循環(huán)荷載作用下考慮顆粒破碎的堆石體本構(gòu)模型

劉恩龍，陳生水，李國(guó)英，米占寬，韓華強(qiáng)

（1.四川大學(xué) 水利水電學(xué)院，成都 610065；2.南京水利科學(xué)研究院，南京 210029）

1 引 言

循環(huán)荷載作用時(shí)顆粒破碎對(duì)粗粒土的強(qiáng)度和變形特性有重要影響[1－3]。應(yīng)力水平高時(shí)，顆粒不僅發(fā)生滑移、轉(zhuǎn)動(dòng)，還發(fā)生嚴(yán)重的顆粒破碎[4]，如何考慮循環(huán)荷載作用時(shí)顆粒破碎對(duì)堆石體的動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變特性的影響是當(dāng)前巖土工程急需解決的問題，以便為高土石壩的抗震設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)[5]。

最近，已經(jīng)建立了一些本構(gòu)模型來考慮循環(huán)荷載作用時(shí)粗粒土的動(dòng)應(yīng)力、應(yīng)變特性。所采用的方法主要是基于彈塑性理論[6－7]、邊界面理論[8－13]和次塑性模型[14]等。與砂土相比，堆石體在較低的應(yīng)力水平下就會(huì)發(fā)生嚴(yán)重的顆粒破碎，原因是砂土的粒徑遠(yuǎn)小于堆石體的粒徑，故砂土需要很高的應(yīng)力作用才會(huì)發(fā)生顆粒破碎。對(duì)于200～300 m高的堆石壩，堆石體在受到正常運(yùn)營(yíng)情況下的應(yīng)力水平作用時(shí)所產(chǎn)生的顆粒破碎會(huì)對(duì)其應(yīng)力、應(yīng)變特性產(chǎn)生重要影響。地震等循環(huán)荷載作用時(shí)處于高應(yīng)力水平的堆石體的動(dòng)力響應(yīng)與砂土的也有很大不同[1]。建立的一些砂土的動(dòng)本構(gòu)模型，不能很好地模擬高壩中堆石體的動(dòng)應(yīng)力、應(yīng)變特性，故有必要建立適用于堆石體的考慮顆粒破碎的動(dòng)本構(gòu)模型，以便于進(jìn)行高土石壩的抗震分析。

基于堆石體顆粒破碎時(shí)臨界狀態(tài)性狀的試驗(yàn)結(jié)果分析，筆者提出了顆粒破碎時(shí)臨界狀態(tài)線的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并建立了堆石體的靜載作用下的本構(gòu)模型[15]。引入卸載、再加載模量和卸載模量，把已建立的靜彈塑性本構(gòu)模型推廣到考慮循環(huán)荷載作用，并與堆石體的動(dòng)三軸試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證堆石體的動(dòng)本構(gòu)模型的正確性。

2 本構(gòu)方程

2.1 臨界狀態(tài)

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)[15]，對(duì)于堆石體，不同的排水條件和固結(jié)應(yīng)力作用下，試樣最終都達(dá)到臨界狀態(tài)，且在q-p′平面（q為廣義剪應(yīng)力，p′為平均有效應(yīng)力）和e-lgp′平面臨界狀態(tài)線均為非線性變化。堆石體的臨界狀態(tài)線在e-lnp′面上的表達(dá)式為

圖1 實(shí)測(cè)堆石體的臨界孔隙比[15]Fig.1 Tested critical void ratio of rockfill materials[15]

由此可見，隨著應(yīng)力水平的增加，堆石體逐漸發(fā)生顆粒破碎，達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)的臨界狀態(tài)線在e-lg p′平面中是一逐漸偏離初始顆粒不破碎時(shí)呈直線的臨界狀態(tài)線的曲線。對(duì)于堆石體來說，顆粒的破碎使得其臨界狀態(tài)時(shí)的粒徑級(jí)配與初始級(jí)配相比發(fā)生了很大變化。由此，定義同樣級(jí)配的試樣是同一種材料，那么初始試樣在加荷的過程中由于顆粒的破碎（即級(jí)配在變化）從一種級(jí)配材料逐漸變化成為了另外一種級(jí)配不同的材料。級(jí)配不同的試樣都相應(yīng)的對(duì)應(yīng)某一臨界狀態(tài)，所以破碎程度不同的試樣達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的臨界狀態(tài)就不相同。由圖1的試驗(yàn)結(jié)果知，顆粒破碎輕微時(shí)臨界狀態(tài)線幾乎與等向壓縮線的初始段平行（因?yàn)榈认驂嚎s時(shí)應(yīng)力水平較低，其顆粒破碎輕微，所以認(rèn)為，等向固結(jié)線在e-lg p′平面中的斜率為常數(shù)），如果以顆粒不破碎時(shí)的臨界狀態(tài)線為基準(zhǔn)（圖1中的直線），那么找出其與顆粒破碎時(shí)的臨界狀態(tài)線的孔隙比的差值，就可以把顆粒破碎時(shí)在e-lg p′平面中呈曲線的臨界狀態(tài)線描述出來，式（1）可以描述堆石體顆粒破碎時(shí)在e-ln p′面上的臨界狀態(tài)線的變化。

