輪控過驅(qū)動(dòng)剛體航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)與約束控制分配

霍　星,　張愛華,　秦玉平

(渤海大學(xué) 工學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

?

輪控過驅(qū)動(dòng)剛體航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)與約束控制分配

霍星,張愛華,秦玉平

(渤海大學(xué) 工學(xué)院, 遼寧 錦州 121013)

針對(duì)過驅(qū)動(dòng)航天器系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量未知與姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制的問題，考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，設(shè)計(jì)了反步法的魯棒自適應(yīng)控制器。利用Lyapunov方法分析其系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提出基于約束最優(yōu)二次規(guī)劃的算法，實(shí)現(xiàn)期望指令到冗余飛輪的指令分配，引入一個(gè)松弛變量擴(kuò)展優(yōu)化解集，證明了分配后控制力矩的平穩(wěn)性和能量的最優(yōu)性。采用Simulink軟件對(duì)某型輪控剛體航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)進(jìn)行了仿真研究。結(jié)果表明，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)快速和高精度控制過驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)。

航天器; 反作用飛輪; 自適應(yīng)反步法; 約束控制分配

0　引　言

過驅(qū)動(dòng)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)在外部干擾及不確定情況下的可靠性、穩(wěn)定性,以及自主運(yùn)行能力,一直是航天控制的目標(biāo)。針對(duì)此問題,學(xué)者進(jìn)行了大量的研究,主要有反饋控制、最優(yōu)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、自適應(yīng)控制等魯棒控制算法及其組合方法[1-4]。其中反步法[5]在處理非線性問題上具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì),被航天器姿態(tài)控制研究者所關(guān)注。例如文獻(xiàn)[6]針對(duì)自旋剛體航天器設(shè)計(jì)基于反步法的最優(yōu)控制器,解決了逆最優(yōu)控制問題。文獻(xiàn)[7]利用航天器和行星探測(cè)器在高軌道承受的太陽光壓力矩,基于非線性自適應(yīng)反步法設(shè)計(jì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制并考慮了參數(shù)的不確定性。文獻(xiàn)[8]利用航天器的跟蹤誤差方程基于有效的反步控制方法設(shè)計(jì)的姿態(tài)跟蹤控制器,能實(shí)現(xiàn)快速機(jī)動(dòng)和控制力矩受限。但上述文獻(xiàn)并未考慮航天器的過驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)情況。

航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)是一個(gè)典型的過驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng),對(duì)于一個(gè)過驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì),一般分解為控制器的設(shè)計(jì)和控制分配兩部分[9]。所謂控制分配就是根據(jù)系統(tǒng)要求和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的特性將控制器輸出的指令力矩合理地分配到每一個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)。現(xiàn)有方法主要有偽逆法、直接分配法、鏈?zhǔn)椒峙浞?、?shù)學(xué)規(guī)劃法和動(dòng)態(tài)控制分配等[9-12]。例如文獻(xiàn)[13]采用偽逆法實(shí)現(xiàn)控制分配,減少航天器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)間,同時(shí)克服單個(gè)飛輪最大力矩受限問題,提高了衛(wèi)星快速機(jī)動(dòng)能力。文獻(xiàn)[14]提出基于PD控制律零空間修正偽逆法的動(dòng)態(tài)控制分配算法,并考慮飛輪最大力矩等約束,能有效地抑制姿態(tài)敏感器的噪聲。但上述文獻(xiàn)并未考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程,同時(shí)忽略了各種控制分配的約束問題。

結(jié)合工程實(shí)際情況,考慮航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和外部干擾未知的條件下,設(shè)計(jì)基于反步法的魯棒自適應(yīng)控制器以實(shí)現(xiàn)對(duì)航天器的期望控制,保證了姿態(tài)控制的高精度和快速性。同時(shí),在考慮到執(zhí)行機(jī)構(gòu)的物理約束情況下,采用最優(yōu)約束二次規(guī)劃的控制分配算法實(shí)現(xiàn)控制力矩的優(yōu)化分配。

1　航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)模型

1.1誤差四元數(shù)方程

歐拉角描述方法存在奇異值,采用的四元數(shù)描述航天器的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[15]為

(1)

式中:I3——3×3的單位矩陣;

(2)

將式(1)分別代入式(2)求導(dǎo),整理可得姿態(tài)機(jī)動(dòng)誤差四元數(shù)方程:

(3)

(4)

