隧道縱向整體抗震分析的近似方法

張斌偉，嚴松宏，楊永東

（1.隴東學院 巖土與建材研究所，甘肅 慶陽 745000；2.蘭州交通大學 土木工程學院，蘭州 730070）

1 引 言

隨著地下工程的不斷發(fā)展和利用，地下結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計問題已經(jīng)成為一個十分重要的課題，越來越受人們的重視。國內(nèi)外學者對地下工程的抗震問題開展了大量的研究，文獻[1－6]對地下結(jié)構(gòu)抗震分析的擬靜力方法進行了詳細地論述，地下工程的抗震分析可分為橫截面抗震分析和縱向整體抗震分析。橫向抗震設(shè)計方法可求得地下結(jié)構(gòu)橫斷面內(nèi)的應(yīng)力與變形，然而，由于地下結(jié)構(gòu)是一種埋設(shè)在地層介質(zhì)中的空間延伸結(jié)構(gòu)，在地震作用下的縱向變形和內(nèi)力以及沿其長度地震響應(yīng)也是不容忽視的。在地下結(jié)構(gòu)的抗震分析中，比較常用的一種經(jīng)典方法是反應(yīng)位移法，該法將地下結(jié)構(gòu)視為放置于彈性地基上的梁，首先計算得到在地震作用下的地基變形，地基變形模式如圖1所示。然后將該變形直接作用于結(jié)構(gòu)上，按彈性地基梁理論求得結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，從而進行結(jié)構(gòu)抗震驗算。它是以研究地基變形為重點，沒有考慮結(jié)構(gòu)與圍巖的相互作用，求得的結(jié)果是偏于保守的。而且，也沒有從理論上說明隧道結(jié)構(gòu)的地震慣性力對其抗震的影響。這對于深埋結(jié)構(gòu)是可以，但對于大型的淺埋結(jié)構(gòu)是不太安全的。鑒于地下工程的復(fù)雜性，從宏觀上研究隧道埋深、地層剪切波速、基巖剪切波輸入方向、上覆地層的特征周期、彈性地基系數(shù)及圍巖彈性模量對隧道襯砌縱向應(yīng)力的影響，對于隧道結(jié)構(gòu)抗震的概念設(shè)計具有重要意義，而且研究圍巖-結(jié)構(gòu)相互作用以及隧道地震慣性力對其抗震分析的影響，對于理清目前隧道抗震界的一些認識具有重要的意義。

圖1 地層變形模式Fig.1 Deformation mode of strata

2 地下結(jié)構(gòu)的當量半徑簡介

許多研究資料表明，地下結(jié)構(gòu)的形狀對周圍應(yīng)力分布有影響，但限于目前彈塑性力學及巖石力學的發(fā)展水平，除圓形、橢圓形等少數(shù)斷面形狀周圍的應(yīng)力分布有理論解析解外，半圓拱形、矩形等許多地下工程常用的斷面形狀周圍的應(yīng)力分布都缺乏精確的理論解析解。這些形狀的地下結(jié)構(gòu)所引起的應(yīng)力重分布，多通過光彈性試驗及計算機數(shù)值模擬方法來研究確定。雖然通過計算機數(shù)值模擬等方法可以準確地獲得地下結(jié)構(gòu)周邊的應(yīng)力分布情況，但在工程中想應(yīng)用這些計算結(jié)果卻往往比較困難。而且，重點凸顯這些形狀特點形狀效應(yīng)多局限在棱角等局部地方，對總體地層空間應(yīng)力場的演變變化規(guī)律影響不大。因此，對非圓形的斷面形狀其他形狀地下結(jié)構(gòu)，采用當量半徑的折算形式，將其折算成標準圓形隧道來分析和計算，不但有利于問題的理論分析，而且易于工程現(xiàn)場實際應(yīng)用。具體的確定方法可參考李世輝[7]的成果。

3 隧道縱向抗震分析模型

將隧道視為置于彈性地基上的結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的分析方法以地基為研究對象，將地基的變形作用于梁上，來反求結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，沒有考慮結(jié)構(gòu)-圍巖的相互作用。這里，仍將隧道視為置于彈性地基上的梁，只不過以隧道結(jié)構(gòu)本身為研究對象，建立結(jié)構(gòu)振動微分方程來求解隧道內(nèi)力及變形。隧道-圍巖體系的地震變形如圖2所示。

