考慮彎剪耦合作用的梁橋可靠度評(píng)估

王曉明，石雪飛，阮 欣

（1.長(zhǎng)安大學(xué) 橋梁系，陜西 西安 710064；2.同濟(jì)大學(xué) 橋梁系，上海 200092）

在役梁橋量大面廣，構(gòu)造多樣，狀態(tài)各異.對(duì)在役梁橋的客觀評(píng)估是當(dāng)前橋梁科學(xué)管養(yǎng)的重要環(huán)節(jié).

梁橋以承受彎矩與剪力為主.現(xiàn)行公路橋規(guī)［1－2］將不同功能極限狀態(tài)直接解耦，采用先分別按照各自極限狀態(tài)（純彎、純剪）獨(dú)立配筋后再疊加的截面設(shè)計(jì)方法.

目前的評(píng)估方法，繼承了設(shè)計(jì)規(guī)范的假設(shè)，即認(rèn)為梁橋破壞是由于純粹的功能失效，彎剪相互獨(dú)立，互不影響.現(xiàn)有研究中的彎剪獨(dú)立串聯(lián)可靠度法［3－4］、彎剪加權(quán)系數(shù)組合可靠度法［5］、分項(xiàng)系數(shù)法［2，6］等評(píng)估方法，都是基于這一假定.該假設(shè)忽略了如下客觀現(xiàn)實(shí)：結(jié)構(gòu)同時(shí)承受不同類型荷載內(nèi)力，提供不同種承載功能，且各種承載功能相互耦合、互為影響［7－8］.以受彎剪為主的梁橋?yàn)槔\(yùn)營中同時(shí)承受的彎矩與剪力共同考驗(yàn)著梁的彎剪耦合抗力［9－10］；而理論上的純彎、純剪在實(shí)際中較少發(fā)生.

傳統(tǒng)的忽略構(gòu)件各功能相互影響、極限狀態(tài)簡(jiǎn)單解耦的分析方法，在某些情況下會(huì)對(duì)在役退化舊橋的評(píng)估形成誤判.筆者以梁橋的彎剪耦合作用為研究對(duì)象，分析兩種不同功能承載能力間的相互作用，研究考慮彎剪耦合作用的梁橋可靠度評(píng)估方法.

1 彎剪耦合作用下梁橋的評(píng)估思路

簡(jiǎn)單地講，傳統(tǒng)評(píng)估就是抗力與效應(yīng)兩個(gè)值的大小比較.確定性分析，是大小的定量比較；不確定性分析，是大小的隨機(jī)比較.

當(dāng)考慮彎剪耦合作用后，抗力與效應(yīng)由一元變量拓展成二元變量，評(píng)估可被描述為判斷效應(yīng)歷程與抗力包絡(luò)區(qū)域的位置關(guān)系.對(duì)于確定性分析，情形較簡(jiǎn)單，在考慮分項(xiàng)系數(shù)、組合系數(shù)后，當(dāng)效應(yīng)落在抗力所包圍的安全區(qū)域內(nèi)，則結(jié)構(gòu)安全，否則不安全.而對(duì)于不確定性分析，情況相對(duì)復(fù)雜，不僅需要判斷兩者相對(duì)位置，而且需要對(duì)效應(yīng)到抗力邊界最小距離進(jìn)行概率度量，以便與目標(biāo)可靠指標(biāo)比較.

上述思路中，確定彎剪耦合抗力與彎剪復(fù)合效應(yīng)的概率模型是解決問題的先決條件，而二元隨機(jī)變量的可靠度分析方法是問題的關(guān)鍵與難點(diǎn).

2 彎剪耦合抗力的概率模型

2.1 彎剪耦合抗力的分析方法

引入美國AASHTO規(guī)范［6］建議的修正壓力場(chǎng)理論（MCFT）來分析梁橋的彎剪耦合抗力.它是Bentz等提出的鋼筋混凝土分析理論［10］.該方法能夠反映彎曲與剪切兩種不同功能承載能力間的相互作用，同時(shí)考慮了開裂混凝土殘余應(yīng)力，使得抗剪承載力更能反映實(shí)際.算法流程如下：

剪切承載力Vn采用式（1）與（2）中較小的

式中：bv為有效腹板寬度；dv為有效抗剪高度；s為箍筋間距；Av為距離s內(nèi)箍筋面積，為混凝土強(qiáng)度；fy為鋼筋的屈服強(qiáng)度；θ為斜壓應(yīng)力的傾斜角；β為斜裂混凝土拉力傳遞系數(shù).

