生命線工程網(wǎng)絡(luò)抗震優(yōu)化算法研究

劉 威，李 杰

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 建筑工程系，上海 200092）

生命線工程系統(tǒng)是維系現(xiàn)代城市與區(qū)域經(jīng)濟(jì)功能的基礎(chǔ)性工程設(shè)施系統(tǒng)［1］.大多數(shù)生命線系統(tǒng)是以網(wǎng)絡(luò)的形式分布在城市或較大的區(qū)域范圍內(nèi)，如城市的供水、供燃?xì)夤芫W(wǎng)，區(qū)域的電力網(wǎng)絡(luò)等.對(duì)生命線工程系統(tǒng)而言，僅僅實(shí)現(xiàn)各個(gè)單體的抗震性能分析以及系統(tǒng)的整體性能評(píng)價(jià)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，更重要的是利用這些分析工具進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)抗震性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)，以最低造價(jià)保證系統(tǒng)具有足夠的抗震性能［1］.

管網(wǎng)系統(tǒng)的抗震可靠性優(yōu)化可以從提高系統(tǒng)單元的抗震可靠度和改進(jìn)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)兩條路徑來(lái)進(jìn)行.研究表明［1］，綜合考慮工程實(shí)際中的各種因素，改進(jìn)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，要明顯優(yōu)于僅僅提高單元的抗震可靠度.在管網(wǎng)抗震拓?fù)鋬?yōu)化方面，文獻(xiàn)［2］利用遺傳算法進(jìn)行了基于抗震功能可靠性的供水系統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化研究.文獻(xiàn)［3－4］則采用遺傳算法和模擬退火算法，初步實(shí)現(xiàn)了基于連通可靠度分析的生命線管網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化.已有研究工作表明，遺傳算法和模擬退火算法各有特點(diǎn)，其優(yōu)劣尚沒(méi)有比較研究.

本文首先介紹了基于生命線管網(wǎng)抗震連通可靠度的工程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的抗震拓?fù)鋬?yōu)化模型，然后分別介紹利用遺傳算法、模擬退火算法和遺傳－模擬退火混合算法進(jìn)行生命線網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的抗震拓?fù)鋬?yōu)化方法.同時(shí)，利用兩個(gè)算例對(duì)比分析上述三種算法的計(jì)算效率和計(jì)算結(jié)果.

1 管網(wǎng)優(yōu)化模型的建立

工程實(shí)際中，在保證安全合理的情況下，經(jīng)濟(jì)性是優(yōu)化改造和優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要目標(biāo).本管網(wǎng)系統(tǒng)優(yōu)化以網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為優(yōu)化對(duì)象、抗震可靠度為優(yōu)化約束條件、管網(wǎng)建設(shè)造價(jià)為優(yōu)化目標(biāo)來(lái)進(jìn)行.

管網(wǎng)系統(tǒng)的造價(jià)一般可以寫為

式中：lij，dij分別為i，j節(jié)點(diǎn)之間的管線長(zhǎng)度和直徑，m；γij為連通系數(shù)，鋪設(shè)該管線取1，不鋪設(shè)則取0；c（lij，dij）表示管線的造價(jià)，通常用下列函數(shù)估算：

式中：a1，a2和a3都是常數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際工程的造價(jià)采用回歸方法得到.對(duì)于供燃?xì)饩W(wǎng)絡(luò)，則可以分別取為－144.3609，4313.3000和1.0000［5］.

以供燃?xì)夤芫W(wǎng)的造價(jià)為優(yōu)化目標(biāo)，可以建立如下的優(yōu)化模型：

式中：Pmin為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的抗震可靠度最小值，可采用最小路遞推分解算法［6］獲得；P0為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的抗震可靠度約束.

2 單元重要度分析

顯然，系統(tǒng)中每個(gè)單元對(duì)系統(tǒng)可靠度的貢獻(xiàn)是不同的，有些單元的貢獻(xiàn)比較大，而另外一些單元?jiǎng)t比較小.對(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)單元進(jìn)行重要度分析，能夠?yàn)榇_定網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的優(yōu)化方向提供信息.

一般情況下，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的單元重要度依賴于單元可靠度和系統(tǒng)可靠度.曹晉華等［7］給出了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中單元r的概率重要度定義

式中：PS，Pf分別為系統(tǒng)的可靠度和失效概率；pr，qr分別是網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中r單元的可靠概率和失效概率.可以看出，r的概率重要度是網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)S的可靠度對(duì)r可靠概率的變化率.因此越大，即Iprob，r越大，r對(duì)系統(tǒng)可靠度的影響也越大，也就越重要.