1.2姿態(tài)機(jī)動(dòng)模型

考慮典型的金字塔型安裝的四反作用飛輪作為航天器的執(zhí)行機(jī)構(gòu),如圖1所示。其中每個(gè)反作用飛輪的旋轉(zhuǎn)軸垂直于金字塔型的相對(duì)應(yīng)的面,每個(gè)面相對(duì)于水平面的傾斜角為β。帶四個(gè)反作用飛輪的剛體航天器的總角動(dòng)量[15]:

H=h+hW,

式中:h——?jiǎng)傮w航天器的角動(dòng)量，h=Jω;

J——航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

hW——四個(gè)反作用飛輪的總角動(dòng)量。

飛輪的角動(dòng)量hW為

hW=JWωW,

ωW——飛輪的角速度,ωW=[ωW1ωW2ωW3ωW4]T。

圖1　金字塔型斜裝四飛輪模型

Fig. 1A typical pyramid mounting arrangement of four reaction wheels

定義D(β)為飛輪的安裝矩陣:

由角動(dòng)量定理可得旋轉(zhuǎn)剛體航天器的動(dòng)力學(xué)方程:

式中:N——外部的力矩輸入。

結(jié)合飛輪和剛體航天器的動(dòng)力學(xué)可以得到帶飛輪動(dòng)力學(xué)的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)模型為

(4)人力資源管理綜合實(shí)踐技能競(jìng)賽實(shí)踐與修正。面向我校學(xué)生開展競(jìng)賽活動(dòng)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與不足，對(duì)競(jìng)賽規(guī)則與方案進(jìn)行修正。

式中:d——航天器器系統(tǒng)的干擾力矩。

為了便于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì),給出如下假設(shè):

假設(shè)1航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是未知且正定對(duì)稱的常值矩陣,存在常數(shù)Jmin、Jmax使得0

假設(shè)2干擾力矩d未知但是有界,且滿足‖d‖≤d0,d0為未知的正常數(shù)。

注1‖·‖表示的是向量的2范數(shù)及其誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)。

注2由于負(fù)載及深空的外部環(huán)境對(duì)航天器的影響,使其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是時(shí)變的、不確定的,但這些因素對(duì)航天器的干擾產(chǎn)生的不確定性畢竟是小量,且航天器受到的干擾力矩也是有限的,故假設(shè)1、2成立。

設(shè)期望控制力矩

式中:v——反作用飛輪的輸入電壓,對(duì)角矩陣,v∈RN;

KW——電機(jī)增益常數(shù);

TW——電機(jī)時(shí)間常數(shù),對(duì)角矩陣。

綜合以上分析,帶反作用飛輪動(dòng)力學(xué)的航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)模型:

(5)

2　反步法的魯棒自適應(yīng)控制器

針對(duì)反作用飛輪存在冗余的情況下,設(shè)計(jì)一類基于反步法與約束控制分配相結(jié)合的方法來實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo),其結(jié)構(gòu)如圖2所示。控制系統(tǒng)可分解為基于反步法的魯棒自適應(yīng)控制律設(shè)計(jì)和控制分配算法兩部分。其中,前者根據(jù)對(duì)象動(dòng)力學(xué)特性和控制目標(biāo)得到總的控制指令(偽指令),而后者則是在綜合考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)物理約束(控制受限等)的基礎(chǔ)上,將偽指令合理分配至冗余的執(zhí)行機(jī)構(gòu)中,以獲得期望的系統(tǒng)響應(yīng)。

圖2　魯棒自適應(yīng)反步法的動(dòng)態(tài)控制分配系統(tǒng)

Fig. 2Backstepping based dynamic control allocation for spacecraft system

為了匹配不確定非線性控制系統(tǒng),非線性阻尼是抵消系統(tǒng)不確定性的有效方法。為了方便后續(xù)的分析與設(shè)計(jì),給出以下引理:

引理給定連續(xù)時(shí)間非線性系統(tǒng):

對(duì)任意的x(t)∈RN,t∈R,設(shè)V(x,t)是系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù),且滿足以下不等式:

λ1‖x(t)‖2≤V(x,t)≤λ2‖x(t)‖2,

式中,λ1、λ2、λ3、ε為正常數(shù),則該系統(tǒng)是全局一致最終有界穩(wěn)定的。

基于反步法進(jìn)行控制律設(shè)計(jì),為了便于控制律的設(shè)計(jì),定義新的變量:

p1=∫qevdt,

(6)

p2=qev,

(7)

p3=ω,

(8)

