平面二次包絡(luò)四軸四聯(lián)動(dòng)數(shù)控磨床加工原理及實(shí)驗(yàn)研究*

韓興國 黎亞元 和法洋

（①桂林航天工業(yè)高等專科學(xué)校，廣西桂林541004;②西華大學(xué)數(shù)控技術(shù)研究所，四川成都610039;③上海合眾重工有限公司，上海 201506）

平面二次包絡(luò)蝸桿傳動(dòng)是我國在20世紀(jì)70年代研制的一種新型的機(jī)械傳動(dòng)方式，具有效率高、壽命長、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，特別適用于現(xiàn)代機(jī)械重載、高速的要求，產(chǎn)品深受客戶歡迎［1］。但由于這種蝸桿加工工藝非常復(fù)雜、設(shè)備專用、價(jià)格昂貴，所以應(yīng)用推廣受到較大限制。為了克服這些問題，我們通過深入研究，提出了一種利用數(shù)控圓插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)加上砂輪架自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以及被磨削蝸桿的軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的新加工工藝，并在此基礎(chǔ)上開發(fā)了四軸四聯(lián)動(dòng)的數(shù)控磨床。該磨床克服了原來存在的問題，使加工的蝸桿的中心距可在很大的范圍內(nèi)變化，而且機(jī)床結(jié)構(gòu)緊湊，節(jié)省了空間、提高了效率。該磨床已投入到生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)驗(yàn)證符合加工要求。

1 加工原理

平面二次包絡(luò)四軸四聯(lián)動(dòng)數(shù)控磨床的工作原理如圖1所示，X向和Z向雙層工作臺(tái)上安裝了可繞自身旋轉(zhuǎn)的砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)，上面安裝了磨削頭。X、Z軸聯(lián)動(dòng)實(shí)現(xiàn)圓插補(bǔ)，帶動(dòng)砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)和磨削頭作軌跡為圓的平移運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)如讓砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)帶動(dòng)磨削頭按一定規(guī)律繞回轉(zhuǎn)中心O2的作B軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)X、Z、B三軸聯(lián)動(dòng)即可保證砂輪的產(chǎn)形面始終與基圓相切。它們與蝸桿的主回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)C合成即實(shí)現(xiàn)四軸聯(lián)動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)蝸桿與蝸輪的嚙合運(yùn)動(dòng)完成整個(gè)加工。通過分析論證，這種加工工藝完全符合平面二次包絡(luò)蝸桿的磨削加工原理［2］。

2 運(yùn)動(dòng)分析

以加工工件的位置為基準(zhǔn)，插補(bǔ)圓的圓心由工件蝸桿副的中心距a決定，在工件喉頸圓弧中心線上，它也是蝸輪的基圓圓心，這個(gè)插補(bǔ)圓心可以通過數(shù)控編程實(shí)現(xiàn)，所以非常靈活也很容易實(shí)現(xiàn)。這樣就不必為了制造大中心距的蝸桿而制造大型的磨床，大大簡化了磨床結(jié)構(gòu)，調(diào)整也比較方便。

如圖2所示，O0為插補(bǔ)圓、基圓、理想磨削圓的圓心，O2為砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)中心，AB為砂輪產(chǎn)形面，A表示加工蝸桿的砂輪產(chǎn)形面上的磨削邊緣點(diǎn)。X、Z作逆圓插補(bǔ)時(shí)，砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)中心由O2→O'2→O″2。若是沒有添加回轉(zhuǎn)臺(tái)自身的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)B，砂輪磨削邊緣點(diǎn)移動(dòng)的軌跡就是圖中的A→A'1→A'2，很明顯可以看出這時(shí)磨削邊緣點(diǎn)的位置超出了磨削圓的軌跡，與基圓不同心。要使產(chǎn)形面與基圓相切，必須把磨削頭繞中心O2轉(zhuǎn)一角度進(jìn)行補(bǔ)償。若添加了回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，磨削邊緣點(diǎn)的位置由A→A1→A2，其運(yùn)動(dòng)軌跡就是要求的磨削圓。且AB、A1B1、A2B2的延長線均與基圓相切，滿足了環(huán)面蝸桿的嚙合原理。