為了便于計算，模型做出如下假設(shè)：

（1）土層為水平分層的半無限各向同性均勻線性彈性介質(zhì)；

（2）視隧道為彈性地基梁，即隧道與圍巖之間為彈簧連接；

（3）隧道與圍巖之間存在相互作用，考慮隧道與圍巖之間的相對位移。隧道在地震作用下產(chǎn)生變形，其變形包括軸向變形和橫向變形。下面分別建立隧道軸向和橫向的運動方程。

圖2 隧道-圍巖體系的變形圖Fig.2 Deformation diagram of tunnel and surrounding rock system

4 隧道縱向整體抗震分析

4.1 隧道運動方程的建立

從地震作用產(chǎn)生地層和結(jié)構(gòu)變形的角度來看，隧道作為埋設(shè)于地下的線狀結(jié)構(gòu)，與地下管線的變形具有很大的相似性，故利用文獻[8]研究的基本思想建立隧道運動方程。從地基梁上取出長度為dx的單元作為自由體進行分析，如圖 3所示。已知：E為梁的彈性模量，I為梁截面慣性矩，A為梁截面面積，Kw為地基梁橫向變形系數(shù)，Ka為地基梁軸向變形系數(shù)，v(x,t)為隧道的橫向位移，u(x,t)為隧道的軸向位移；gw(x,t)為地基土的橫向位移，ga(x,t)為地基土的軸向位移。建立梁單元橫向動平衡方程得：

圖3 隧道單元受力圖Fig.3 Force diagram of tunnel unit

根據(jù)材料力學及隧道彎曲剛度EI不隨 x變化的假定，最后得地震波作用下隧道二維運動方程為

如果不考慮隧道的地震慣性力，則上述動平衡方程可寫成如下公式：

考慮到隧道沿縱向存在施工縫，對剛度EI采用折減，可取理論剛度的 2/3。對于式（2）、（3）的處理目前有兩種思路：

（1）直接解這兩個常微分方程，為了數(shù)學上的方便，通常還進行了一定的簡化[9]。

（2）利用隧道與圍巖的相互作用原理，許多實踐證明，考慮到在地震波作用下地基振動的波形與隧道振動的波形很相似的特點，引入了變形傳遞系數(shù)的概念，使上述方程的求解成為可能。

4.2 變形傳遞系數(shù)的求解

為了便于從宏觀上研究隧道埋深、地層剪切波速、基巖剪切波輸入方向、上覆地層特征周期、彈性地基系數(shù)及圍巖彈性模量對襯砌縱向應(yīng)力的影響，對于地震波作如下假定：不考慮地震波的隨機性、時頻特性及在土層中的反射和散射，將地震波看成是單一頻率的簡諧波。這種假設(shè)與實際的隨機地震波相差較大，但由于對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著影響的是幾個主要頻率的波，其他頻率影響不大。而且從本文研究的內(nèi)容和目的來看也是可行的。如果要定量研究地震波產(chǎn)生的內(nèi)力，就必須考慮地震波的隨機性、時頻特性等。基于以上假定，地震波動形狀函數(shù)可寫為

式中：ω為地震波的圓頻率（Hz）；λ為地震波長（m）；D 為地基土的變位振幅（m）；假定地震波為S波，入射方向與隧道的軸線成φ角，剪切波的位移使地基土產(chǎn)生橫向位移和軸向位移分別為

利用隧道與圍巖的相互作用原理，引入了橫向變形傳遞系數(shù)wξ和軸向變形傳遞系數(shù)aξ，則隧道橫向和軸向振動時的位移可表示為

將式（6）代入式（2），并利用式（5），可得考慮隧道地震慣性力的位移傳遞系數(shù)ξw和ξa為

當不考慮隧道結(jié)構(gòu)自重時，可直接取β=0即可。

4.3 隧道縱向地震應(yīng)力的求取

利用前面推導(dǎo)的隧道位移u(x′,t)和v(x′,t)，可得隧道的軸向應(yīng)變?yōu)?/p>

令λ=vsT ，vs為剪切波速（m/s），T為場地的固有振動周期（s）；假定基巖固定，基巖上覆層的厚度為 H，距離地表面任意深度z處的土層振動振幅D(z)可近似表示為[10]

