單臂集束型裝備隨機Petri網模型與性能分析

鄭秀紅， 胡靜濤

(1.沈陽化工大學計算機科學與技術學院，遼寧沈陽 110142;2.中國科學院沈陽自動化研究所信息服務與智能控制研究室，遼寧沈陽 110016)

集束型裝備(Cluster tools)是當今半導體制造中使用的一類主要裝備，根據(jù)SEMI標準E21-96，集束型裝備是一種集成的、包含機械連接在一起的多個處理模塊，傳輸模塊和晶圓承載室的半導體制造設備.隨著半導體加工過程中集成度的提高，集束型裝備的配置變得越來越復雜，裝備的吞吐量，晶圓的生產周期和加工腔體利用率等特性不僅與晶圓處理時間有關，還與集束型裝備的一些其他屬性有關，如晶圓承載室參數(shù)，機械手參數(shù)，腔體參數(shù)和晶圓處理流程參數(shù)等都對裝備產能、加工周期有影響.在裝備配置的不確定性和復雜的晶圓處理流程的雙重影響下，對產能的預測更加困難.建立集束型裝備的加工過程模型在預測集束型裝備性能和優(yōu)化系統(tǒng)配置上成為非常必要的解決方式.

仿真是一種預測裝備性能的方法，LeBaron采用商業(yè)仿真軟件AutoMod開發(fā)了一個靈活、高精度的集束型裝備仿真模型，模擬裝備運行［1-2］.IBM的工程師Shikalgar等用6年多的時間研究了一個仿真模型來模擬半導體300 mm生產線的實際加工過程，應用該仿真模型可以得到更加準確的產能結果［3］.Gupta開發(fā)了一個仿真模型，驗證并分析了單臂機械手集束型裝備的最大吞吐量理論模型［4］.但實踐證明，仿真是一種非常費時費力的方法.Petri網是Petri博士在1962年提出的一種系統(tǒng)描述和分析工具，它處理動態(tài)離散事件和復雜系統(tǒng)時具有圖形表示和數(shù)學描述雙重功能，因此成為半導體制造中集束型裝備生產線強有力的工具，可用于設備的建模和分析.Srinivasan首先建立了Petri網模型，分析了集束型裝備的性能［5］.考慮加工過程的持續(xù)時間因素，Zuberek利用賦時Petri網為集束型裝備建模，模型涉及到很多類集束型裝備，如單臂機械手，雙臂機械手、多機械手，可重入等裝備，最后利用結構化分析方法分析模型，計算裝備性能［6-7］.白麗平和伍乃琪用面向資源的著色賦時Petri網構造了集束型裝備的模型，分析了裝備的性能［8-9］.對于集束型裝備的調度問題也有了一些研究，伍乃騏構造了系統(tǒng)的Petri網模型并確定了實時控制策略，對雙臂集束型裝備的晶圓駐留時間變化作了詳細的分析，推導出了一個有效方法.應用該方法可以進行系統(tǒng)可調度性分析，以找到優(yōu)化的調度方案［10］.

目前，大部分研究都是針對應用賦時Petri網對集束型裝備建模，即所有變遷的時間是確定的、不變的，但是，該模型不能準確地反映裝備運轉的實際情況，因為實際運轉過程中裝備的處理時間并不是一個固定值，而是符合一定概率分布的隨機值.所以，針對這一問題本文提出利用隨機Petri網對集束型裝備建模，然后，構造同構的馬爾可夫過程，分析馬爾可夫過程，計算裝備的吞吐量和處理模塊的利用率.

1 集束型裝備

1.1 裝備結構

集束型裝備的結構如圖1所示.通常集束型裝備由處理模塊(process module，PM)，晶圓承載室(Loadlock，LL)和一個基于機械手的傳輸模塊(Transfer Module)組成.處理模塊負責加工晶圓，大多處理模塊都是單晶圓的，即同一時間只能處理1個晶圓.機械手有單臂機械手和雙臂機械手2種，它負責為處理模塊卸載、加載和移動晶圓，單臂機械手1次只能處理1片晶圓，如圖1所示.而雙臂機械手可同時承載2片晶圓.晶圓承載室負責待處理和處理后晶圓的存放.