由最小路遞推分解算法［6］，可得單元r對(duì)節(jié)點(diǎn)i的概率重要度計(jì)算公式為

式中：Lm為求節(jié)點(diǎn)i連通可靠度時(shí)系統(tǒng)的一條不交最小路；R為所有的不交最小路數(shù)目.而P（Lm）對(duì)r可靠度的偏導(dǎo)數(shù)為

然而，單元概率重要度只反映單元的可靠度變化對(duì)系統(tǒng)可靠度的影響，無(wú)法反映單元的投資效率.考慮造價(jià)因素，可以引入投資重要度概念.任意單元r對(duì)節(jié)點(diǎn)i的投資重要度定義為

式中：cr為網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中r的造價(jià)，由式（2）計(jì)算得到.

可見(jiàn)，單元投資重要度的實(shí)質(zhì)是單位造價(jià)的單元概率重要度.單元的投資重要度越高，說(shuō)明通過(guò)改造此單元，可以較少的費(fèi)用獲取系統(tǒng)可靠性較大的提高.所以，單元的投資重要度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù)，能夠指導(dǎo)系統(tǒng)可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì).

3 遺傳算法

遺傳算法是由美國(guó)科學(xué)家Holland［8］借鑒生物進(jìn)化原則提出的一種自適應(yīng)并行全局優(yōu)化概率搜索算法，近年來(lái)發(fā)展迅速，在各領(lǐng)域廣泛應(yīng)用［9－10］.

下面結(jié)合管網(wǎng)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題來(lái)介紹基本遺傳算法的具體運(yùn)算步驟與原理.

3.1 編碼

采用0－1編碼，當(dāng)基因值為0時(shí)，表示該基因?qū)?yīng)的管線不鋪設(shè)；當(dāng)基因值為1時(shí)，表示鋪設(shè)該基因?qū)?yīng)的管線.所有優(yōu)化參數(shù)對(duì)應(yīng)的基因按照指定的次序排列起來(lái)，就構(gòu)成一條染色體.一個(gè)染色體對(duì)應(yīng)管網(wǎng)的一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)方案，多條染色體構(gòu)成遺傳算法的一個(gè)種群.

3.2 生成初始種群

采用隨機(jī)策略來(lái)生成一組個(gè)體.但必須注意，隨機(jī)生成的管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可能是工程中無(wú)意義的解.例如，非連通圖對(duì)應(yīng)的管網(wǎng)結(jié)構(gòu)在工程實(shí)踐中無(wú)意義.所以，在隨機(jī)生成個(gè)體后，首先要判斷管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的合理性.對(duì)于不合理個(gè)體，簡(jiǎn)單地修補(bǔ)；修補(bǔ)后的個(gè)體仍不合理，則拋棄之，重新生成新個(gè)體.

3.3 個(gè)體評(píng)價(jià)

因管網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)是獲得滿足抗震可靠度要求的最低造價(jià)管網(wǎng)，而遺傳算法中一般定義適應(yīng)度高的解為較優(yōu)解，故定義染色體的適應(yīng)度函數(shù)為

式中：M為預(yù)先指定的一個(gè)較大數(shù)值；C（X）為個(gè)體對(duì)應(yīng)管網(wǎng)的造價(jià)；S（X）為懲罰函數(shù)，用下式計(jì)算：

式中：Cmax，Cmin為當(dāng)前群體中個(gè)體造價(jià)的最大、最小值；Pmin，u為當(dāng)前群體中第u個(gè)體中節(jié)點(diǎn)連通可靠度最低值；v＝1，2，…，K，K為當(dāng)前群體個(gè)體數(shù).

3.4 遺傳操作

遺傳操作包括選擇、交叉和變異操作.選擇操作采用無(wú)放回的適應(yīng)度比例方法和最佳個(gè)體保存方法.即上一代最優(yōu)的個(gè)體必然進(jìn)入到下一代，并且上一代的每個(gè)個(gè)體遺傳到下一代中只有一個(gè).交叉操作選擇一點(diǎn)交叉方法進(jìn)行.變異操作對(duì)個(gè)體的每一個(gè)基因位，按一變異概率對(duì)其值作取反運(yùn)算，從而產(chǎn)生一個(gè)新的個(gè)體.下面結(jié)合管網(wǎng)單元的投資重要度來(lái)確定管網(wǎng)中每個(gè)單元的變異概率.