式中：Sv為土層的速度反應(yīng)譜。則隧道平面處的地層振幅可近似表示為

以上是基于圍巖-隧道結(jié)構(gòu)相互作用，考慮隧道地震慣性力影響。當不考慮隧道自重慣性力時，可直接取 α(K)=0即可。若不計圍巖-結(jié)構(gòu)的相互作用，可取ξw=1，ξa=1，則最后可得隧道應(yīng)力的計算公式為

最后考慮到地震作用的隨機性和作用方向的不確定性，則此時隧道結(jié)構(gòu)的縱向應(yīng)力組合為

5 各項計算參數(shù)的確定

5.1 地層的簡化[11]

地震時地層的實際變形十分復(fù)雜，為簡化計算可以將多層地層換算為單一地層。換算后單一地層的力學物理參數(shù)如下：單位體積重度 γ=∑γihi/H，動泊松比 μd=0.45，剪切波速 vs=H/∑ (hi/vsi)，動剪切模量 Gd=，動彈性模量 Ed=2(1-μd)?Gd。

5.2 場地固有周期T[11]

場地固有周期一般根據(jù)建設(shè)地點的剪切波速計算。由多層土構(gòu)成的場地固有周期特征值TG=4 ∑ hi/vsi，但由于地震發(fā)生時的地層應(yīng)變大于勘測時的地層應(yīng)變，考慮應(yīng)變水平，取 T=1.25TG，也可以通過場地平面有限元分析求固有周期T。

5.3 彈性剪切波速vs的確定[12]

剪切波的行進速度，應(yīng)由勘察報告提供，但應(yīng)考慮到實測條件與強震時不同，應(yīng)按勘察報告提供實測數(shù)值的2/3采用。

5.4 震動基準面的速度反應(yīng)譜Sv

震動基準面的速度反應(yīng)譜滿足

式中：KH為設(shè)計水平地震系數(shù)（未考慮埋深和場地修正）；Sv1為單位地震系數(shù)的速度反應(yīng)譜（m/s），根據(jù)場地固有周期，由圖4可查得。

圖4 單位水平地震系數(shù)的速度反應(yīng)譜[11]Fig.4 Velocity response spectrum of unit horizontal seismic coefficient[11]

5.5 彈性地基系數(shù)Ka和Kw[12]

彈性阻抗系數(shù)亦可稱為“地基反力系數(shù)”。此項系數(shù)的確定比較復(fù)雜，不僅與結(jié)構(gòu)外緣的做法、場地土質(zhì)相關(guān)，還與隧道結(jié)構(gòu)的施工方法密切相關(guān)。關(guān)于Ka和Kw值的確定，日本《化工設(shè)備抗震準則》[6]提供了更為簡化的方法，認為

式中：Gs為地基土的剪切模量。

6 算例分析

某山嶺隧道，地層比較單一，其地層參數(shù)見表1，圍巖參數(shù)見表2，隧道支護參數(shù)見表3?？紤]以下參數(shù)發(fā)生變化時的隧道縱向應(yīng)力的變化，研究影響隧道縱向抗震的因素。

表1 地層參數(shù)Table1 Parameters of stratum

表2 圍巖參數(shù)Table2 Parameters of rock mass

表3 隧道參數(shù)Table3 Parameters of tunnel

(a) 結(jié)構(gòu)-圍巖相互作用對襯砌縱向應(yīng)力的影響；(b)考慮隧道埋深及自重慣性力對襯砌縱向應(yīng)力的影響；(c)上覆地層的特征周期對襯砌縱向應(yīng)力影響；(d) 彈性地基剛度系數(shù)為 Ka=Kw=βG，β改變時對襯砌縱向應(yīng)力的影響；(e) 圍巖彈性模量變化時對襯砌應(yīng)力的影響。

6.1 結(jié)構(gòu)-圍巖相互作用對襯砌縱向應(yīng)力的影響

圍巖-結(jié)構(gòu)相互作用對襯砌縱向應(yīng)力的影響，如圖5所示。由圖可知，當隧道埋深一定時，總體上看，考慮相互作用得到的襯砌縱向應(yīng)力要小于不考慮相互作用的情況；剪切波速越小，兩者相差越大，隨著剪切波速（圍巖強度）的增大，兩者差別越小，說明圍巖強度越弱，相互作用對結(jié)構(gòu)的影響越大，對于處于軟弱圍巖中的隧道工程十分重要。