圖1 集束型裝備Fig.1 Cluster tools

1.2 晶圓的加工流程

晶圓的處理模式可根據(jù)配方靈活調整，因此，一個集束型裝備可以處理很多種晶圓流模式.通常根據(jù)晶圓流模式的不同，可把集束型裝備分為并行集束型裝備和串行集束型裝備.并行集束型裝備含有1個以上的處理模塊執(zhí)行相同的晶圓加工操作步驟.而在串行集束型裝備中，各個處理模塊執(zhí)行不同的加工操作，晶圓必須遍歷所有處理模塊才能夠完成加工處理.

以圖1為例，假設處理模式為串行，單臂機械手，裝備開始時處于閑置狀態(tài)，晶圓的處理順序為 LL1→PM1→PM2→PM3→PM4→LL2.有一批晶圓(通常包含25片晶圓)要加載到集束型裝備的晶圓承載室LL1中，系統(tǒng)的加工過程如圖2所示.

圖2 晶圓的加工流程Fig.2 The process procedure of wafer

圖2中箭頭表示機械手從一個腔體向另一個腔體移動晶圓.Wi表示第i片晶圓.

一批晶圓從進入集束型裝備到離開裝備要依次經過加載，初始暫態(tài)，穩(wěn)態(tài)，結束暫態(tài)，卸載5個系統(tǒng)狀態(tài).在5個狀態(tài)中，穩(wěn)態(tài)具有周期性特點，且系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)的時間最長，所以，對裝備運轉過程的建模分析，關鍵就是對穩(wěn)態(tài)時裝備運轉流程進行建模，以分析裝備的性能.

2 隨機Petri網及分析方法

假設變遷Ti擁有一個時延di(di為從變遷從被授權到引發(fā)的時間延遲)，其中，di是一個非負的、連續(xù)的、服從指數(shù)分布的隨機變量X，分布函數(shù)如下:

隨機 Petri網(Stochastic Petri Net，SPN)是一類變遷擁有上述時延特性的Petri網［11］.一個隨機 Petri網就是一個五元組(P，T，F(xiàn)，m0，Λ)，其中，Λ:T→R+是一個與所有變遷的引發(fā)速率相關的引發(fā)函數(shù)，通常用λi表示變遷Ti的引發(fā)速率，那么，變遷Ti的平均時延就為

分析馬爾可夫過程，穩(wěn)態(tài)時狀態(tài)的概率分布Π =(π0，π1，…，πq)滿足:

其中，A=(aij)(q+1)×(q+1)是變遷率矩陣.通過穩(wěn)態(tài)概率Π和引發(fā)函數(shù)Λ，可分析出系統(tǒng)性能.

3 建模

建立描述集束型裝備加工過程的SPN模型的步驟如下:

步驟1 確定系統(tǒng)配置，如腔體數(shù)量，機械手類型，調度策略等;此處分析的集束型裝備是一個2-腔體的單臂集束型裝備.2個處理腔體執(zhí)行不同的功能，機械手1次只能取運送1個晶圓，只有1個晶圓承載室LL.假設所有的晶圓都有相同的處理步驟，沒有任何腔體可重入.處理流程串行的，LL→PM1→PM2→LL.

步驟2 分析集束型裝備穩(wěn)態(tài)的加工過程，如圖2所示.

步驟3 根據(jù)穩(wěn)態(tài)時期的裝備加工過程，確定晶圓流路徑，穩(wěn)態(tài)時的晶圓序列:LL?PM1→PM2?LL→PM1?PM2→LL，其中符號“?”表示機械手帶晶圓移動，符號“→”表示空機械手移動.

步驟4 確定裝備運行時的主要操作，如加載、卸載晶圓、機械手移動、加工等操作，以及操作的輸入庫所集和輸出庫所集.如表1所示.

