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    平面第二類曲線積分的一種簡便計(jì)算方法

    2012-11-05 07:35:38李小梅
    關(guān)鍵詞:格林起點(diǎn)導(dǎo)數(shù)

    李小梅

    (浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州310023)

    第二類曲線積分的計(jì)算在微積分學(xué)中是一個(gè)難點(diǎn),其中概念既多又抽象,計(jì)算既繁又難以判斷。如計(jì)算時(shí)須考慮積分曲線為開曲線或者是閉曲線時(shí)的狀態(tài),與積分路徑有關(guān)或無關(guān)時(shí)的性態(tài),被積函數(shù)的偏導(dǎo)是否在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)還是不連續(xù)的條件,曲線是否為正向還是反向時(shí)的確定等[1-3],這些情況在計(jì)算第二類曲線積分都必須進(jìn)行分析。而這些分析恰恰是曲線積分中難以掌握的,特別在研究生入學(xué)考試的命題中,曲線積分的出題率很高,而難度系數(shù)卻又很大,直接導(dǎo)致了較低的解題正確率[4]。本文利用格林公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,推出了平面上第二類曲線積分計(jì)算的一種簡便方法,它無需更多的判斷就可直接進(jìn)行計(jì)算。

    1 準(zhǔn)備知識與命題

    設(shè)曲線L是平面上一條光滑的曲線弧,P(x,y)、Q(x,y)在曲線L上連續(xù)。則有:

    引理1.1(格林公式) 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有

    其中L是D的取正向的邊界曲線。

    引理1.2(曲線積分性質(zhì)) 設(shè)L是有向曲線弧,-L是與L方向相反的有向曲線弧,則

    引理1.3 設(shè)L為平行X 軸的一條線段,A(x0,y1)為起點(diǎn),B(x1,y1)為終點(diǎn),則

    同樣,若L為平行Y 軸的一條線段,A(x0,y0)為起點(diǎn),B(x0,y1)為終點(diǎn),則有:

    證明:略。

    根據(jù)以上引理,本研究推出以下結(jié)論:

    定理1.1 設(shè)開區(qū)域D是一個(gè)單連通域,函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有:

    其中曲線l是起點(diǎn)為A(x0,y0),終點(diǎn)為B(x1,y1)(x0<x1,y0<y1))區(qū)域D 內(nèi)的一條開曲線。

    定理1.2 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,若O(0,0)∈D,且函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上除O(0,0)外具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有:

    其中L是D的取正向的邊界曲線;l是以原點(diǎn)為圓心,半徑為r取逆時(shí)針方向的邊界曲線。

    定理1.3 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,且設(shè)L為封閉正向曲線,函數(shù)P(x,y)或Q(x,y)在曲線L中點(diǎn)B的鄰近無界(或稱其點(diǎn)為P(x,y)或Q(x,y)的一個(gè)奇點(diǎn))。如果對曲線L上除點(diǎn)B外的任意點(diǎn)處函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則當(dāng)積分∮LP(x,y)d x+Q(x,y)d y收斂時(shí),有:

    這次聽眾很少,人們不相信青山。村人天生容易失望,每個(gè)人容易失望。每個(gè)人覺得完了!只有老趙三,他不失望,他說:

    圖1 開曲線構(gòu)成圖Fig.1 For mation diagram of open curve

    2 定理分析與證明

    定理1.1證明 設(shè)開區(qū)域D是一個(gè)單連通域,函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。曲線l的起點(diǎn)為A(x0,y0),終點(diǎn)為B(x1,y1)(A,B為區(qū)域D 內(nèi)兩點(diǎn)且x0<x1,y0<y1),連接AC,CB構(gòu)成封閉曲線L=l-+AC+CB(AC平行x軸,CB平行y軸;且L是D的取正向的邊界曲線,如圖1所示。

    由引理1.1:

    由引理1.2:

    所以根據(jù)引理1.3有:

    特別是當(dāng)x0=x1,y0<y1時(shí):

    圖2 原點(diǎn)在閉曲線內(nèi)Fig.2 Orignial point inside closed curve

    證畢。

    定理1.2證明 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑曲線L圍成,當(dāng)(0,0)∈D時(shí),作位于D內(nèi)圓周l:x2+y2=r2,如圖2所示。

    記D1由L和l所圍成,應(yīng)用格林公式,得

    定理1.3證明 先給出定義:設(shè)L為一條光滑或分段光滑的封閉正向曲線,函數(shù)P(x,y)或Q(x,y)在曲線L中點(diǎn)B的鄰近無界(或稱其點(diǎn)為P(x,y)或Q(x,y)的一個(gè)奇點(diǎn))。如果對曲線L上除點(diǎn)B 外的任意點(diǎn)處函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在D上均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),取B(b1,b2)點(diǎn)鄰近點(diǎn)B′(b1+ε,b2斂的;如果上述有一個(gè)極限不存在,則稱積分是發(fā)散的。因此,當(dāng)積分∮LP(x,y)d x+Q(x,y)d y收斂時(shí),顯然有