首先，計(jì)算管網(wǎng)中各個(gè)單元的重要度

式中：epro，ri為網(wǎng)絡(luò)中第r個(gè)單元對(duì)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的投資重要度，由式（7）得到；n為網(wǎng)絡(luò)中不滿足節(jié)點(diǎn)可靠度最低約束要求的節(jié)點(diǎn)數(shù)；N為網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)數(shù).

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中單元對(duì)應(yīng)的基因?yàn)?時(shí)，則其通過(guò)變異操作變?yōu)?的變異概率由下列線性插值公式計(jì)算：

式中：Pmax，01，Pmin，01為單元從0轉(zhuǎn)換為1的最大概率和最小概率，分別取0.8和0.5；Imax，Imin為當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)中單元重要度的最大值和最小值.

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中單元對(duì)應(yīng)的基因?yàn)?時(shí)，其通過(guò)變異操作變?yōu)?的變異概率由下列線形插值公式計(jì)算：

式中：Pmax，10，Pmin，10為單元從1轉(zhuǎn)換為0的最大概率和最小概率，分別取0.4和0.1.

經(jīng)過(guò)式（11）和（12）的計(jì)算，重要度大的單元從0變?yōu)?的概率高，從1變?yōu)?的概率低；而重要度小的單元?jiǎng)t相反，從0變?yōu)?的概率低，從1變?yōu)?的概率高.顯然，利用單元投資重要度可在一定程度上確定搜索方向，加快優(yōu)化收斂速度.

3.5 收斂判斷

遺傳算法通常的停止規(guī)則有計(jì)算達(dá)到固定的最大進(jìn)化代數(shù)、解群體間差異充分小等規(guī)則.筆者采用計(jì)算達(dá)到固定的最大進(jìn)化代數(shù).

4 模擬退火算法

4.1 基本原理和計(jì)算步驟

模擬退火算法的思想最早由 Metropolis［11］提出，由Kirkpatrick［12］在1983年成功地應(yīng)用在組合最優(yōu)化問(wèn)題中.模擬退火算法是模擬物理系統(tǒng)退火過(guò)程的隨機(jī)性迭代尋優(yōu)方法，具有易實(shí)現(xiàn)和全局漸近收斂的特點(diǎn).理論上已經(jīng)證明［13］，如果計(jì)算無(wú)限次，模擬退火算法必然搜索到全局最優(yōu)解.

模擬退火算法用如下準(zhǔn)則確定的轉(zhuǎn)移概率來(lái)確定是否接受從當(dāng)前解u到新解v的轉(zhuǎn)移：

對(duì)于管網(wǎng)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，模擬退火算法的具體操作步驟為：

① 隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)初始解，以此作為當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn)并計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值.

②根據(jù)初始溫度及降溫函數(shù)確定當(dāng)前溫度t，如果t低于終止溫度，則結(jié)束計(jì)算，否則轉(zhuǎn)③.

③ 隨機(jī)變動(dòng)當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn)，產(chǎn)生一個(gè)新解，計(jì)算新解的目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)式（13）確定接受新解的概率.

④ 產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，如果其小于或等于接受新解的概率，則接受新解，否則拒絕.

⑤判斷當(dāng)前溫度下計(jì)算次數(shù)是否達(dá)到規(guī)定的次數(shù)，若是轉(zhuǎn)②，否則轉(zhuǎn)③.

模擬退火算法除接受優(yōu)化解外，還在一個(gè)限定范圍內(nèi)接受惡化解.這正是該算法與其他局部搜索算法的本質(zhì)區(qū)別.

4.2 有關(guān)參數(shù)和技術(shù)

（1）目標(biāo)函數(shù) 管網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)是獲得滿足節(jié)點(diǎn)最低可靠度約束條件下造價(jià)最低的管網(wǎng).在模擬退火算法中，目標(biāo)函數(shù)低的解優(yōu)于目標(biāo)函數(shù)高的解，故采用如下方法計(jì)算目標(biāo)函數(shù)：

式中：C（u）為個(gè)體對(duì)應(yīng)管網(wǎng)的造價(jià)；Psum，u＝（P0－Pv），當(dāng)P0＞Pv時(shí)；α，β為常數(shù)，分別取10和1.

（2）溫度參數(shù)的控制 溫度參數(shù)是模擬退火算法中最關(guān)鍵的參數(shù)，主要包括起始溫度t0的選取、溫度的下降方法、每一溫度迭代次數(shù)的確定等.

從理論上來(lái)說(shuō)，起始溫度應(yīng)保證平穩(wěn)分布中每一個(gè)狀態(tài)的概率相等，也就是使

式中，Δfuv＝f（u）－f（v）.因此，t0需要取一個(gè)較大的數(shù)值，現(xiàn)采用的估計(jì)值為t0＝10 Cmax.