表1 主要變遷及其輸入庫所和輸出庫所集Table 1 The input place and output place of the main transition

步驟5 用表1作導向，構造隨機Petri網模型，如圖3所示.圖3中變遷和庫所的描述如表2和表3所示.λi表示變遷Ti的引發(fā)率.

圖3 單臂集束型裝備的SPN模型Fig.3 The SPN model of the single-blade robot cluster tools

表2 模型中變遷的描述Table 2 The transition description

表3 模型中庫所的描述Table 3 The place description

步驟6 根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，穩(wěn)態(tài)開始時，機械手為空，且處于LL處，處理腔體1為空，處理腔體2中有一片晶圓，P5，P3，P7都有一個托肯，所以模型的初態(tài)m0=(001010100000).

步驟7 驗證模型.采用軟件包Visual Object Net++［13］驗證Petri網模型的行為屬性，通過該軟件包的驗證，表明該模型是活的、有界的，可達的.因此，可采用馬爾可夫方法分析模型.

4 模型分析

4.1 構造可達圖

從系統(tǒng)初始狀態(tài)m0出發(fā)，得到系統(tǒng)可到達的所有狀態(tài)以及狀態(tài)間的關系，構造可達圖，m0可到達的狀態(tài)有13個，所有狀態(tài)的庫所標識如表4所示.

表4 可達標識集列表Table 4 The reachability set

4.2 馬爾可夫過程

在集束型裝備的SPN模型中所有變遷都服從指數(shù)分布，變遷Ti服從參數(shù)λi的指數(shù)分布，根據(jù)模型可達圖和變遷的特性得到同構的馬爾可夫過程，如圖4所示.

圖4 同構的馬爾可夫過程Fig.4 The equivalent Markov process

4.3 馬爾可夫過程分析

取 λ1=λ2=0.1，λ3=λ4=λ5=λ6=λ7=λ8=1，所有狀態(tài)的概率分布 Π =(π0，π1，…，π12)，滿足方程組(3)，解得:

π =(0.046 46，0.038 72，0.004 65，0.003 52，0.193 57，0.007 74，0.001 13，0.228 8，0.271 01，0.051 1，0.051 1，0.051 1，0.051 1).

4.4 裝備性能分析

4.4.1 系統(tǒng)吞吐量

系統(tǒng)的吞吐量，即單位時間加工的晶圓數(shù)量，它是評價集束型裝備性能最重要的指標.由表2可知，變遷T5代表晶圓經過PM1，PM2處理完成，機械手將其取出放入LL中，同時根據(jù)圖4可確定只有在狀態(tài)m9時，T5可以被授權.那么系統(tǒng)的吞吐量根據(jù)如下方法［14］得到:

WHP=f5=λ5π9=1 ×0.051 1=0.051 1.因此，每個晶圓的處理時間約為:

T=1/WHP=1/0.051 1=19.57.

4.4.2 處理模塊利用率

各個模塊利用率的差值是改善裝備配置，提高裝備吞吐量的重要依據(jù).由表3可知，狀態(tài)P5代表PM1腔體為空，處于閑置狀態(tài);由表4可知，只有狀態(tài) m0，m2，m12的 P5中托肯數(shù)為 1，所以，PM1的利用率［14］為:

UPM1=1-(π0+π2+π12)=0.897 79.

即處理模塊PM1的利用率為89.779%.同理，可計算PM2的利用率為89.78%.

5 結論

提出了集束型裝備的隨機Petri網模型，經驗證，該模型是活的、有界的.推導有界模型的可達圖，確定同構的馬爾可夫過程，通過分析馬爾可夫過程，計算裝備的吞吐量和模塊利用率.與賦時Petri網方法相比，該模型中變遷的時延是隨機的，更符合裝備實際運轉情況，因此計算的性能更準確.但是對隨機Petri網模型分析過程中需要構造模型的可達圖，推導出模型的所有狀態(tài)才能構造同構的馬爾可夫過程，所以，該方法不適合大型系統(tǒng)的建模和分析.

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