基于消費水平的公共設施選址與設計問題研究

萬 波，楊 超，黃 松，董 鵬

（1.華中科技大學 管理學院，湖北 武漢 430074；2.江漢大學 檔案館，湖北 武漢 430056）

城市公共服務設施布局狀況直接關(guān)系著城市公共服務供給的效率和質(zhì)量，對于推進城市和諧社會建設起著基礎性的作用，因而公共服務設施選址問題引起了各國學者們的廣泛關(guān)注［1］。

TOREGAS等最早將集覆蓋選址模型應用于解決消防中心和救護車等的應急服務設施的選址問題［2］。MOORE等提出基于分級的帶容量限制的覆蓋選址模型，使各級服務設施覆蓋人口最大化［3］。PIZZOLATO等利用無容量約束的 P－中位模型，以所有居民到學校的總的行走距離最小化為目標，對巴西的學校選址問題進行了研究［4］。TEIXEIRA等將層級選址模型運用于公共服務設施領域，對學校選址問題進行了研究［5］。MARIANOV等考慮了擁塞情況下公立服務設施與私立服務設施的競爭選址問題［6］。PLASTRIA等假設消費者將全部需求分配給最有吸引力的設施，研究了同時優(yōu)化選址和設計決策的多設施選址問題［7］。EISELT等考慮了單個設施、一個設計屬性（即質(zhì)量）和需求非彈性的基于空間交互模型的競爭選址問題［8］。ABOOLIAN等提出了一類離散情形下的競爭選址設計問題，對選址和設施有限的設計情形進行優(yōu)化［9］。

然而上述文獻中均未考慮需求點的消費水平對于設施選址與設計的影響。此外，目前的選址問題對設施屬性設計主要限于容量設計，而對其他屬性設計研究得較少。

基于此，筆者通過定義消費水平函數(shù)來反映顧客的消費水平，通過重力模型來反映顧客對于公共設施的選擇概率，在預算有限制的條件下，建立了基于消費水平的公共設施選址與設計模型。該模型不僅考慮了應該在哪些備選設施節(jié)點處建立免費設施或者收費設施，同時也考慮了如何確定建立的每個收費設施的屬性，由于該模型是一個混合整數(shù)規(guī)劃問題，筆者設計了相應的遺傳算法對該模型進行求解。

1 模型背景與相關(guān)理論

1.1 問題背景

為了滿足各種需求層次的居民對公共服務的需求，需要考慮消費水平與設施服務效用的差異性。各個需求點的人員組成結(jié)構(gòu)不同，收入水平也不同，導致其消費水平存在差異性。在進行收費設施選址時，需考慮需求點的消費水平，以保證在現(xiàn)有財政預算條件下，讓盡可能多的具有消費能力的需求者能夠享受到優(yōu)質(zhì)資源。

1.2 符號含義與相關(guān)理論

1.2.1 符號含義

同時定義如下的決策變量:xij為源于需求點i的需求分配給j點收費設施的份額；yj表示如果服務設施定位于j點，yj=1，否則為零；就屬性l而言，yjl為服務設施j相對于基本水平的改善水平。

1.2.2 Huff重力模型

引入Huff重力模型，對需求點的客戶進行分配。同一個需求點的顧客按照設施的效用根據(jù)一定的概率來選擇各個設施。設施效用由距離與設施吸引力決定，其中吸引力由硬件與軟件等多種屬性決定。

對于收費設施而言，位于j點設施的吸引力可定義為:

對于免費設施而言，Aj=αj，即免費設施的吸引力為基準吸引力。位于j點的設施對于需求點i上顧客的效用為:

對于收費設施而言，其效用與設施的吸引力成正比，與設施和需求點的距離成反比。對于免費設施而言，因其吸引力為常量，故其效用僅與距離成反比［10］。對于收費設施而言，需求點i上的客戶分配給設施j的比例為:

其中，分母表示需求點i分配給其所有收費設施的效用與分配給其最近的一個免費設施的效用之和，也就是說需求點的需求要么分配給最近的免費設施，要么分配給收費設施。

1.2.3 消費水平函數(shù)

為了保證收費設施服務效用最大化，即在目前財政預算限制條件下，盡可能充分發(fā)揮優(yōu)質(zhì)資源的使用效率，需要定義滿足如下性質(zhì)的消費水平函數(shù):單調(diào)遞增的凹函數(shù)，且二階可微。這類函數(shù)很多，可選取如下函數(shù)作為消費水平函數(shù):

當Ri→∞時，g（Ri）→1，說明需求點i的需求分配給優(yōu)質(zhì)資源的比例趨近于1；當Ri→0時，g（Ri）→0，說明需求點i的需求分配給優(yōu)質(zhì)資源的比例趨近于0，消費水平函數(shù)圖如圖1所示［11］。