2.2 狀態(tài)參數(shù)

狀態(tài)參數(shù)[12]ψ的定義如下

式中：e為當(dāng)前的孔隙比。把式（2）代入式（1），得到

可見，通過狀態(tài)參數(shù)的引入，把當(dāng)前的狀態(tài)與臨界狀態(tài)聯(lián)系起來了。

2.3 本構(gòu)方程

根據(jù)廣義塑性理論，應(yīng)力增量{dσ′}和應(yīng)變?cè)隽縥5i0abt0bε的關(guān)系為

式中：[D]ep為彈塑性剛度矩陣，可以表示為

式中：[D]e為彈性剛度矩陣；{ngL/U}為塑性流動(dòng)方向矢量；{n}為加載方向矢量；HL/U為塑性模量。下標(biāo)L和U分別表示加載和卸載。

2.3.1 彈性特性

彈性特性由體變模量Kev和剪切模量Gev確定，對(duì)于堆石體，它們分別表示如下：

式中：pa為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（pa=101 kPa）；K0和G0材料常數(shù)。

2.3.2 剪脹

根據(jù)Li等[13]研究成果，此處對(duì)于堆石體采用如下的剪脹表達(dá)式：

式中：dg為剪脹比；Mg為q-p′面上臨界狀態(tài)線的斜率（盡管堆石體在q-p′面上呈非線性變化[15]，但考慮到把斜率取為常值變化不大，故此處取線性擬合的值）；η=q/p′為應(yīng)力比；α和mg為常數(shù)。ψ=0和η=Md體變?yōu)?滿足臨界狀態(tài)條件。對(duì)于初始較密的堆石體（ψ＜0），當(dāng)η=Mgexp(mgψ′)達(dá)到相轉(zhuǎn)換狀態(tài)，其中ψ′為相轉(zhuǎn)換狀態(tài)上的ψ值。對(duì)于初始較松的堆石體（ψ＞0），當(dāng) Md＞Mg則相轉(zhuǎn)換狀態(tài)永遠(yuǎn)達(dá)不到。

2.3.3 塑性流動(dòng)

塑性流動(dòng)方向{ng}表示為

此處采用非相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，則加載方向{n}表示為

式中：Mf為常數(shù)。

2.3.4 塑性加載模量

此處對(duì)Ling等[12]對(duì)砂土的研究成果進(jìn)行修正，得到堆石體在單調(diào)加載時(shí)的塑性加載模量如下：

式中：H0和m為常數(shù)；pc為固結(jié)完成時(shí)的平均有效應(yīng)力，對(duì)于常規(guī)三軸試驗(yàn)即為固結(jié)完成時(shí)的平均應(yīng)力。

從式（13）可以看出，塑性加載模量 HL的值取決于當(dāng)前的應(yīng)變力比η和臨界狀態(tài)線的斜率Mg的差值。當(dāng)Mg＞η，H ＞0，硬化；Mg＜η，H ＜0，軟化；Mg=η，H=0，峰值或破壞。

2.3.5 循環(huán)荷載作用時(shí)的塑性模量

（1）再加載模量

堆石體在排水條件下的試驗(yàn)結(jié)果表明，在卸荷時(shí)第1個(gè)循環(huán)內(nèi)模量會(huì)減小很多，所以用弱化因數(shù)rβ來考慮這一影響。此外，排水條件下堆石體在循環(huán)荷載作用時(shí)會(huì)變得密實(shí)，此處用密實(shí)因數(shù)Hden來考慮這一影響。再加載模量表示為

式中：c1和c2為常數(shù)；εv0為總的體積應(yīng)變。相應(yīng)的，Mb修改為下式

式中：β為正的參數(shù)；ζ為累積塑性剪應(yīng)變；mb為常數(shù)。

（2）卸載模量

卸荷時(shí)產(chǎn)生塑性應(yīng)變，體積是收縮的。因此，卸荷時(shí)的流動(dòng)方向矢量表示為

式中：abs表示求絕對(duì)值。

3 參數(shù)確定

以上提出的堆石體在循環(huán)加載下的本構(gòu)模型具有18個(gè)模型參數(shù)，分為5組，分別是：與臨界狀態(tài)有關(guān)的參數(shù)eλ、λ、pci和ξ；彈性常數(shù)K0和G0；與剪脹有關(guān)的常數(shù)Mg、α和mg；與塑性流動(dòng)有關(guān)的參數(shù)Mf；與塑性加載模量有關(guān)的參數(shù)H0和m；與再加載模量有關(guān)的常數(shù)c1、c2、β和mb；與卸載模量有關(guān)的常數(shù)HU0和mU。這些參數(shù)的具體確定方法如下。

3.1 臨界狀態(tài)參數(shù)

3.2 彈性常數(shù)

彈性常數(shù)K0可以從等向壓縮試驗(yàn)得到；G0可以從應(yīng)力-應(yīng)變曲線得到，或者采用室內(nèi)或室外的彈性波速試驗(yàn)測(cè)定。它們定義了堆石體的彈性行為。