另外可知，考慮圍巖-結(jié)構(gòu)相互作用，當剪切波速較小時，隧道以彎曲變形為主，當剪切波速較大時，隧道以軸向變形為主，并且隨著剪切波速的增大，縱向應(yīng)力減小。當不考慮相互作用時，彎曲應(yīng)力總體上小于軸向應(yīng)力，而且隨著剪切波速的增大，襯砌縱向應(yīng)力也是逐漸減小。

圖5 圍巖-結(jié)構(gòu)相互作用對襯砌應(yīng)力的影響Fig.5 Effects on lining stress due to interaction between rock and structure

6.2 隧道埋深和自重慣性力對襯砌縱向應(yīng)力的影響

由于地層卓越周期與地層厚度及場地的硬度（平均剪切波速）密切相關(guān)，為了考慮隧道結(jié)構(gòu)自重慣性力對其縱向抗震性能的影響，考慮以下兩種情況。

（1）假定隧道地層埋深變化，進而卓越周期也變化，但場地的硬度不變（平均剪切波速不變），主要考慮的是隧道埋深對自重慣性力的影響，計算結(jié)果見表4。

表4 隧道自重慣性力對縱向應(yīng)力的影響（考慮埋深的變化）Table4 The influence of inertial force of tunnel on longitudinal stress（considering the depth changes）

由表4可知，當隧道埋深較淺時，自重慣性力對隧道縱向總應(yīng)力的影響比深埋隧道要大，也就是說，對于淺埋隧道自重慣性力的影響比較大。但從計算結(jié)果總體來看，自重慣性力是完全可以忽略的，這就是目前地下工程抗震計算不考慮結(jié)構(gòu)自重慣性力的原因。這個結(jié)論的前提是圍巖-結(jié)構(gòu)完全滿足變形協(xié)調(diào)的相互作用。但在山嶺隧道的建設(shè)中，由于目前的新奧法施工方法，在洞頂勢必要有一定的松散區(qū)，這部分巖體在地震作用下會產(chǎn)生較大的豎向松散巖體慣性力，這個慣性力對淺埋結(jié)構(gòu)影響較大，這個結(jié)論在文獻[13]中已經(jīng)得到驗證，因此，對于超淺埋隧道考慮結(jié)構(gòu)的自重慣性力是必要的，但隨著埋深的增大，結(jié)構(gòu)自重慣性力的影響就可以完全忽略不計。

（2）假定隧道地層及地面均為水平，即隧道地層埋深不變，地層固有周期不變（實際上是變化的），研究場地軟硬程度與結(jié)構(gòu)自重慣性力的關(guān)系，計算結(jié)果見表 5。由表可知，隨著隧道地層硬度的增大（剪切波速增大），隧道結(jié)構(gòu)自重慣性力對縱向總應(yīng)力的影響顯著減小，也就是說，自重慣性力對軟弱地層中的隧道的影響要大于在堅硬地層中的隧道結(jié)構(gòu)。一般來講，對同一個地層來說，地層的硬度與離地表的距離成正相關(guān)，從這點來看，得到與表 4一致的結(jié)論。

由圖6可知，隧道彎曲和軸向應(yīng)力隨埋深的增大均減小，地層變形隨距離地表深度的增大也逐漸變小，彎曲應(yīng)力和軸向應(yīng)力對入射角的變化很敏感，隨著入射角的增大，結(jié)構(gòu)由彎曲型逐漸變化為拉壓型。同時，對于隧道等橫截面較大的地下線狀結(jié)構(gòu)，其彎曲應(yīng)力占有較大比重，不可忽視，這一點與地下管線不同，地下管線由于截面小，彎曲應(yīng)力可以忽略而只考慮軸向拉壓應(yīng)力。

表5 隧道自重慣性力對縱向應(yīng)力的影響(考慮剪切波速的變化)Table5 The influence of inertial force of tunnel on longitudinal stress (considering the variation of shear wave velocity)

圖6 隧道埋深與襯砌縱向應(yīng)力的關(guān)系Fig.6 Relationships between tunnel depth and longitudinal stress of lining