彎曲承載力采用式（5）與（6）中較小的

其中：εx為構(gòu)件彎曲受拉一邊的鋼筋應(yīng)變；Mn為彎曲抗力（彎曲承載力）；θ和β是應(yīng)變?chǔ)舩、剪應(yīng)力vu（vu＝Vn／（bvdv））和裂縫間距的函數(shù)；Es和As分別為抗彎主筋的彈性模量和面積.AASHTO規(guī)范中列表給出不同應(yīng)變?chǔ)舩與不同箍筋應(yīng)力下的θ，β值.對(duì)于給定的箍筋特征參數(shù)Avfy／（bvs）與混凝土強(qiáng)度，通過表格線性內(nèi)插確定不同εx水平下的θ，β值，繼而獲得彎剪抗力耦合曲線.整個(gè)流程見圖1.

考慮彎剪耦合作用的確定性分析如圖2（圖中，SG和SQ分別表示恒、活載效應(yīng)）.由圖可知：

（1）如果不考慮抗力的彎剪耦合作用，只按照純彎、純剪抗力值評(píng)估，會(huì)人為擴(kuò)大效應(yīng)的安全區(qū)域，將形成較大的誤判區(qū)域.

（2）對(duì)比我國GB 04規(guī)范與AASHTO規(guī)范可知，計(jì)算出的純彎、純剪抗力，前者較后者小，明顯減小誤判區(qū)域（圖2陰影部分）.這將降低確定性評(píng)估的誤判幾率，但無法消除不確定性評(píng)估的差異.如圖2，在確定性分析時(shí)，效應(yīng)歷程都落在GB 04與AASHTO的抗力包絡(luò)域，結(jié)構(gòu)安全，評(píng)估結(jié)論一致；而在不確定性分析時(shí)，效應(yīng)到兩種規(guī)范的抗力邊界最小距離明顯不同，概率度量也差異明顯，與統(tǒng)一的目標(biāo)可靠指標(biāo)比較時(shí)，很可能出現(xiàn)不同的評(píng)估結(jié)論.

圖1 彎剪耦合抗力分析流程Fig.1 Analysis process of moment－shear coupling resistance

圖2 彎剪耦合抗力與彎剪復(fù)合效應(yīng)的確定性分析Fig.2 Deterministic analysis of moment－shear coupling resistance and effect

對(duì)GB 04規(guī)范與AASHTO規(guī)范的抗力包絡(luò)域求交集，可將抗力包絡(luò)域劃分為圖3所示的4個(gè)區(qū)域.當(dāng)彎剪復(fù)合效應(yīng)落在不同的區(qū)域，梁橋破壞機(jī)制不同：① 在陰影部分，結(jié)構(gòu)安全度較高，可采用傳統(tǒng)評(píng)估方法；② 淺灰區(qū)域時(shí)，失效機(jī)制為彎曲破壞，關(guān)注彎曲承載即可；③ 中灰色區(qū)域時(shí)，失效機(jī)制為剪切破壞，關(guān)注剪切承載即可；④ 黑色區(qū)域時(shí)，失效機(jī)制為彎剪破壞，承載力評(píng)估需考慮彎剪耦合作用.

2.2 彎剪耦合抗力的概率模型

構(gòu)件抗力R的概率模型可以表達(dá)為

圖3 梁橋失效機(jī)制劃分Fig.3 Failure mechanism types for beam bridge

式中：Rn為名義抗力，由各標(biāo)準(zhǔn)值確定；N為材料特性不定性系數(shù)；F為幾何參數(shù)不定性系數(shù)；P為計(jì)算模式不定性系數(shù)，表示計(jì)算近似方法與實(shí)際的偏差.

通常認(rèn)為，N，F(xiàn)，P 服從正態(tài)分布，且隨機(jī)獨(dú)立［10］.這樣抗力R亦服從正態(tài)分布，其均值μR有

抗力變異系數(shù)δR為

式中：μ為均值，μN(yùn)，μF，μP分別為N，F(xiàn)，P 的均值；δ為變異系數(shù)，δN，δF，δP分別為N，F(xiàn)，P 的變異系數(shù)；κR為抗力均值系數(shù).

N和F可采用相關(guān)研究［11］建議值；或按照基于Monte－Carlo的抗力概率模型流程［12］，由評(píng)估對(duì)象的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)獲得；P需要與所用的抗力理論與算法相匹配.研究表明［13］，AASHTO規(guī)范中 MCFT公式相應(yīng)的μP＝1.1，δP＝0.074.因此，根據(jù)式（8）和（9）即可確定彎剪耦合抗力的概率模型，見圖4.

