| 在线看a的网站| 国产片内射在线| 成人二区视频| 最近最新中文字幕大全免费视频 | 岛国毛片在线播放| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 亚洲欧美一区二区三区国产| 久久精品人人爽人人爽视色| 欧美国产精品一级二级三级| 久久久久久久国产电影| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 日本爱情动作片www.在线观看| 亚洲av在线观看美女高潮| 国产成人精品无人区| 国国产精品蜜臀av免费| 欧美 日韩 精品 国产| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 中文精品一卡2卡3卡4更新| a级毛色黄片| 亚洲成色77777| 777米奇影视久久| 久久久精品区二区三区| 亚洲av日韩在线播放| 欧美精品av麻豆av| 涩涩av久久男人的天堂| 中文欧美无线码| 精品久久久精品久久久| 国产不卡av网站在线观看| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 一本久久精品| 亚洲成av片中文字幕在线观看 | 男女高潮啪啪啪动态图| 国产亚洲精品第一综合不卡 | 高清毛片免费看| 满18在线观看网站| 黄色毛片三级朝国网站| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 黄片无遮挡物在线观看| 久久国内精品自在自线图片| www.av在线官网国产| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 婷婷色av中文字幕| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 两个人看的免费小视频| 久久狼人影院| 视频区图区小说| 国产片特级美女逼逼视频| 99国产精品免费福利视频| 中国三级夫妇交换| 午夜精品国产一区二区电影| 亚洲av欧美aⅴ国产| 免费观看无遮挡的男女| 久久久欧美国产精品| 久久这里只有精品19| 51国产日韩欧美| videosex国产| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 亚洲熟女精品中文字幕| 免费日韩欧美在线观看| 久久久久久久久久人人人人人人| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 高清毛片免费看| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 美国免费a级毛片| 另类亚洲欧美激情| 国产精品人妻久久久影院| 另类精品久久| 伊人亚洲综合成人网| 高清不卡的av网站| 免费人成在线观看视频色| 日本午夜av视频| 成年人午夜在线观看视频| 成年人免费黄色播放视频| 啦啦啦在线观看免费高清www| 超碰97精品在线观看| 欧美xxⅹ黑人| 午夜福利视频精品| 免费看不卡的av| av片东京热男人的天堂| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 大话2 男鬼变身卡| 日韩欧美精品免费久久| 五月开心婷婷网| 97在线视频观看| 18禁动态无遮挡网站| 国产福利在线免费观看视频| 成人无遮挡网站| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 九色成人免费人妻av| 三上悠亚av全集在线观看| 日韩av不卡免费在线播放| 久久韩国三级中文字幕| 人妻一区二区av| 亚洲精品色激情综合| 国产精品久久久久久精品古装| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 天堂8中文在线网| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 亚洲国产av影院在线观看| 秋霞在线观看毛片| 精品人妻偷拍中文字幕| 久久精品国产综合久久久 | 成人无遮挡网站| 亚洲,欧美,日韩| 大码成人一级视频| 男女午夜视频在线观看 | av在线老鸭窝| 亚洲综合色惰| 国产深夜福利视频在线观看| 五月伊人婷婷丁香| 啦啦啦啦在线视频资源| 亚洲av欧美aⅴ国产| 99九九在线精品视频| 一本一本久久a久久精品综合妖精 国产伦在线观看视频一区 | 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 黄色 视频免费看| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 性色avwww在线观看| av视频免费观看在线观看| 亚洲综合色惰| av线在线观看网站| 两性夫妻黄色片 | 黑丝袜美女国产一区| 国产综合精华液| 欧美97在线视频| 成人国产麻豆网| 麻豆乱淫一区二区| 一级,二级,三级黄色视频| 99久久精品国产国产毛片| 久久鲁丝午夜福利片| 久久ye,这里只有精品| 乱人伦中国视频| 国产福利在线免费观看视频| 久久久久久伊人网av| 我要看黄色一级片免费的| 国产深夜福利视频在线观看| 久久精品国产亚洲av涩爱| 一区二区av电影网| 曰老女人黄片| 国产不卡av网站在线观看| 99精国产麻豆久久婷婷| 免费在线观看黄色视频的| 午夜免费鲁丝| 婷婷色av中文字幕| 蜜桃在线观看..