采用如下的溫度更新函數(shù)來(lái)模擬降溫過(guò)程：

式中，γ為降溫系數(shù)，一般0＜γ＜1，本文取為0.7；k為當(dāng)前進(jìn)化的代數(shù).模擬退火算法每一溫度的迭代長(zhǎng)度采用固定長(zhǎng)度法獲取.固定長(zhǎng)度法是一個(gè)最簡(jiǎn)單的方法，在每一溫度，迭代相同的步數(shù).

（3）隨機(jī)擾動(dòng)模型 模擬退火算法從一初始解出發(fā)，通過(guò)降溫迭代尋找最優(yōu)解.在降溫過(guò)程中，不斷地對(duì)當(dāng)前解隨機(jī)擾動(dòng)以產(chǎn)生新解.可以采用遺傳算法中變異操作方法來(lái)進(jìn)行.注意到模擬退火算法中只有一個(gè)解且并不一定接受劣解，故此時(shí)的Pmax，01，Pmin，01以及 Pmax，10，Pmin，10均應(yīng)大于相應(yīng)遺傳算法的值，取值分別為0.9，0.6和0.6，0.3.

（4）算法的終止原則 采用零度法，即給定一個(gè)較小的終止溫度tf，當(dāng)溫度tk≤tf時(shí)，算法停止.

5 遺傳-模擬退火混合算法

實(shí)踐表明，遺傳算法容易早熟，導(dǎo)致無(wú)法搜索到最優(yōu)解.究其原因，主要是生成新解的過(guò)程主要依靠交叉操作，而變異操作一般由于變異概率過(guò)小而作用不大，從而搜索范圍過(guò)小.為了克服這個(gè)問(wèn)題，考慮到模擬退化算法中的擾動(dòng)操作過(guò)程類似于變異操作，同時(shí)這一過(guò)程產(chǎn)生的解變異性較大且會(huì)以一定概率接收，其可以增強(qiáng)遺傳算法的搜索能力，故將模擬退火算法引入到變異操作中，可以發(fā)展出一類遺傳－模擬退火混合算法［14］.

混合算法計(jì)算過(guò)程與遺傳算法基本上一樣，只是在變異操作時(shí)采用模擬退火操作.這里的模擬退火操作，實(shí)際上相當(dāng)于模擬退火算法在同一溫度下多次操作擾動(dòng)產(chǎn)生新解→判斷優(yōu)劣→以一定概率接收新解的過(guò)程.這一過(guò)程中，溫度由初始溫度和當(dāng)前進(jìn)化的代數(shù)決定，即式（16）中的k為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù).因此，遺傳－模擬退火混合算法的計(jì)算過(guò)程如下：

① 隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)初始種群作為當(dāng)種種群.

② 對(duì)當(dāng)前種群分別進(jìn)行選擇、交叉操作，對(duì)交叉操作產(chǎn)生的每個(gè)管網(wǎng)分別進(jìn)行模擬退火操作.

③將上述三個(gè)操作產(chǎn)生的所有管網(wǎng)合并起來(lái)作為當(dāng)前種群.

④ 重復(fù)②和③，直到種群代數(shù)達(dá)到規(guī)定數(shù).

6 分析實(shí)例

6.1 算例1

圖1為一供燃?xì)饩W(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，源點(diǎn)為1，節(jié)點(diǎn)2～10為匯點(diǎn)，管線單元屬性見(jiàn)表1，總造價(jià)為5920萬(wàn)元.假設(shè)各管線單元抗震可靠度都為0.9.

圖1 算例1的管網(wǎng)Fig.1 Network of Example 1

表1 圖1管網(wǎng)單元屬性Tab.1 Pipeline characteristics of the network in Figure 1

由于該網(wǎng)絡(luò)至少要有9條邊才能形成一棵最小樹(shù)，故全部可行子網(wǎng)為＝3473個(gè).對(duì)上述3473個(gè)子網(wǎng)分析連通可靠度，發(fā)現(xiàn)相應(yīng)節(jié)點(diǎn)最低可靠度約束分別為0.7，0.8和0.9的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)分別如圖2所示［15］.分別利用三種優(yōu)化算法優(yōu)化管網(wǎng).三種算法的參數(shù)為：①遺傳算法，種群個(gè)體數(shù)為90，計(jì)算代數(shù)為50，交叉操作概率為0.8.②模擬退火算法：同一溫度下迭代步數(shù)為50.③遺傳－模擬退火混合算法，種群個(gè)體數(shù)為90，計(jì)算代數(shù)為50，交叉操作概率為0.8，同一溫度下迭代步數(shù)為5.