式中,p1、p2、p3——新的狀態(tài)變量,p1、p2、p3∈R3;

對(duì)式(6) 、(7) 、(8)求導(dǎo),則有:

(9)

(10)

(11)

Step 1為了穩(wěn)定系統(tǒng)式(9),定義p2為虛擬控制量,再定義

(12)

式中:x1、x2——新的狀態(tài)變量,x1、x2∈R3;

α1(x1)——待定的鎮(zhèn)定函數(shù)。

取Lyapunov函數(shù)為

(13)

對(duì)式(13)求導(dǎo)

取鎮(zhèn)定函數(shù)

α1(x1)=-k1x1,

(14)

式中,k1——正常數(shù)。

整理后式(14):

因此,當(dāng)x2→0時(shí),子系統(tǒng)式(9)是鎮(zhèn)定的。

Step 2為了穩(wěn)定子系統(tǒng)式(10),定義p3為虛擬控制量,再定義

x3=p3-α2(x1,x2),

(15)

式中:x——新的狀態(tài)變量,x3∈R3;

α2(x1,x2)——待定的鎮(zhèn)定函數(shù)。

定義的Lyapunov函數(shù):

求導(dǎo)有

取鎮(zhèn)定函數(shù)α2(x1,x2)為

α2(x1,x2)=-Ξ-1(x1+k1x2+k2x2),

式中,k2為正常數(shù)，則

因此,當(dāng)x3→0時(shí),子系統(tǒng)式(10)是鎮(zhèn)定的。

Step 3由式(11)和式(15)有

-p3×Jp3-p3×Dh+u+d+

JΞ-1(x1+k1p2+k2x2)+

JΞ-1((1+k1k2)p2+(k1+k2)p3)。

(16)

定義線性算子L:R3→R3×6:

J?=L(?)Θ。

對(duì)式(16)整理有:

L(Ξ-1((1+k1k2)p2+(k1+k2)p3))。

(17)

(18)

式中:k3、k4、 μ——待定的正常數(shù);

?！ǖ膶?duì)稱矩陣，?！蔙6×6。

定理對(duì)于存在未知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和未知干擾力矩的航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)系統(tǒng)式(3)～(5),在假設(shè)1、2的限定下,式(17)給出的魯棒自適應(yīng)控制律和式(18)給出的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)律,可保證系統(tǒng)是全局一致最終有界穩(wěn)定的。

證明選取Lyapunov函數(shù):

(19)

I3——三維的單位矩陣;

0——適當(dāng)維數(shù)的零矩陣；

Λ——正定對(duì)稱矩陣;

則有

(20)

式中:λmin(Λ)——矩陣Λ的最小特征值;

λmax(Λ)——矩陣Λ的最大特征值。

對(duì)式(19)進(jìn)行求導(dǎo),有

(21)

將控制律式(17)和自適應(yīng)律式(18)代入式(21)整理有

(22)

考慮:

(23)

再選擇參數(shù)k4使得k4≥d0,則

(24)

將式(22)、(24)代入式(21)有

3　約束二次規(guī)劃的控制分配

控制分配是一個(gè)控制擴(kuò)展和穩(wěn)定的過程,它要達(dá)到的目的是,通過控制分配指令使每一個(gè)可利用的執(zhí)行器輸出期望的控制力矩,進(jìn)而滿足系統(tǒng)要求。定義u∈Rm是控制器的輸出,為指令控制向量;τ∈Rn是控制分配后的控制向量,為虛擬控制向量。可以用線性關(guān)系:

u=Dτ,

其中,D∈Rm×n反作用飛輪的安裝矩陣,表征的是飛輪的控制效率,反應(yīng)的是飛輪的輸出力矩到控制器的期望力矩的一個(gè)映射,又稱為控制效率矩陣;當(dāng)n>m時(shí),反作用飛輪冗余,為過驅(qū)動(dòng)控制,這是進(jìn)行控制分配的必要條件;當(dāng)n

(25)

式(25)描述的是一個(gè)典型的問題,具有唯一解:

τ=D?u,

式中，D?=R-1DT(DR-1DT)-1。

注3針對(duì)式(25)所描述的控制分配問題,Ola Harkegard指出:采用2范數(shù)描述的控制分配更能有效的將期望控制合理的分配到每一個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu),其優(yōu)化問題的解一般隨某一參數(shù)變化而連續(xù)變化且唯一;而1范數(shù)描述分配控制問題經(jīng)常導(dǎo)致執(zhí)行機(jī)構(gòu)處于飽和狀態(tài),且其解也達(dá)不到理想狀態(tài)。所以均采用2范數(shù)的控制分配優(yōu)化模型。

