考慮承壓水的基坑抗隆起穩(wěn)定性上限分析

李鏡培，唐 耀，張 飛

（1.同濟大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點實驗室 上海 200092；2.同濟大學(xué) 地下建筑與工程系 上海 200092）

基坑的抗隆起穩(wěn)定性驗算是基坑工程設(shè)計中一項十分關(guān)鍵的分析計算內(nèi)容.對于基坑抗隆起穩(wěn)定性計算，目前常用的方法是極限平衡法.這種驗算方法大致分為兩類：一類是基于地基承載力概念的方法，如太沙基［1］（Terzaghi）公式、普朗特爾［2］（Prandtl）公式和 Caguot［2］方法等；另一類是圓弧滑動法［2］，假定某一圓弧作為滑裂面，通過計算滑裂面上的抗滑力矩和滑動力矩的比值得到安全系數(shù).近年來一些學(xué)者［3－7］將基于傳統(tǒng)塑性力學(xué)上下限定理的極限分析方法應(yīng)用于基坑抗隆起穩(wěn)定性的驗算，取得了較為理想的計算結(jié)果.

上海等沿海地區(qū)的土層中，在一定深度內(nèi)存在著致密的不透水層，其下有透水性很強的粉土，粉土中的水頭壓力往往較高，表現(xiàn)出一定的承壓性質(zhì)［8］.近年來隨著基坑開挖深度的不斷加大，承壓水層對于基坑抗隆起穩(wěn)定性的影響日益突出.目前對于基坑抗隆起穩(wěn)定性的研究僅僅考慮了潛水層滲流的影響［3，9］，而承壓水對于深基坑抗隆起穩(wěn)定性影響的研究較為少見.承壓水問題對于基坑抗隆起穩(wěn)定性驗算有著不可忽視的影響，如劉國彬和王洪新［10］曾報道了某地鐵基坑由于受上海⑤層承壓水影響，出現(xiàn)了地下連續(xù)墻明顯“踢腳”，坑內(nèi)立柱上浮，房屋裂縫等險情.本文利用極限分析上限理論，考慮承壓水對坑底土層的驅(qū)動機制的影響，對基坑抗隆起穩(wěn)定性驗算方法進行了進一步的探討.

1 考慮承壓水層影響的上限定理

1.1 極限分析的上限定理

極限分析的上限定理是建立在Drucker公設(shè)和虛功原理之上的，表述的方法有很多種，其中一種表述為：某機構(gòu)在假定的運動許可速度場下，外力功功率不大于內(nèi)能耗散率［11］，即

當有外力作用在機構(gòu)上時，將在該機構(gòu)上產(chǎn)生附加應(yīng)力場.附加應(yīng)力場所做的外力功功率可以表示為［12］

本文同時考慮土體的粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ［13］，即將土體看作一種Coulomb材料，這樣間斷速度與速度間斷面s的方向始終成夾角φ.Coulomb材料單位體積附加應(yīng)力做功功率P可以表示為

根據(jù)相關(guān)聯(lián)流動法則，有

因此對于Coulomb材料附加應(yīng)力做功功率為

由上述推導(dǎo)不難看出，求出承壓水頭壓力引起的附加應(yīng)力做功功率的關(guān)鍵是求出承壓水頭壓力所引起的附加應(yīng)力的分布.

1.2 水頭壓力在不透水層中產(chǎn)生的附加應(yīng)力

當坑底土的滲透系數(shù)很小，坑底土為弱透水層或者不透水層時，坑底土將以“板”的形式承受承壓水產(chǎn)生的水頭壓力［14］.此時，可以將坑底隔水土層作為隔離體進行受力分析［15］，推導(dǎo)水頭壓力作用下的土層應(yīng)力分布.計算假設(shè)基坑底部隔水土層為四邊固支的板，將其所承受的承壓水頭壓力作為均布荷載，當基坑長寬比大于2時，隔水土層作為單向板處理，否則作為雙向板處理.坑底土層的受力如圖1所示.