圖4 彎剪耦合抗力的概率密度圖Fig.4 Probability density of moment－shear coupling resistance

從圖4可見，考慮彎剪耦合作用后，抗力從一元隨機(jī)變量變?yōu)槎S機(jī)變量，相應(yīng)的概率密度也由平面正態(tài)曲線拓展為空間多段正態(tài)曲面，導(dǎo)致二元隨機(jī)變量可靠度分析變復(fù)雜.

3 彎剪復(fù)合效應(yīng)的概率模型

在恒載及車輛活載的作用下，梁橋同時(shí)產(chǎn)生彎剪效應(yīng)；同一截面，彎剪效應(yīng)的變化強(qiáng)相關(guān)，共同取決于加載位置.當(dāng)分析中考慮了彎剪耦合作用時(shí)，效應(yīng)需要采用彎剪復(fù)合的形式來表達(dá)，這時(shí)，效應(yīng)S是二元隨機(jī)變量（SM，SV）.

在已有研究［3－4，14－15］中，車輛的活載效應(yīng)隨機(jī)變量的分布常采用最大極值I型來描述.同時(shí)，我國公路可靠度標(biāo)準(zhǔn)［16］研究也表明，活荷載效應(yīng)也不拒絕正態(tài)分布.考慮到二元隨機(jī)變量可靠度分析過程的復(fù)雜性，本文采用正態(tài)分布描述活載效應(yīng).因此，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)［16］，可用表1的概率模型分別描述各類效應(yīng).

表1 荷載效應(yīng)概率模型Tab.1 Probability model of load effect

由表1知，恒、活載效應(yīng)（SG，SQ）都服從正態(tài)分布，故定義總效應(yīng)S＝SG＋SQ，便可用單一變量來描述效應(yīng)項(xiàng).此時(shí)，總效應(yīng)S自然也服從正態(tài)分布，其均值μS和標(biāo)準(zhǔn)差σS分別如下：

4 考慮彎剪耦合作用的可靠度分析法

建立如下極限狀態(tài)方程：

R與S相互獨(dú)立.區(qū)別于一元隨機(jī)變量的極限狀態(tài)方程，考慮彎剪耦合作用時(shí)，R與S都是二元變量.

可靠度分析方法采用可靠指標(biāo)β考慮隨機(jī)變量的2階統(tǒng)計(jì)量.在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下，β的幾何意義是極限狀態(tài)曲面與原點(diǎn)的最小距離.因此，在普通正態(tài)空間下，極限狀態(tài)方程的β可由圖5表示.圖中，d代表從控制效應(yīng)均值點(diǎn)到抗力包絡(luò)線均值的距離，σZ代表極限狀態(tài)Z的標(biāo)準(zhǔn)差，m為抽樣數(shù).

對(duì)彎剪復(fù)合隨機(jī)效應(yīng)的均值歷程進(jìn)行數(shù)值搜索，確定控制效應(yīng)點(diǎn)后，采用以下公式求得考慮彎剪耦合作用的可靠指標(biāo)：

圖5 彎剪耦合可靠度計(jì)算圖示Fig.5 Rated figure of moment－shear coupling reliability

式中：θ為彎矩方向（水平軸）與距離d方向的夾角；μRM，μRV分別為耦合抗力均值的彎矩、剪力分量；μSM，μSV分別為復(fù)合效應(yīng)均值的彎矩、剪力分量；δR，δS分別為耦合抗力、復(fù)合效應(yīng)的變異系數(shù).

5 算例

算例選用交通行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)——整體式鋼筋混凝土4×16m的連續(xù)板橋（JT／GQB 008－96），橫斷面見圖6.采用C25混凝土，設(shè)計(jì)荷載汽車－20級(jí)，掛車－100.現(xiàn)評(píng)估該類橋型的次中支點(diǎn)截面（支座B處）的承載能力.

（1）彎剪耦合抗力

圖7示出彎剪耦合抗力的設(shè)計(jì)值與標(biāo)準(zhǔn)值，圖例括號(hào)中“B”代表標(biāo)準(zhǔn)值，“S”代表設(shè)計(jì)值.

圖7 彎剪耦合抗力Fig.7 Moment－shear coupling resistance

依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)［16］，對(duì)材料與幾何參數(shù)隨機(jī)變量描述如表2，分布類型皆為正態(tài).