考慮到工程實(shí)際問題,定義控制力矩的可行域?yàn)?/p>

式中:τmin、τmax——控制力矩的最小值與最大值。

為了解決如上控制分配問題,定義如下約束二次優(yōu)化問題[16]:

(26)

其中,R、Q是相應(yīng)維數(shù)的正定權(quán)值矩陣;權(quán)值矩陣Q的選取應(yīng)大于R,此時(shí),當(dāng)τ∈Ω時(shí)松弛變量s≈0。松弛變量s可以擴(kuò)展優(yōu)化問題的解的集合,保證了在τ∈Ω時(shí)的控制指令力矩的近似分配原則;當(dāng)其趨近于零時(shí),可以得到一個(gè)很好的控制分配效果。

為了方便以上優(yōu)化問題的求解,定義:z=[τT,sT]T,x=u;然而式(26)可以重構(gòu)為

(27)

4　仿真結(jié)果與分析

此外,假設(shè)控制系統(tǒng)的外干擾力矩定義:

根據(jù)以上仿真參數(shù),對(duì)輪控剛體航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真。圖3和圖4給出了航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的角速度和誤差四元數(shù)響應(yīng)曲線。

可見,設(shè)計(jì)的魯棒自適應(yīng)控制器BRA能快速平穩(wěn)的達(dá)到姿態(tài)穩(wěn)定并能很好的抑制系統(tǒng)的外界干擾,且穩(wěn)定時(shí)間約為30 s,而傳統(tǒng)的PD控制器的穩(wěn)定時(shí)間約為80 s。從圖3可以看出,文中所設(shè)計(jì)的控制方案的角速度的超調(diào)量明顯小于PD控制,并趨于最優(yōu)軌跡;圖4中,所設(shè)計(jì)的方案的姿態(tài)四元數(shù)的穩(wěn)定精度也明顯高于傳統(tǒng)的控制方案。

圖5和圖6分別給出的是控制器輸出的控制指令力矩u0和控制分配后執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)的實(shí)際控制力矩u。

圖3　姿態(tài)控制系統(tǒng)的角速度響應(yīng)

圖4　姿態(tài)控制系統(tǒng)的誤差四元數(shù)響應(yīng)

圖5　控制器輸出的控制指令力矩u0

Fig. 5Time responds of control demand torquesu0derived from controller

圖6　執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制分配后系統(tǒng)的實(shí)際控制力矩u

Fig. 6Time responds of actual control torquesuafter control allocation

在控制力矩初始值相近的情況下,PD控制器的幅值超調(diào)量遠(yuǎn)大于BRA控制,且穩(wěn)定時(shí)間約為60 s;而BRA的穩(wěn)定時(shí)間約為25 s,且有相對(duì)較小的超調(diào)與波動(dòng)。從圖6可以看出,經(jīng)過文中的方案BRA+OQCA后,控制系統(tǒng)的實(shí)際力矩u(虛線)的三軸力矩都相對(duì)最小,不僅具有最小的最大力矩,最小的超調(diào)與幅值波動(dòng),還具有最平穩(wěn)光滑的軌跡;這也在反應(yīng)了所設(shè)計(jì)的約束控制分配方案OQCA體現(xiàn)了能量最優(yōu)的原則。

圖7與圖8分別顯示了控制分配后輸入執(zhí)行機(jī)構(gòu)的指令控制力矩τ0和執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出的實(shí)際控制力矩τ。

圖7　輸入執(zhí)行機(jī)構(gòu)的指令控制力矩τ0

圖8　執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出的實(shí)際控制力矩τ

Fig. 8Time responds of actual output control torquesτfrom actuators

圖9　控制分配中松弛變s的響應(yīng)曲線

圖10　自適應(yīng)參數(shù)的時(shí)間響應(yīng)曲線

5　結(jié)束語

針對(duì)過驅(qū)動(dòng)航天器恣態(tài)控制系統(tǒng)未知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與外部干擾等問題,考慮到執(zhí)行機(jī)構(gòu)的內(nèi)部動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性,設(shè)計(jì)基于積分反步法的魯棒自適應(yīng)控制器,并在此基礎(chǔ)上采用約束最優(yōu)二次規(guī)劃的算法實(shí)現(xiàn)期望指令到冗余飛輪的指令最優(yōu)控制分配。將文中所提出的方法應(yīng)用于某一航天器,仿真結(jié)果表明，該方法在保證航天器姿控性能的前提下,能夠?qū)崿F(xiàn)控制力矩的優(yōu)化分配。與其他方法相比,設(shè)計(jì)的控制器和動(dòng)態(tài)控制分配方案簡(jiǎn)單實(shí)用,具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

[1]ROSS I M, SEKIHAVAT P, FLEMING A, et al. Optimal feedback control: foundations, examples, and experimental results for a new approach[J]. Journal of guidance control and dynamics, 2008, 31(2): 307-321.