無論將隔水土層作為單向板還是雙向板處理，均可以取單位寬度的板帶進行計算，即當作土梁進行內(nèi)力分析.當基坑寬度與不透水層厚度的比值（跨高比）達不到作為普通梁的要求時，將土梁看作“深梁”［16］來處理，采用彈性力學(xué)兩端固定的梁的應(yīng)力解來計算.在圖1所示的坐標系下，應(yīng)用彈性理論得到土梁的內(nèi)力分布為

式中：p為承壓水頭壓力簡化的均布荷載，且p＝γwhw，γw為水的重度，hw為承壓水頭高度；l為土梁的計算寬度，即基坑開挖的寬度；h為土梁的計算梁高，即基坑不透水層的厚度；ν為土體材料的泊松比.

圖1 坑底隔水土層內(nèi)力計算簡圖Fig.1 Calculating sketch of base plate of foundation pit

土梁內(nèi)應(yīng)力分量為

式中：I為截面慣性矩，I＝bh3／12；S＊為截面靜矩，S＊＝［h2／4－（z－h(huán)／2）2］／2；b為土梁的計算寬度，在此取單位寬度.

將坑底隔水土層內(nèi)的應(yīng)力分布計算結(jié)果作為外力帶入到極限分析的上限定理公式中，計入承壓水頭壓力對基坑穩(wěn)定機構(gòu)的外力做功，即考慮坑底承壓含水層的水壓力對基坑隆起的影響.選取適當?shù)钠茐哪Ｊ?，研究極限分析上限定理機構(gòu)的能量耗散和各部分外力做功等作用.

2 破壞模式的選取

Chen［11］認為上限分析選取的破壞模式越接近實際破壞情況，計算結(jié)果就越精確；Chang［4］和Faheem等［17］均指出基坑隆起的Prandtl破壞模式比較接近軟土深基坑開挖時土體實際的破壞模式.另外，F(xiàn)aheem 等［17］和 Goh［18］通過有限元方法得到擋墻與土體之間的摩擦對基坑抗隆起穩(wěn)定性分析幾乎沒有影響.鄒廣電［3］認為基坑隆起問題的根本機理是當?shù)鼗梁偷孛婧奢d在基坑基底所產(chǎn)生的垂直荷載超越了基底以下的土體所能承受的極限荷載時，坑底以下土體會沿著某一滑裂面向開挖側(cè)滑移，從而導(dǎo)致基坑坑底發(fā)生隆起，因此本文將開挖面上JG范圍內(nèi)（見圖2）的土體作用力簡化成均布荷載.本文采用Prandtl滑動模式，構(gòu)成如圖2所示的朗肯主動區(qū)Ⅰ、過渡區(qū)Ⅱ和朗肯被動區(qū)Ⅲ所形成的滑裂土體，滑裂面尺寸由圍護墻插入深度D決定.對定理的計算推導(dǎo)作如下計算假設(shè)：① 土體將繞墻體底面發(fā)生滑動；② 忽略墻體與土體之間的摩擦作用；③將開挖面以上的土體作用力簡化為均布荷載作用；④ 忽略JG范圍以外的土體及地表超載的作用.

圖2所示的破壞模式中，過渡區(qū)滑裂面曲線為對數(shù)螺線，其曲線方程為r＝r0eθtanφ，AB，BK 以及KE分別為各區(qū)的滑裂面，整個破壞機構(gòu)的尺寸已在圖中標出，其中，r0＝De－（45°＋φ／2）tanφ，D 為支護結(jié)構(gòu)入土深度，h為不透水層厚度，H 為基坑開挖深度，L＝2r0cos（45°－φ／2）.選取一種協(xié)調(diào)的速度場，土體KEF的速度為V0，且與滑裂面KE成夾角φ；土體BKF其速度沿滑裂面BK呈指數(shù)分布，任意轉(zhuǎn)動角度θ處的速度為V＝V0eθtanφ；土體ABF的速度為V1＝V0e（πtanφ）／2，且與滑裂面成夾角φ；q為地面超載.