| 精品人妻偷拍中文字幕| 两个人看的免费小视频| 日韩一区二区三区影片| 亚洲人成网站在线观看播放| 久久99一区二区三区| 少妇人妻久久综合中文| 婷婷色综合www| 久久久久久久亚洲中文字幕| 成人免费观看视频高清| 国产一区二区在线观看日韩| 久久久久久久精品精品| 欧美丝袜亚洲另类| 波野结衣二区三区在线| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 久久午夜福利片| 亚洲,欧美,日韩| 伦理电影免费视频| 精品一品国产午夜福利视频| 国产男人的电影天堂91| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 精品一区二区免费观看| 亚洲av在线观看美女高潮| 99香蕉大伊视频| 国产精品一二三区在线看| 日韩人妻精品一区2区三区| 热99国产精品久久久久久7| 国产成人精品在线电影| 久久 成人 亚洲| 高清视频免费观看一区二区| 欧美性感艳星| 亚洲久久久国产精品| 丰满乱子伦码专区| h视频一区二区三区| 精品午夜福利在线看| 十八禁高潮呻吟视频| 中文字幕人妻熟女乱码| 欧美日韩亚洲高清精品| 99热国产这里只有精品6| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 1024视频免费在线观看| 亚洲精品第二区| 国产永久视频网站| 免费黄色在线免费观看| 国产精品国产三级专区第一集| 国产精品99久久99久久久不卡 | 日韩,欧美,国产一区二区三区| 亚洲情色 制服丝袜| 热99久久久久精品小说推荐| 男女高潮啪啪啪动态图| 午夜免费男女啪啪视频观看| 男女国产视频网站| 久久亚洲国产成人精品v| 男女国产视频网站| 国产精品不卡视频一区二区| 黄片播放在线免费| 99国产精品免费福利视频| 黑人欧美特级aaaaaa片| 国产精品不卡视频一区二区| 久久久久人妻精品一区果冻| 久久av网站| 搡老乐熟女国产| 国产av一区二区精品久久| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 男女午夜视频在线观看 | 国产精品国产av在线观看| 国产激情久久老熟女| 成年女人在线观看亚洲视频| 九色成人免费人妻av| 男女无遮挡免费网站观看| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 日韩视频在线欧美| 亚洲精品色激情综合| 精品亚洲成a人片在线观看| 美女国产视频在线观看| 久久久久久久亚洲中文字幕| 一边亲一边摸免费视频| 国产精品国产av在线观看| 国产片内射在线| 热99久久久久精品小说推荐| 免费大片18禁| 大香蕉久久网| 日韩欧美精品免费久久| 天堂中文最新版在线下载| av不卡在线播放| 日本免费在线观看一区| a级毛片黄视频| 精品福利永久在线观看| 最近2019中文字幕mv第一页| 亚洲av中文av极速乱| 99热全是精品| 亚洲熟女精品中文字幕| 内地一区二区视频在线| 成人国产av品久久久| 欧美精品亚洲一区二区| 一级,二级,三级黄色视频| 少妇人妻精品综合一区二区| 成人手机av| 999精品在线视频| 欧美人与性动交α欧美精品济南到 | 最近最新中文字幕免费大全7| 久久久国产欧美日韩av| 一级片'在线观看视频| 日韩视频在线欧美| 亚洲精品国产色婷婷电影| a级片在线免费高清观看视频| 久久久久人妻精品一区果冻| 欧美日本中文国产一区发布| 国产免费一区二区三区四区乱码| 精品熟女少妇av免费看| 欧美日韩av久久| 日韩av在线免费看完整版不卡| 久久人人爽人人片av| 国产极品天堂在线| 国产精品蜜桃在线观看| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 老女人水多毛片| 亚洲成国产人片在线观看| 夜夜爽夜夜爽视频| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 熟女av电影| 看免费av毛片| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 最近最新中文字幕大全免费视频 | 99香蕉大伊视频| 丝瓜视频免费看黄片| 最近最新中文字幕免费大全7| 国产免费又黄又爽又色| 91久久精品国产一区二区三区| 高清视频免费观看一区二区| 毛片一级片免费看久久久久| 天堂中文最新版在线下载| 曰老女人黄片| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 999精品在线视频| 成人国产麻豆网| 在线观看人妻少妇| 国产精品欧美亚洲77777| 熟女av电影| 一区二区三区四区激情视频| 国产av码专区亚洲av| 亚洲精品日本国产第一区| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 国产精品蜜桃在线观看| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 国产片内射在线| 精品少妇黑人巨大在线播放| 精品国产国语对白av| 夫妻性生交免费视频一级片| 热99国产精品久久久久久7| 日韩人妻精品一区2区三区| 久久精品久久久久久久性| 免费在线观看黄色视频的| 乱码一卡2卡4卡精品| 日韩av免费高清视频| 亚洲精华国产精华液的使用体验| av在线播放精品| 99视频精品全部免费 在线| 亚洲国产精品成人久久小说| 黄片无遮挡物在线观看| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 国产精品免费大片| 亚洲,欧美精品.