    注:對于積分曲線為封閉曲線時(shí),定理1.2、1.3分別討論了封閉曲線L包含原點(diǎn)和經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0)且函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)僅在O(0,0)處不連續(xù)(此時(shí)曲線積分就是文獻(xiàn)[5]中所定義的無界函數(shù)廣義第二類曲線積分)時(shí)的兩種情況。至于函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在封閉曲線所圍的閉域D上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則按格林公式做。

    3 舉 例

    上面定理是分平面第二類曲線積分為開曲線還是閉曲線兩種類型進(jìn)行討論的。因此,在應(yīng)用上面定理時(shí),首先考察曲線是開曲線還是閉曲線,再分別應(yīng)用上述定理即可(以下例題均假設(shè)滿足定理?xiàng)l件,題中不再說明)。

    分析:按照平常方法計(jì)算有1)參數(shù)法[1],但較難;2)判斷與路徑無關(guān),需考慮添加輔助線[6]。由于此曲線為開曲線,且起點(diǎn)O(0,0),終點(diǎn)B(1,1),其中x0=0<x1=1;y0=0<y1=1,滿足定理1.1的條件,直接用定理即可。

    分析:此積分路徑雖然是兩段曲線相加的,但仍為開曲線。只要找到起點(diǎn)O(0,0),終點(diǎn)B(0,2),且起點(diǎn)的x,y坐標(biāo)分別≤終點(diǎn)的x,y坐標(biāo),可用定理1.1。

    于是,據(jù)定理1.1有:

    分析:此曲線為開曲線。但此積分路徑起點(diǎn)A(a,0),終點(diǎn)O(0,0),起點(diǎn)的x,y坐標(biāo)分別 ≥ 終點(diǎn)的x,y坐標(biāo),不能直接應(yīng)用定理1.1,可先計(jì)算

    圖3 積分路徑圖Fig.3 Diagram of integral route

    解:因?yàn)?/p>

    由定理1.1公式:

    例5:設(shè)在上半平面D={(x,y)|y>0}內(nèi),函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意t>0的都有f(tx,ty)=t-2f(x,y)。證明:對D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,都有(x,y)dx-xf(x,y)dy=0。

    證明:由于函數(shù)f(x,y)在上半平面D={(x,y)|y>0}內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且

    由f(tx,ty)=t-2f(x,y)兩邊對t求導(dǎo)可得:

    解:1)當(dāng)x2+y2≠0時(shí),利用格林公式有

    2)當(dāng)(0,0)∈D 時(shí):利用定理1.2得:

    例7:計(jì)算上題。其中積分路徑為:L1:y=x2,L2:y=1,L3:x=0所圍的閉曲線L。

    分析:此為閉曲線,且積分路徑經(jīng)過原點(diǎn),按定理1.3做。

    解:取曲線L為正向曲線,

    4 結(jié) 語

    綜上所述,利用上述定理計(jì)算平面第二類曲線積分時(shí),無需更多的考察曲線是否與路徑無關(guān),是否取正向、反向,是否需要添加輔助線。也無需更多地考慮積分曲線方程是否復(fù)雜,以免代入后產(chǎn)生的計(jì)算繁瑣。采用此定理時(shí),只需先觀察曲線是開曲線還是閉曲線,然后按照定理的條件、結(jié)論計(jì)算即可。但由于此定理主要是由格林公式推導(dǎo)而來的,故牽涉到將平面第二類曲線積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域上的二重積分的計(jì)算,如果二重積分易計(jì)算,則此方法就更顯示出其優(yōu)越性。

    [1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):下冊[M].6版.北京:高等教育出版社,2007:191-213.

    [2] 吳贛昌.高等數(shù)學(xué)(理工類):下冊[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2007:104-118.

    [3] 李潤菁.探討曲線積分問題的求解方法[J].寧德師專學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010(4):410-413.

    [4] 梁存利.高數(shù)考研中有關(guān)曲線積分問題的求解方法[J].科技資訊,2009(36):156-157.

    [5] 王淑蘭,王洪林.積分路徑上含有孤立奇點(diǎn)的第二類曲線積分[J].河北工程技術(shù)高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2002(1):44-48.

    [6] 馮烽.平面第二型曲線積分的解題思路與計(jì)算技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010(2):34-36.

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