為了比較計(jì)算效率，每種算法分別計(jì)算1000次，每次計(jì)算都是將算法從頭開(kāi)始重新計(jì)算.各算法得到圖2的最優(yōu)結(jié)果的次數(shù)如表2所示.

圖2 算例1的可靠度約束分別為0.7，0.8，0.9時(shí)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)Fig.2 The optimal network when p0is 0.7，0.8，0.9for example 1

表2 算例1的三種算法計(jì)算效率對(duì)比Tab.2 Efficiency comparison of three algorithm for example 1 次

從表2可以看出，三種算法中，遺傳－模擬退火混合算法的計(jì)算效率相當(dāng)好，幾乎每次都可以搜索到最優(yōu)結(jié)果；而模擬退火則性能比較差，大約只有20%～30%的次數(shù)搜索到了最優(yōu)解；遺傳算法的搜索能力則介于兩者之間.

6.2 算例2

圖3中的供燃?xì)饩W(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)比算例1復(fù)雜.其源點(diǎn)為1，節(jié)點(diǎn)2～16為匯點(diǎn)，管線單元屬性和抗震可靠度見(jiàn)表3，管網(wǎng)總造價(jià)為3048萬(wàn)元.由于該網(wǎng)絡(luò)至少要有15條邊才能形成一棵最小樹(shù)，故全部可行子網(wǎng)中＝2579130≈260萬(wàn)個(gè).對(duì)上述260萬(wàn)個(gè)子網(wǎng)分析連通可靠度，獲相應(yīng)節(jié)點(diǎn)最低可靠度約束P0分別為0.7，0.8和0.9的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)（見(jiàn)圖4）.

圖3 算例2的管網(wǎng)Fig.3 Network of Example 2

分別采用三種算法來(lái)優(yōu)化，計(jì)算參數(shù)同算例1.由于這個(gè)算例比算例1復(fù)雜，從計(jì)算時(shí)間上考慮，每種算法只分別計(jì)算100次.各算法得到圖4的最優(yōu)結(jié)果的次數(shù)如表4所示.

從表4可以看出，與算例1一樣，遺傳－模擬退火混合算法的計(jì)算效率最好，大約有70%的次數(shù)可以搜索到最優(yōu)結(jié)果；而模擬退火則性能比較差，只有不到20%左右；遺傳算法則介于兩者之間.

表3 圖3的管網(wǎng)單元屬性Tab.3 Pipeline characteristics of the network in Figure 3

從上面兩個(gè)算例可以看出，對(duì)于本文的管網(wǎng)抗震拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，混合算法性能最好，遺傳算法次之，而模擬退火算法較差.兩種算法較好的原因在于它們均為并行算法，每個(gè)種群中基因數(shù)較多，因此在產(chǎn)生新的種群時(shí)可利用的信息較多.模擬退火算法實(shí)質(zhì)是一種串行算法，在產(chǎn)生新解時(shí)只有一個(gè)解的信息可利用.另外，混合算法用模擬退火操作代替遺傳算法中的變異操作，有效地增加了算法的搜索空間，改善了遺傳算法中變異操作產(chǎn)生新解能力較差的問(wèn)題，使得性能有了較大地提高.

表4 算例2的三種算法計(jì)算效率對(duì)比Tab.4 Efficiency comparison of three algorithms for example 2 次

7 結(jié)論

對(duì)10節(jié)點(diǎn)14條邊的燃?xì)夤芫W(wǎng)優(yōu)化分析表明，遺傳－模擬退火混合算法的性能最好，幾乎每次都可搜索到最優(yōu)結(jié)果；模擬退火則性能較差，大約只有20%～30%的次數(shù)搜索到最優(yōu)解；遺傳算法的搜索能力則介于兩種算法之間，約有58%～80%的次數(shù)搜索到了最優(yōu)解.對(duì)16個(gè)節(jié)點(diǎn)24條邊的網(wǎng)絡(luò)分析可以給出類似的結(jié)論：遺傳－模擬退火混合算法的計(jì)算效率最好，大約有70%的次數(shù)搜索到最優(yōu)結(jié)果；而模擬退火則性能比較差，只有不到20%左右的次數(shù)搜索到了最優(yōu)解；遺傳算法的搜索能力則介于兩種算法之間，約有20%～40%的次數(shù)搜索到最優(yōu)解.

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