3.3 剪脹參數(shù)

Mg為三軸試驗(yàn)q-p′面上臨界狀態(tài)線的斜率，由于堆石體在q-p′面上呈非線性變化，可以進(jìn)行線性擬合得到。

mg可以通過在相轉(zhuǎn)換狀態(tài)時(shí)的排水或不排水試驗(yàn)確定，此時(shí)dg等于0，所以有下式：

式中：ηt和ψt為相轉(zhuǎn)化狀態(tài)時(shí)的η和ψ值。

3.4 塑性流動(dòng)參數(shù)

Mf可以通過對(duì)不排水試驗(yàn)的應(yīng)力路徑（p′-q）或排水試驗(yàn)的體應(yīng)變?chǔ)舦與軸向應(yīng)變?chǔ)?關(guān)系曲線的擬合確定。

3.5 塑性加載模量參數(shù)

H0和m可以通過對(duì)不排水試驗(yàn)的應(yīng)力路徑（p′-q）或排水試驗(yàn)的體應(yīng)變?chǔ)舦與軸向應(yīng)變?chǔ)?關(guān)系曲線的擬合確定。

3.6 再加載模量參數(shù)

c1、c2、β和mb都是無量綱的常數(shù)，其中c1通過第1次再加載時(shí)的初始斜率確定或循環(huán)試驗(yàn)中的幾次循環(huán)確定；c2通過排水時(shí)循環(huán)試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線形成的滯洄曲線確定；β通過循環(huán)試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線形成的滯洄曲線確定；mb通過循環(huán)試驗(yàn)的幾次循環(huán)確定。

3.7 卸載模量參數(shù)

HU0和mU都是無量綱的常數(shù)，其中HU0可以通過第 1次卸載時(shí)的初始斜率確定；mU可以通過第1次卸載時(shí)的初始斜率確定或循環(huán)試驗(yàn)中的幾次循環(huán)確定。

4 模型驗(yàn)證

采用提出的堆石體的動(dòng)本構(gòu)模型，對(duì)固結(jié)完成圍壓分別為400、800、1500、2200 kPa的循環(huán)荷載作用的堆石體的動(dòng)三軸試驗(yàn)（試樣尺寸為φ300 mm×750 mm，施加的軸向應(yīng)力幅值為相應(yīng)圍壓的 0.3倍）結(jié)果進(jìn)行計(jì)算模擬，由試驗(yàn)得到的計(jì)算參數(shù)為：eλ=0.72、λ=0.027、ξ=0.12 和=1061.78 kPa；K0=5770.357 和G0=4228.787；Mg=1.293、α=0.45和mg=-0.2994；Mf=1.450；H0=11111 和m=-1.05；c1=-1.9、c2=18.5、β=28.5和mb=0.76；HU0=7.5×106和mU=4.2。圖2～5為試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果的對(duì)比。

計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比表明，采用本文建議的動(dòng)本構(gòu)模型可以模擬堆石體在循環(huán)荷載作用下的主要變形特征[1]，包括動(dòng)殘余變形、應(yīng)力循環(huán)過程中的變形特性、高應(yīng)力水平時(shí)顆粒破碎引起的體縮。循環(huán)荷載作用下（應(yīng)力幅值為圍壓的0.3倍），圍壓低時(shí)殘余體變和剪應(yīng)變較小，而圍壓高時(shí)殘余體變和剪應(yīng)變較大。在一應(yīng)力循環(huán)中，圍壓高時(shí)應(yīng)力引起的應(yīng)變變化范圍較大，而圍壓低時(shí)應(yīng)力引起的應(yīng)變變化范圍較小，表明圍壓高時(shí)顆粒破碎導(dǎo)致的殘余體變較大。但由于堆石體在循環(huán)荷載作用下力學(xué)性質(zhì)的復(fù)雜性，還需要開展更深入的研究來描述顆粒破碎下其動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

圖2 計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比（σc=400 kPa）Fig.2 Comparisons between calculated and tested results（σc=400 kPa）

圖3 計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比（σc=800 kPa）Fig.3 Comparisons between calculated and tested results（σc=800 kPa）

圖4 計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比（σc=1500 kPa）Fig.4 Comparisons between calculated and tested results（σc=1500 kPa）

圖5 計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比（σc=2200 kPa）Fig.5 Comparisons between calculated and tested results（σc=2200 kPa）

5 結(jié) 論

（1）基于堆石體在循環(huán)荷載作用下的動(dòng)應(yīng)力應(yīng)變特點(diǎn)和堆石體在q-p′平面和e-lg p′平面上臨界狀態(tài)線均為非線性變化，通過引入狀態(tài)參數(shù)，提出了一個(gè)考慮顆粒破碎的堆石體的動(dòng)本構(gòu)模型。

（2）通過與堆石體的動(dòng)三軸試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比表明，所建議的動(dòng)本構(gòu)模型可以模擬堆石體在循環(huán)荷載作用下的動(dòng)殘余變形、應(yīng)力循環(huán)過程中的變形特性和高應(yīng)力水平時(shí)顆粒破碎引起的體縮等主要變形特性。

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