| 亚洲 欧美一区二区三区| 99精国产麻豆久久婷婷| 一级a做视频免费观看| 宅男免费午夜| 91精品伊人久久大香线蕉| 精品熟女少妇av免费看| 欧美成人午夜精品| 亚洲av成人精品一二三区| 老女人水多毛片| 国国产精品蜜臀av免费| 国产欧美亚洲国产| 亚洲精品国产av成人精品| 精品人妻偷拍中文字幕| 如何舔出高潮| 我的女老师完整版在线观看| 另类亚洲欧美激情| 久久韩国三级中文字幕| 成人毛片60女人毛片免费| 99热全是精品| 日本wwww免费看| 18禁动态无遮挡网站| 国产极品天堂在线| a 毛片基地| 永久免费av网站大全| 9191精品国产免费久久| 高清视频免费观看一区二区| 亚洲内射少妇av| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 国产极品粉嫩免费观看在线| 国产精品久久久久久精品古装| 亚洲国产av影院在线观看| 国产淫语在线视频| 久久青草综合色| 免费观看av网站的网址| 国产亚洲一区二区精品| 七月丁香在线播放| 国产又色又爽无遮挡免| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 国产福利在线免费观看视频| 999精品在线视频| 中国三级夫妇交换| 尾随美女入室| 久久午夜福利片| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 成人二区视频| 国产精品人妻久久久影院| 欧美激情 高清一区二区三区| 99久久综合免费| 精品人妻偷拍中文字幕| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 有码 亚洲区| 国产欧美亚洲国产| 亚洲国产色片| 26uuu在线亚洲综合色| 亚洲欧美色中文字幕在线| 黑人欧美特级aaaaaa片| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 亚洲欧洲国产日韩| 两个人免费观看高清视频| 久久 成人 亚洲| 边亲边吃奶的免费视频| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 亚洲av福利一区| 一本一本久久a久久精品综合妖精 国产伦在线观看视频一区 | 亚洲精品国产av成人精品| 丝袜人妻中文字幕| av线在线观看网站| 伦理电影免费视频| 久久久久久久久久人人人人人人| 99热全是精品| 色吧在线观看| 国产毛片在线视频| 咕卡用的链子| 国产极品天堂在线| 老女人水多毛片| 国产精品女同一区二区软件| 日本免费在线观看一区| 超碰97精品在线观看| 亚洲精品色激情综合| 欧美人与善性xxx| 国内精品宾馆在线| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕 | 精品久久久久久电影网| 97超碰精品成人国产| 日韩欧美精品免费久久| 国产黄频视频在线观看| 丁香六月天网| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 国产精品久久久久久久电影| 免费看av在线观看网站| 啦啦啦在线观看免费高清www| 久久鲁丝午夜福利片| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 免费播放大片免费观看视频在线观看| 两个人免费观看高清视频| 日日摸夜夜添夜夜爱| 一级片免费观看大全| av线在线观看网站| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 亚洲人成77777在线视频| 麻豆乱淫一区二区| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 在线精品无人区一区二区三| 99久国产av精品国产电影| 五月伊人婷婷丁香| 午夜免费观看性视频| 美女福利国产在线| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 国产亚洲精品第一综合不卡 | 你懂的网址亚洲精品在线观看| 欧美3d第一页| 大片电影免费在线观看免费| 国产在线免费精品| 欧美xxxx性猛交bbbb| 亚洲av男天堂| 高清视频免费观看一区二区| 国产老妇伦熟女老妇高清| 美女主播在线视频| 考比视频在线观看| 美国免费a级毛片| 波多野结衣一区麻豆| 男人添女人高潮全过程视频| 男男h啪啪无遮挡| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 丝袜喷水一区| xxxhd国产人妻xxx| 欧美精品一区二区大全| 内地一区二区视频在线| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 永久网站在线| 久久人人97超碰香蕉20202| 久久午夜综合久久蜜桃| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 老司机影院毛片| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 精品午夜福利在线看| videosex国产| 久久精品久久久久久久性| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 成人免费观看视频高清| a级毛色黄片| 久久人人爽人人爽人人片va| 免费av不卡在线播放| 久久久精品区二区三区| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 国产淫语在线视频| 日本爱情动作片www.在线观看| a级毛片在线看网站| 免费黄频网站在线观看国产| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 日本黄色日本黄色录像| 国产精品久久久久成人av| 69精品国产乱码久久久| 免费看不卡的av| 国产精品嫩草影院av在线观看| 久久这里只有精品19| 亚洲久久久国产精品| 国产老妇伦熟女老妇高清| 国产 一区精品| 日本91视频免费播放|