表2 材料與幾何參數(shù)隨機(jī)變量Tab.2 Material and geometric parameters random variables

由上述輸入?yún)?shù)的概率模型，采用Monte－Carlo法抽樣1000次，確定截面B（支座B）在純彎、純剪下的材料特性不定性系數(shù)N和幾何參數(shù)不定性系數(shù)F，如表3.根據(jù)式（8），（9），可確定抗力概率模型的統(tǒng)計(jì)參數(shù)R，見表4.應(yīng)用表4的抗力概率模型，確定不同規(guī)范的抗力均值曲線，以及純彎、純剪下的抗力抽樣統(tǒng)計(jì)，如圖8所示.

表3 材料特性和幾何參數(shù)不定性系數(shù)Tab.3 Uncertainty factor for material properties and geometric parameters

表4 抗力概率模型Tab.4 Probability model of resistance

（2）彎剪復(fù)合效應(yīng)

通過有限元分析，分別確定恒載和汽車－20作用下截面效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)值，進(jìn)而根據(jù)表1和式（10）及（11）確定總效應(yīng)S的概率模型.圖9給出恒、活載總效應(yīng)均值時(shí)程，由圖可見，彎矩、剪力峰值未同時(shí)出現(xiàn)，任何單一峰值對(duì)應(yīng)的彎剪狀態(tài)往往并非控制效應(yīng).

圖9 恒、活載總效應(yīng)均值時(shí)程Fig.9 Temporal process of mean effect of dead and live load

（3）可靠度評(píng)估

按照本方法，對(duì)目標(biāo)截面進(jìn)行考慮彎剪耦合作用的可靠度評(píng)估；作為對(duì)比，同時(shí)按照傳統(tǒng)的彎剪獨(dú)立串聯(lián)可靠度方法［3－4］計(jì)算，如圖10所示.

圖10 目標(biāo)截面可靠度評(píng)估Fig.10 Reliability assessment for the target section

對(duì)比柱1與柱2（圖10柱狀圖的左起第1、第2個(gè)）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)采用考慮彎剪耦合作用的可靠度方法分析時(shí)，該截面在最不利荷載下的失效機(jī)制為彎剪破壞，可靠指標(biāo)β＝4.75.而采用傳統(tǒng)評(píng)估方法時(shí)，截面受最不利彎矩控制，失效機(jī)制為彎曲破壞；串聯(lián)相應(yīng)的彎曲與剪切兩種失效機(jī)制的失效概率后，β＝5.18.兩者差異的主要原因是：兩種算法的控制效應(yīng)不同，效應(yīng)控制點(diǎn)與抗力邊界的最小距離相異.

對(duì)比柱2與柱3（圖10左起第2、第3個(gè)柱）發(fā)現(xiàn)，都采用傳統(tǒng)評(píng)估方法時(shí)，AASHTO規(guī)范抗力所得的可靠指標(biāo)高于GB 04規(guī)范.這是由于GB 04規(guī)范在純彎、純剪時(shí)的抗力值較低.

對(duì)比可見，對(duì)于復(fù)合效應(yīng)中彎矩、剪切分量都較大的截面，傳統(tǒng)評(píng)估方法偏不安全；尤其是對(duì)于落入圖3中黑色區(qū)域的復(fù)合效應(yīng)，可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的評(píng)估結(jié)論，造成維護(hù)決策失誤.

（4）參數(shù)分析

分別采用本方法與傳統(tǒng)的彎剪獨(dú)立串聯(lián)可靠度方法，考察在不同彎剪復(fù)合抗力作用下截面的可靠指標(biāo)變化情況.

當(dāng)效應(yīng)彎矩分量SM恒定（8MN·m）時(shí)，可靠指標(biāo)β隨剪力分量SV的變化見圖11a.可見，當(dāng)剪力小于3MN時(shí)，本方法計(jì)算的β大于傳統(tǒng)方法；在效應(yīng)處（彎矩為8MN·m，剪力為2MN）發(fā)生突變，是由于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的抗力邊界與前2個(gè)效應(yīng)點(diǎn)不同；當(dāng)剪力大于3MN后，本方法計(jì)算的β小于傳統(tǒng)方法.同理，將SV恒定（4MN）時(shí)，β隨SM的變化示于圖11b.可見，本方法計(jì)算的β小于傳統(tǒng)方法.

圖11 β分別與SV和SM的關(guān)系Fig.11 Relationship between moment effect component and reliability indexβ

綜上，當(dāng)控制截面的復(fù)合效應(yīng)彎、剪分量都較大時(shí)，傳統(tǒng)的彎、剪獨(dú)立串聯(lián)可靠度方法偏于不安全，需要采用考慮彎、剪耦合作用的可靠度評(píng)估方法.