圖2 破壞模式計算簡圖Fig.2 Calculating sketch of failure model

3 安全系數(shù)的計算

為計算基坑抗隆起穩(wěn)定性的安全系數(shù)，需要分別計算出外功率和內(nèi)能耗散率，通過外功率和內(nèi)能耗散率相等的平衡方程，求出基坑的臨界開挖深度，臨界開挖深度與實際開挖深度的比值即為基坑的安全系數(shù).

3.1 外力做功功率

外力做功功率包括重力、基坑開挖基準面以上土體作用力簡化形成的均布荷載、地表超載以及承壓水頭壓力引起的附加應(yīng)力做功功率.

（1）重力做功功率計算土體KEF

式中：γ為土體重度.

土體ABF

指數(shù)螺線區(qū)BKF

（2）承壓水頭引起的附加應(yīng)力做功功率

附加應(yīng)力做功功率的計算首先需要求出由承壓水頭所引起的附加應(yīng)力在速度間斷面上的正應(yīng)力和切向應(yīng)力分布.附加應(yīng)力在土梁內(nèi)的分布已經(jīng)由公式（8）得到，只需將其進行一定的轉(zhuǎn)角變換即可.

直線AB上的應(yīng)力分量

式中：α＝π／4＋φ／2.

指數(shù)螺線BC上的應(yīng)力分量

區(qū)域BCF的徑向應(yīng)力分量

式中：δ＝θ－π／4＋φ／2

通過上述應(yīng)力分量計算，可以進一步得到附加應(yīng)力在速度間斷面上的做功功率.

直線AB上的應(yīng)力分量做功功率

弧線BC上的應(yīng)力分量做功功率

區(qū)域BCF的徑向應(yīng)力做功功率

（3）地表超載和土體等效外荷載做功功率

3.2 內(nèi)能耗散率

內(nèi)能耗散率只是存在速度間斷面上，即

3.3 安全系數(shù)計算

首先計算基坑的臨界開挖深度，由內(nèi)能耗散率與外力做功功率相等，即

得到臨界開挖深度為

根據(jù)前述的安全系數(shù)定義，計算達到臨界狀態(tài)時的基坑開挖深度與實際開挖深度的比值，從而得到基坑抗隆起穩(wěn)定性的安全系數(shù)

4 參數(shù)對于抗隆起穩(wěn)定性影響分析

采用本文計算方法能夠考慮坑底承壓水層對基坑抗隆起穩(wěn)定性的影響.以下主要分析承壓水頭大小、不透水層厚度以及擋土墻插入深度對于基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)的影響.為了便于分析，假定基坑開挖土體的參數(shù)為c＝10kPa，φ＝20°，γ＝18kN·m－3.開挖深度 H＝10m，不透水層厚度h＝10m，基坑寬度l＝20m.

4.1 承壓水頭大小對于安全系數(shù)的影響

為了分析承壓水頭大小對于安全系數(shù)的影響，先定義量綱一參數(shù)λ＝hw／H，用來衡量承壓水頭大小的影響.

圖3為不同承壓水頭下基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)的變化規(guī)律.由圖3可以看出，隨著承壓水頭的增大，基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)逐漸減?。怀袎核^每增加10m，安全系數(shù)減小約15%～20%，說明考慮承壓水的影響是非常必要的.另外，在不同擋土墻插入深度下，安全系數(shù)隨水頭大小的變化近乎平行，這說明擋土墻插入深度對于安全系數(shù)隨承壓水頭的總體變化規(guī)律不產(chǎn)生影響.

圖3 承壓水頭對安全系數(shù)的影響Fig.3 Effect of confined water on factor of safety

4.2 不透水層厚度對于安全系數(shù)的影響

為了分析不透水層厚度對于安全系數(shù)的影響，先定義量綱一參數(shù)η＝h／H，用來表征不透水層厚度與基坑開挖深度的比值.圖4表示不透水層厚度對于基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)的影響.