對(duì)于不同型號(hào)的環(huán)面蝸桿，在加工前已經(jīng)確定了基圓半徑rb、蝸桿的齒頂圓弧半徑Ra1和齒根圓弧半徑Rf1。磨削半徑AO0的大小介于齒頂圓弧半徑和齒根圓弧半徑之間。磨削邊緣點(diǎn)A的坐標(biāo)，在對(duì)刀時(shí)確定，AB、O2B的大小在機(jī)床設(shè)計(jì)階段已經(jīng)確定了。

如圖3所示，AB為砂輪磨削的初始位置，與基圓相切。砂輪隨著雙層工作臺(tái)的插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)，延插補(bǔ)圓轉(zhuǎn)過一角度θ3，平動(dòng)到ΔO'2A'1B'1位置，為使磨削邊緣點(diǎn)A1'位于理想的磨削圓上，砂輪繞砂輪架回轉(zhuǎn)中心O'2轉(zhuǎn)動(dòng)角度 θ2，到達(dá)位置 ΔO'2A1B1。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)［2－3］，砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)繞自身的回轉(zhuǎn)中心O2回轉(zhuǎn)的角度與圓插補(bǔ)軌跡的回轉(zhuǎn)角度有一定的幾何關(guān)系，即θ2=θ3。

ΔO2AB隨插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)平移至ΔO'2A1'B'1位置時(shí)，繞過O'2的B軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θ2與回轉(zhuǎn)工作臺(tái)隨插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的角度θ3相等時(shí)，砂輪磨削邊緣點(diǎn)的位置正好在磨削圓上，滿足加工要求。

3 數(shù)學(xué)建模

3.1 坐標(biāo)架設(shè)定

X向、Z向?qū)к?、砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)、主軸等部件可視為剛體，可以用齊次坐標(biāo)變換矩陣來描述機(jī)床的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)圖1所示的加工原理和包絡(luò)環(huán)面成形原理，設(shè)置坐標(biāo)架如圖 4，其中 σ（O0;x0，y0，z0）為定標(biāo)架，O0為虛擬插補(bǔ)圓圓心，過O0點(diǎn)作經(jīng)蝸桿軸心線的平面W。σ1（O1;x1，y1，z1）為設(shè)置在蝸桿上的的定標(biāo)架，O1為喉頸中心線與蝸桿軸心線的交點(diǎn)，在平面W內(nèi)O1O0為嚙合中心距a，X方向由O1指向O0，Z沿蝸桿軸心線方向，Y與X、Z符合右手笛卡爾坐標(biāo)系。為了簡化計(jì)算，在砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)上設(shè)置定標(biāo)架 σ2（O2;x2，y2，z2），在X向工作臺(tái)上設(shè)置 σ3（O3;x3，y3，z3），在Z向工作臺(tái)上設(shè)置 σ4（O4;x4，y4，z4），在主軸上設(shè)置 σ5（O5;x5，y5，z5）。各定標(biāo)架的X、Y、Z方向相同。

假設(shè)在初始位置時(shí)，坐標(biāo)系 σ2、σ3、σ4重合，原點(diǎn)O2、O3、O4重合且為砂輪回轉(zhuǎn)工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸在平面W上的垂足，設(shè)其在定標(biāo)架σ0中的坐標(biāo)為（x0，0，z0）。同時(shí)假設(shè)坐標(biāo)系σ1與σ5重合，原點(diǎn)O1與O5重合且在σ0中的坐標(biāo)為（－a，0，0）。在砂輪產(chǎn)形面與蝸桿相截平面的瞬時(shí)接觸線上任取一點(diǎn)P，設(shè)O0P為r，O1P為r1，O2P 為 r2。

3.2 坐標(biāo)變換矩陣

（1）根據(jù)齊次坐標(biāo)變換理論［4］，當(dāng)砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)作B軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)φ2時(shí)，定標(biāo)架σ2相對(duì)于σ3的齊次坐標(biāo)變換矩陣為

（2）當(dāng)工作臺(tái)沿著X方向運(yùn)動(dòng)x時(shí)，定標(biāo)架σ3相對(duì)σ4的齊次坐標(biāo)變換矩陣為

（3）當(dāng)工作臺(tái)沿著Z向運(yùn)動(dòng)z時(shí)，由于定標(biāo)架σ4的原點(diǎn)在 σ0中的坐標(biāo)為（x0，0，z0），因此定標(biāo)架 σ4相對(duì)于σ0的齊次坐標(biāo)變換矩陣為