6 結(jié)論

（1）若不考慮抗力的彎剪耦合作用，只按照純彎、純剪抗力值評(píng)估，會(huì)人為擴(kuò)大效應(yīng)的安全區(qū)域，形成較大的誤判區(qū)域.由于可靠指標(biāo)反映了效應(yīng)與抗力邊界的距離，這一點(diǎn)在不確定性分析中體現(xiàn)得更為明顯.

（2）對(duì)于復(fù)合效應(yīng)中彎矩、剪切分量都較大的截面，其失效機(jī)制是彎剪耦合破壞，傳統(tǒng)的彎剪獨(dú)立串聯(lián)可靠度法結(jié)果偏不安全，可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的評(píng)估結(jié)論，引起維護(hù)決策失誤.此時(shí)，需要采用考慮彎剪耦合作用的可靠度評(píng)估方法.

［1］中交公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院.JTG60—2004 公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范［S］.北京：中國計(jì)劃出版社，2004.China Highway Planning and Design Institute.JTG60—2004 Highway bridge design general specification［S］.Beijing：China Planning Press，2004.

［2］中交公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院.JTG62—2004 公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：中國計(jì)劃出版社，2004.China Highway Planning and Design Institute.JTG62—2004 Reinforced concrete and prestressed concrete highway bridge design specifications ［S］. Beijing： China Planning Press，2004.

［3］Estes A C，F(xiàn)rangopol D M.Repair optimization of highway bridges using system reliability approach［J］.Journal of Structural Engineering，1999，125（7）：766.

［4］Akgul F，F(xiàn)rangopol D M.Lifetime performance analysis of existing steel girder bridge superstructures［J］.Journal of Structural Engineering，2004，130（12）：1875.

［5］高謙，吳順川，萬林海.土木工程可靠性理論及其應(yīng)用［M］.北京：中國建材工業(yè)出版社，2007.GAO Qian，WU Shunchuan，WAN Linhai.Reliability theory and application in civil engineering［M］.Beijing：China Building Materials Industry Press，2007.

［6］American Association of Seate Highway and Transportation Officials.Load and resistance factor bridge design specification［S］.Washington：AASHTO，1994.

［7］Jaswant N，Arlekar C V R.Murty shear moment interaction for design of steel beam－to－column connections［C］／／13th World Conference on Earthquake Engineering.Vancouver：The Canadian Association for Earthquake Engineering，2004.

［8］Mostafaei H，Vecchio F J，Kabeyasawa T.A simplified axialshear－flexure interaction approach for load and displacement capacity of reinforced concrete columns［C］／／ASCE Conference Proceeding on Improving the Seismic Performance of Existing Buildings and Other Structures.［S.l.］：ASCE，2009：69－79.

［9］Hamut?uogˇlu O M，Scott M H.Finite element reliability analysis of bridge girders considering moment－shear interaction［J］.Structural Safety，2009，31（5）：356.

［10］Bentz E C，Vecchio F J，Collins M P.Simplified modified compression field theory for calculating shear strength of reinforced concrete elements［J］.ACI Structural Journal，2006，103（4）：614－624.

［11］交通部公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院公路橋梁可靠度研究課題組.公路橋梁可靠度研究［R］.北京：交通部公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院，1994.Highway Bridge Reliability Research Group.Reliability of highway bridges［R］.Beijing：Highway Planning and Design Institute of Ministry of Communications，1994.

［12］石雪飛，王曉明，阮 欣.考慮空間變異性的在役鋼筋混凝土梁橋失效概率評(píng)估［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2011，44（6）：74.SHI Xuefei，WANG Xiaoming，RUAN Xin.Failure probability assessment of existing RC beam bridges considering spatial variability［J］.China Civil Engineering Journal.2011，44（6）：74.

［13］Turan T O，Higgins C，Rosowsky D V.Statistical modeling of coupled shear－moment resistance for RC bridge girders［J］.Journal of Bridge Engineering，2008，13（4）：351.

［14］貢金鑫.工程結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2003.GONG Jinxin.Reliability calculation method in engineering structural［M］.Dalian：Dalian University of Technology Press，2003.

［15］應(yīng)天益.基于WIM數(shù)據(jù)的橋梁汽車荷載及其效應(yīng)分析［D］.上海：同濟(jì)大學(xué)橋梁系，2009.YING Tianyi.Analysis on traffic load effects on bridges based on WIM Data［D］.Shanghai：Tongji University.Department of Bridge Engineering，2009.

［16］交通部公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院.GB／T50283—1999 公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)［S］.北京：中國計(jì)劃出版社，1999.Highway Planning and Design Institute of Ministry of Communications.GB／T 20283—1999 Unified Standard for reliability design of highway engineering structures ［S］.Beijing：China Planning Press，1999.