[2]CRASSIDIS J L, MARKLEY F L. Sliding mode control using modified Rodrigues parameters[J]. Journal of Guidance Control and Dynamics, 1996, 19(6): 1381-1382.

[3]LIM H C, BANG H. Adaptive control for satellite formation flying under thrust misalignment[J]. Acta Astronautica, 2009, 65(1/2): 112-122.

[4]CHEN Y P, LO S C. Sliding-mode controller design for spacecraft attitude tracking maneuvers[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1993, 29(4): 1328-1333.

[5]KRSTIC M, KANELLAKOPOULOS I, KOKOTOVIC P. Nonlinear and adaptive control design[M]. Wiley-Interscience, New York, 1995.

[6]KRSTIC M, TSIOTRAS P. Inverse optimal stabilization of a rigid spacecraft[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1999, 44(5): 1042-1049.

[7]SINGH S, YIM W. Nonlinear adaptive backstepping design for spacecraft attitude control using solar radiation pressure[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic System, 2005, 41(3): 770-779.

[8]KIM K S, KIM Y. Robust backstepping control for slew maneuver using nonlinear tracking function[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2003, 11(6): 822-829.

[10]DURHAM W. Constrained control allocation[J]. Journal of guidance control and dynamics, 1993, 16(4): 717-725.

[11]BORDIGNON K A. Constrained control allocation for systems with redundant control effectors[D]. Virginia Polytechnic Institute and State University, 1996.

[12]JOHANSEN T A, FOSSEN T I, BERGE S P. Constrained nonlinear control allocation with singularity avoidance using sequential quadratic programming[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2004, 12(1): 211-216.

[13]CHOI Y, LEEGHIM H, BANG H. Efficient control torque distribution approach for spacecraft attitude control[C]//AIAA Guidance, Navigation and Control Conference and Exhibit, Honolulu, Hawii, [s.l.]：[s.n.], 2008: 67-71.

[14]張世杰, 趙亞飛, 陳閩, 等. 過驅(qū)動(dòng)輪控衛(wèi)星的動(dòng)態(tài)控制分配方法[J]. 航空學(xué)報(bào), 2011, 32(7): 1260-1268.

[15]OGATA K. Modern control engineering[M]. [s.l.]: Prentice Hall PTR, 2001.

[16]JOHANSEN T A, FUGLSETH T P, TENDEL P, et al. Optimal constrained control allocation in marine surface vessels with rudders[J]. Control Engineering Practice, 2008, 16(4): 457-464.

(編輯李德根)

Robust attitude maneuver and constrained control allocation for over- actuated rigid spacecraft with redundant reaction fly-wheels

HUOXing,ZHANGAihua,QINGYuping

(College of Engineering, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

Aimed at the uncertain inertia matrix of over-actuated spacecraft system and attitude maneuver control, this paper proposes robust adaptive backstepping control as a result of allowing for dynamic response characteristics of drive mechanism and describes an analysis of the system’s stability using Lyapunov functions. The paper presents an algorithm based on the optimal unconstrained quadratic program to achieve a change from the desired instruction to the redundant flywheel instruction distribution and verifies control torque stability and energy optimization following the assignment by introducing a slack variable extension of optimal solution set. The numerical simulation of an attitude maneuver mission of a rigid spacecraft with redundant by using the MATLAB/Simulink software prove that the method allows a quicker and accurate control of over-actuated spacecraft attitude．

rigid spacecraft; reaction fly-wheel; adaptive back-stepping; constrained control allocation

1671-0118(2012)06-0597-07

2012-10-24

遼寧省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目(LS20100180);遼寧省教育廳科學(xué)計(jì)劃支持項(xiàng)目(2009A045, L20100009)

霍星(1963-),男,滿族,山東省黃縣人，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師,碩士,研究方向:航天器姿態(tài)控制,E-mail:hmyi888@163.com。

V448.22

A