圖4 不透水層厚度對安全系數(shù)的影響Fig.4 Effect of thickness of water resisting layer on factor of safety

由圖4可以看到隨著不透水層厚度的增加，安全系數(shù)逐漸增加；在不同承壓水頭下，安全系數(shù)隨著不透水層厚度的變化都以水頭壓力為零的直線為漸近線.這也說明了不透水層在達到一定厚度（基坑開挖深度2～3倍以上）以后，可以忽略承壓水頭的影響.

4.3 擋土墻插入深度對于安全系數(shù)的影響

為了研究擋土墻插入深度對于安全系數(shù)的影響，定義量綱一參數(shù)擋土墻插入深度比ξ＝D／H，用來衡量擋土墻入土深度的影響.圖5表示基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)隨擋土墻入土深度的變化規(guī)律.

圖5 擋土墻插入深度比對安全系數(shù)的影響Fig.5 Effect of ratio of immersion depth on factor of safety

從圖中可以看出，安全系數(shù)隨著擋土墻入土深度的增加而增加；在相同的插入深度比之下，承壓水頭對于基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)有著不可忽視的影響.

5 算例驗證

5.1 算例一

文獻［8］中記錄了上海某基坑的設(shè)計施工及實測數(shù)據(jù)，該基坑開挖深度為12.65m，擋土墻的入土深度為13.35m，坑底不透水層厚度為16.4m，其下為上海第一承壓水層，承壓水頭高度為24m.土性指標取加權(quán)平均值為c＝17.8kPa，φ＝19.11°，γ＝18.0kN·m－3.采用Prandtl和Terzaghi公式計算的基坑抗隆起安全系分別為1.86，2.08.采用本文考慮承壓水的計算方法得到安全系數(shù)為1.34，與文獻［18］中的結(jié)論保持一致.

本算法與傳統(tǒng)算法所得到的安全系數(shù)相比在一定程度上有所降低，這是由于本文的計算方法考慮了承壓水層對于基坑抗隆起穩(wěn)定性的不利影響，本文的計算結(jié)果對于工程實際有著一定的參考價值.

5.2 算例二

文獻［10］中記錄了上海某地鐵車站基坑在施工過程中出現(xiàn)基坑臨界失穩(wěn)的事故.該基坑寬度為20m，長度方向292m，基坑開挖深度為10m，地下連續(xù)墻埋深18m，即入土深度為8m，不透水層厚度為8.63m，承壓水頭為16m.地下連續(xù)墻墻底以上的土性指標加權(quán)平均為c＝6.17kPa，φ＝24.03°，γ＝17.9kN·m－3.文獻中采用圓弧滑動法計算得到安全系數(shù)為1.73，采用本文的方法考慮承壓水的影響，得到安全系數(shù)為0.97，在降水后承壓水水頭為12m時，險情得到明顯控制，用本文方法計算此時的安全系數(shù)為1.41，計算結(jié)果與工程實際較為符合，這也證實了本文方法在工程中的適用性.

6 結(jié)語

（1）在基坑開挖時，基坑抗隆起穩(wěn)定性分析考慮承壓水的影響是十分必要的.

（2）如果不考慮基坑底部承壓水層水頭壓力的影響，則計算得到的安全系數(shù)偏大，在工程設(shè)計中偏于不安全.

（3）基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)隨承壓水頭增大而減小，隨著不透水層厚度的增加而增大并趨于穩(wěn)定.

（4）采用本文方法可以計算受到承壓水影響的基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)，能夠反映出承壓水所帶來的不利影響，并且為采取相應(yīng)的設(shè)計、施工措施提供了理論依據(jù).

［1］Terzaghi K，Peck R B.Soil mechanics in engineering practice［M］.New York：Wiley，1948.

［2］劉國彬，王衛(wèi)東.基坑工程手冊［M］.第二版.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2009.LIU Guobin， WANG Weidong. Excavation engineering handbook［M］.2nd ed.Beijing：China Architecture and Building Press，2009.