（4）當(dāng)主軸繞著C軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)φ1時(shí)，定標(biāo)架σ1相對(duì)σ5的齊次坐標(biāo)變換矩陣為

（5）由于 σ5的原點(diǎn)在 σ0中的坐標(biāo)為（－a，0，0），因此定標(biāo)架標(biāo)系σ5相對(duì)于σ0的齊次坐標(biāo)變換矩陣為

P點(diǎn)在砂輪產(chǎn)形面與蝸桿相截平面的瞬時(shí)接觸線上，因此在理想狀態(tài)下砂輪產(chǎn)形面上的點(diǎn)P（x2，y2，z2）應(yīng)與蝸桿上的點(diǎn)D（x1，y1，z1），在定標(biāo)架 σ0中重合。

設(shè)置在砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)上的定標(biāo)架σ2相對(duì)σ0的齊次坐標(biāo)變換矩陣傳遞鏈為:砂輪回轉(zhuǎn)工作臺(tái)→X向工作臺(tái)→Z向工作臺(tái)→定標(biāo)架σ0。

設(shè)置在蝸桿上的定標(biāo)架σ1相對(duì)定標(biāo)架σ0的齊次坐標(biāo)變換矩陣傳遞鏈為:蝸桿→主軸→定標(biāo)架σ0。

由上面的推導(dǎo)可得到為

代入后計(jì)算得到為

4 加工模型

4.1 嚙合方程和嚙合函數(shù)

在數(shù)控加工過程中砂輪回轉(zhuǎn)臺(tái)、Z向?qū)к壓蚗向?qū)к壍暮铣蛇\(yùn)動(dòng)為在σ0（O0;x，y，z）中以r為半徑，以ω2為角速度繞B軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

則:P（x2，y2，z2）點(diǎn)在 σ0（O0;x，y，z）的坐標(biāo)為（x0+x2，y2，z0+z2）。

取動(dòng)標(biāo)架 σ'0（O'0;x'，y'，z'），在初始位置時(shí)與 σ0（O0;x，y，z）重合。當(dāng)砂輪回轉(zhuǎn)工作臺(tái)繞B軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)標(biāo)架σ'0也繞B軸轉(zhuǎn)動(dòng)相同的角度。

下面在動(dòng)標(biāo)架 σ'0（O'0;x'，y'，z'）中進(jìn)行分析:

嚙合函數(shù)和嚙合方程依次為

其中:n為嚙合點(diǎn)P處的單位法向量;v21為嚙合點(diǎn)P處的相對(duì)速度向量。

相對(duì)速度的表達(dá)式為

由圖4可得到為

為了簡化運(yùn)算，令 ω1=1，則 ω2=i21，因此 ω2= －i21y'，ω1=sinφ2x'+cosφ2z'

則

則

如圖5所示，在砂輪產(chǎn)形面上設(shè)置定標(biāo)架σ6（O6;x6，y6，z6），其原點(diǎn)在 σ2（O2;x2，y2，z2）中的坐標(biāo)為（0，0，b），與B點(diǎn)重合。X方向與σ2（O2;x2，y2，z2）的X方向相反，Y方向與σ2（O2;x2，y2，z2）中的Y方向夾角為β。σ6（O6;x6，y6，z6）與 σ2（O2;x2，y2，z2）是固聯(lián)在一起的。

設(shè)P在 σ6（O6;x6，y6，z6）中的坐標(biāo)為（u，v，0），在產(chǎn)形面內(nèi)過P作垂線，與產(chǎn)形面和底面W的交線垂直，垂足為P0，PP0長度為v，P0到定標(biāo)架 σ2（O2;x2，y2，z2）的Z軸的距離為u。則P在σ2中的坐標(biāo)為（x2，y2，z2）=（－u，－vcosβ，b－vsinβ），在動(dòng)標(biāo)架 σ'2中，產(chǎn)形面方程為

于是:ru=（－1，0，0），rv=（0，－cosβ，－sinβ）

單位法向量為

把n、v21代入得嚙合方程為

當(dāng) sinφ2≠0 時(shí)，把（x2，y2，z2）=（－u，－vcosβ，b－vsinβ）代入，整理得到為

4.2 砂輪上的瞬時(shí)接觸線方程

根據(jù)嚙合理論知識(shí)，砂輪產(chǎn)形面上的瞬時(shí)接觸線方程為

將（x2，y2，z2）=（－u，－vcosβ，b－vsinβ）與上式聯(lián)立，即可求出在定標(biāo)架σ2中的瞬時(shí)接觸線的方程為

按上式確定瞬時(shí)接觸線的步驟為:

（1）根據(jù)設(shè)計(jì)要求和機(jī)床的參數(shù)，確定a、i、β、b;

（2）確定初始位置（x0，0，z0）;

（3）確定u的取值范圍;

（4）給定φ2一個(gè)值（在規(guī)定的取值范圍內(nèi)），取一系列的u值，則由式（23）中的第一式求出與之對(duì)應(yīng)的一系列的v值;

（5）將求出的一系列v值依次代入式（23）中后面3個(gè)式子中，就求出一組相接觸點(diǎn)的坐標(biāo);

（6）利用平滑曲線連接這些坐標(biāo)點(diǎn)，即可確定一條瞬時(shí)接觸線;

（7）再給出一個(gè)φ2值，重復(fù)上述步驟，求出另一條瞬時(shí)接觸線。依此類推，即可求出在選定的β值下的一系列瞬時(shí)接觸線。

4.3 蝸桿齒面方程

把接觸線方程由定標(biāo)架σ2轉(zhuǎn)到σ1，則與之共軛的就是蝸桿齒面的接觸線，可求得蝸桿齒面方程［5－6］。蝸桿齒面的坐標(biāo)方程式為

上式中 φ1、u是蝸桿的獨(dú)立參數(shù)，確定（x0，y0，z0）后當(dāng)給定一個(gè)φ2值，取不同的u值就可以得到一系列的點(diǎn)（x1，y1，z1），把這些點(diǎn)用平滑的曲線連起來，就得到坐標(biāo)系σ1上的一條接觸線。每給出一個(gè)φ1，就可以得到一條接觸線，依此類推，可以求出多條接觸線，這些接觸線的集合就是蝸桿齒面。

5 磨削實(shí)驗(yàn)

采用基于CDK6150數(shù)控車床改造的平面二次包絡(luò)四軸四聯(lián)動(dòng)數(shù)控磨床（如圖6）進(jìn)行磨削實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)加工的蝸桿的主要參數(shù)見表1。加工蝸桿的程序如下:

主程序:

子程序P12:

表1 平面二次包絡(luò)蝸桿主要參數(shù)

根據(jù)磨削原理，利用平面二次包絡(luò)四軸四聯(lián)動(dòng)數(shù)控磨床加工出的平面二次包絡(luò)蝸桿如圖7所示，該數(shù)控磨床加工調(diào)整及操作方便，效率較高。通過對(duì)比，磨削加工的蝸桿質(zhì)量及表面粗糙度與加工二次包絡(luò)蝸桿普通磨床相比有較大改善，蝸桿的表面粗糙度和精度均能夠達(dá)到要求，效果很好。

6 結(jié)語

通過大量的切削實(shí)驗(yàn)證明，自主研發(fā)的平面二次包絡(luò)四軸四聯(lián)動(dòng)數(shù)控磨床能達(dá)到加工生產(chǎn)要求，它可以加工中心距80～500 mm，蝸桿頭數(shù)l～8頭的相應(yīng)模數(shù)的蝸桿;既能加工環(huán)面包絡(luò)蝸桿，也能加工圓柱、螺紋蝸桿。這也充分說明平面二次包絡(luò)四軸四聯(lián)動(dòng)數(shù)控磨床的加工工藝原理正確、可行，該磨床具有一定的推廣價(jià)值。但是在實(shí)踐中一些問題仍有待解決，如:當(dāng)加工不同工件時(shí)砂輪頭的位置需要調(diào)整，使砂輪頭的回轉(zhuǎn)力臂發(fā)生變化，從而使精度的穩(wěn)定性受到影響，還有如何提高數(shù)控插補(bǔ)精度等深層次問題。相信經(jīng)過研究和改進(jìn)，機(jī)床的質(zhì)量會(huì)有進(jìn)一步提高。

［1］和法洋，黎帆，張珂，等.平面二次包絡(luò)四軸四聯(lián)動(dòng)數(shù)控磨床數(shù)學(xué)建模及精度分析［J］.機(jī)床與液壓，2009，37（11）:11 －13.

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