6.3 上覆地層特征周期及彈性地基剛度系數(shù)對隧道縱向應(yīng)力的影響

由圖7可知，地層水平和豎向變形隨地層特征周期的增大而增大，襯砌彎曲應(yīng)力隨地層特征周期的增大而減小，軸向應(yīng)力隨地層特征周地期的增大而增大；對于地層特征周期和剪切波速小的場地，隧道以彎曲變形為主，相反，隧道以軸向變形為主；這一規(guī)律與隧道的埋深無關(guān)。襯砌縱向應(yīng)力與彈性地基剛度系數(shù)有關(guān)，彎曲和軸向應(yīng)力均隨地基系數(shù)的增大而增大，軸向應(yīng)力隨地基系數(shù)的變化是敏感的，彎曲應(yīng)力隨地基系數(shù)的變化不敏感，當?shù)鼗禂?shù)取為3時，縱向應(yīng)力的增幅趨于平緩，故可以認為，在進行隧道的縱向地震分析時，取 Ka=Kw=3Gs，理論上是可行的。

6.4 圍巖彈性模量對隧道縱向應(yīng)力的影響

由圖8可知，襯砌軸向和彎曲應(yīng)力隨圍巖彈性模量的增大而增大，但當彈性模量增大到一定程度后，襯砌應(yīng)力增長緩慢；彎曲和軸向應(yīng)力的分界入射角隨彈性模量的增大而減小，縱向總應(yīng)力取最大值的入射角隨圍巖彈性模量的增大而減小，即當圍巖的彈性模量較大時，較小的地震入射角就可能在襯砌中產(chǎn)生最大的縱向應(yīng)力。同時，隨入射角的增大，隧道從彎曲型變形逐漸改變?yōu)槔瓑盒妥冃?，當剪切波與基巖面法線夾角為 0°時，軸向應(yīng)力最小，以彎曲變形為主；隨著入射角的增大，軸向應(yīng)力也逐漸增大，當入射角度為 90°時，此時剪切波沿著基巖面水平傳播，對隧道的影響可以忽略不計。

圖7 地層特征周期和彈性地基系數(shù)對襯砌縱向應(yīng)力的影響Fig.7 Effects of characteristic period and elastic foundation coefficient on longitudinal stress of lining

圖8 圍巖彈性模量對襯砌縱向彎曲和軸向應(yīng)力的影響Fig.8 Effects of rock mass elastic modulus on longitudinal stress and axial stress of lining

7 結(jié) 論

（1）筆者根據(jù)文獻[8－10]的基本思想，以彈性地基梁為模型，考慮隧道結(jié)構(gòu)-圍巖相互作用，建立隧道動平衡微分方程，分析隧道埋深、地層剪切波速、基巖剪切波輸入方向、上覆地層的特征周期、彈性地基系數(shù)及圍巖彈性模量對襯砌縱向應(yīng)力的影響，綜合比較了這些因素對隧道應(yīng)力和變形的影響。

（2）圍巖-結(jié)構(gòu)相互作用對隧道抗震分析具有重要的影響，考慮相互作用得到的襯砌應(yīng)力要小于不考慮相互作用的結(jié)果，圍巖強度越弱，相互作用對隧道的影響越大，這對處于軟弱圍巖中的隧道工程具有重要的意義。同時，從圍巖-結(jié)構(gòu)相互作用出發(fā)，結(jié)構(gòu)自重慣性力對隧道抗震分析影響很小，尤其是隨著埋深的增大，這種影響可以忽略不計，但由于目前山嶺隧道施工技術(shù)的局限，隧道洞頂勢必要形成松散區(qū)，而且超挖回填質(zhì)量不能保證，使得相互作用效果不好，這部分巖體在地震作用下，會產(chǎn)生較大的豎向慣性力，因此，對于超淺埋隧道考慮慣性力是必要的。

（3）本文實質(zhì)上是提出了隧道縱向應(yīng)力的工程實用算法，適用于土層水平分層均勻的工程場地。該方法模型建立合理、推導(dǎo)過程嚴謹、理論上正確可行，對宏觀上研究隧道在地震作用下的縱向反應(yīng)具有積極的意義，對隧道整體抗震的概念分析具有一定的參考價值和指導(dǎo)意義。

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