［3］鄒廣電.基于一個上限分析方法的深基坑抗隆起穩(wěn)定性分析［J］.巖土力學(xué)，2004，25（12）：1873.ZHOU Guangdian.Analysis of stability against upheaval of deep excavation by an upper limit method［J］.Rock and Soil Mechanics，2004，25（12）：1873.

［4］Chang M F.Basal stability analysis of braced cuts in clay［J］.Journal of Geotechnical Geoenvironmental Engineering，ASCE，2000，126（3）：276.

［5］Ukritchon B，Whittle A J，Sloan S E.Undrained stability of braced excavations in clay［J］.Journal of Geotechnical Geoenvironmental Engineering，ASCE，2003，129（8）：738.

［6］黃茂松，宋曉宇，秦會來.K0固結(jié)黏土基坑抗隆起穩(wěn)定性上限分析［J］.巖土工程學(xué)報，2008，30（2）：250.HUANG Maosong，SONG Xiaoyu，QIN Huilai.Basal stability of braced excavations in K0－consolidated soft clay by upper bound method［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2008，30（2）：250.

［7］秦會來，黃茂松，王衛(wèi)東.非均質(zhì)軟土基坑抗隆起穩(wěn)定性的極限分析方法［J］.巖土力學(xué)，2008，29（10）：2719.QIN Huilai，HUANG Maosong，WANG Weidong.Limit analysis method for basal stability of braced excavation against upheaval in heterogeneous soft clay［J］.Rock and Soil Mechanics，2008，29（10）：2719.

［8］趙錫宏，陳志明，胡中雄.高層建筑深基坑圍護工程實踐與分析［M］.上海：同濟大學(xué)出版社，1996.ZHAO Xihong，CHEN Zhiming，HU Zhongxiong.Case analysis of retaining systems for deep foundation pits［M］.Shanghai：Tongji University Press，1996.

［9］孫淑賢.深基坑抗隆起穩(wěn)定計算方法的研究［J］.煙臺大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)與工程版，1999，12（1）：67.SUN Shuxian.Calculation method of resistant heave stability for deep excavations［J］.Journal of Yantai University：Natural Science and Engineering，1999，12（1）：67.

［10］劉國彬，王洪新.上海淺層粉砂地層承壓水對基坑的危害及治理［J］.巖土工程學(xué)報，2002，24（6）：790.LIU Guobin，WANG Hongxin.Influence of the pressure waterin shallow silty sand in Shanghai on excavation［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2002，24（6）：790.

［11］Chen W F.Limit analysis and soil plasticity［M］.Amsterdam：Elsevier Science，1975.

［12］Michalowski R L.Slope stability analysis：a kinematical approach［J］.Geotechnique，1995，45（2）：283.

［13］龔曉南.土塑性力學(xué) ［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，1990.GONG Xiaonan.Soil plasticity［M］.Hangzhou：Zhejiang University Press，1990.

［14］王玉林，謝康和，盧萌盟，等.受承壓水作用的基坑底板臨界厚度的確定方法［J］.巖土力學(xué)，2010，31（5）：1539.WANG Yulin，XIE Kanghe，LU Mengmeng，et al.A method for determining critical thickness of base soil of foundation pit subjected to confined water［J］.Rock and Soil Mechanics，2010，31（5）：1539.

［15］馬石城，印長俊，鄒銀生.抗承壓水基坑底板的厚度分析與計算［J］.工程力學(xué)，2004，21（4）：204.MA Shicheng，YIN Changjun，ZOU Yinsheng.Analysis and calculation of the pit base plate thickness of bearing resistance water foundation［J］.Engineering Mechanics，2004，21（4）：204.

［16］吳家龍.彈性力學(xué)［M］.上海：同濟大學(xué)出版社，1993.WU Jialong.Theory of elasticity［M］.Shanghai：Tongji University Press，1993.

［17］Faheem H，Cai F，Ugai K，et al.Two－dimensional base stability of excavations in soft soils using FEM［J］.Computers and Geotechnics，2003，30（2）：141.

［18］Goh A T C.Assessment of basal stability for braced excavation systems using the finite element method［J］.Computers and Geotechnics，1990，10（4）：325.