圖1 消費水平函數(shù)圖

2 模型建立與求解算法

2.1 基于消費水平的公共設施選址與設計模型

在進行設施選址時，因經(jīng)濟發(fā)展水平的約束，需考慮的經(jīng)費預算約束為:

上式左邊第一項為免費設施的基本建設成本，第二項為收費設施建設成本，包括基本建設成本與設施改善成本。式中cl（yjl）表示對于設施j而言，將屬性l由基本水平提高到y(tǒng)jl水平的成本，yj∈Vl，?j∈C。

筆者引入Huff重力模型，在最大覆蓋選址模型（maximum covering location model，MCLM）基礎上提出基于消費水平的公共設施選址與設計模型（PFLDMCL），對公共服務設施選址與設計問題進行求解。該模型以追求優(yōu)質(zhì)資源的效用最大化為目標，考慮基本需求全覆蓋及設施建設經(jīng)費約束等條件。模型目標函數(shù)及約束如下:

其中，式（1）表示優(yōu)質(zhì)資源（收費設施）服務效用最大化；式（2）～式（5）在Huff重力模型及消費水平函數(shù)中已經(jīng)解釋；式（6）確保源于所有需求點的需求都能享受基本的免費服務；式（7）表示當j點未建立收費設施時，設計變量為零；式（8）表示設施預算約束；式（9）和式（10）表示決策變量的取值范圍。

2.2 求解算法

由于最大覆蓋選址問題是 NP－h(huán)ard問題［12］，筆者的模型是在最大覆蓋選址模型基礎上建立的，因此也是NP－h(huán)ard問題，沒有有效的算法。筆者設計的算法分成兩部分，第一部分用LINGO軟件求解免費設施的選址問題［13］，第二部分利用遺傳算法求解收費設施的選址與設計問題。模型求解算法分成兩個階段。

第一階段求解如下集覆蓋問題:

第二階段利用遺傳算法求解最大覆蓋問題。

（1）調(diào)用crtbp函數(shù)，創(chuàng)建一個n位的染色體，種群個數(shù)為NIND的初始種群，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。染色體的前n0位為備選設施選址信息（0表示不作為設施選址點，1表示作為設施選址點），n1位為相應選址點的屬性1的改善水平（0表示屬性為良好，1表示屬性為優(yōu)秀），n2位為屬性2的改善水平，以此類推。

圖2 染色體結(jié)構(gòu)

（2）根據(jù)選擇的初始種群求目標函數(shù)值，迭代次數(shù)gen=0；

（3）調(diào)用ranking函數(shù)，分配適應度值；

（4）調(diào)用select函數(shù)，使用隨機遍歷抽樣選擇NIND個個體；

（5）調(diào)用recombin函數(shù)和mut函數(shù)，以一定的交叉概率對種群進行重組和變異操作，并檢驗是否滿足式（8），對不滿足約束的變異，要隨機產(chǎn)生可以滿足約束條件的染色體；

（6）將步驟（4）和步驟（5）得到的種群進行合并，選擇最優(yōu)的 NIND個個體組成新的種群NewChrom；

（7）將NewChrom作為初始的種群。gen=gen+1，重復步驟（3）及以下步驟的操作，直到gen達到最大迭代次數(shù)count時停止迭代，得出收費設施的最優(yōu)解（j∈C）。

3 實例分析

以武漢市某區(qū)小學選址與設計為例，根據(jù)該區(qū)的人口分布情況進行聚類，可將開發(fā)區(qū)居民點聚類成50 個需求點，即 I={i1，i2，…，i50}，設免費設施候選點的集合F和收費設施候選點的集合C與需求點的集合I相同，即F=C=I={i1，i2，…，i50}。將學校的屬性L確定為兩種:師資隊伍為1，硬件設備為2；將不同屬性的改善水平分為兩等，即良好和優(yōu)秀，將其量化為 Vl={0.1，0.2}；定義不同屬性的敏感度參數(shù){θ1，θ2}={2，1}。設引力敏感度參數(shù)、距離敏感度參數(shù)、消費敏感度參數(shù)分別為α=β=λ=1，學校的基準吸引力αj=1，設免費設施的吸引力與基準吸引力相同。免費小學的覆蓋半徑為2.5 km。假設小學的基本建設成本為1000萬元，改善師資的成本c1（yj1）={c1（0.1，0.2）}={10，50}，改善設備的成本c2（yj2）={c2（0.1，0.2）}={5，25}，該區(qū)財政預算經(jīng)費B=12900萬元。

為了切合真實情況，將dij考慮為學生從居住地到學校的實際行程，使用Arcview GIS網(wǎng)絡分析功能可求得距離矩陣。需求點i的消費水平參數(shù)Ri由各個需求點的收入水平確定。wi為50個居民區(qū)的小學適齡入學學生人口數(shù)。因dij、Ri、wi數(shù)據(jù)量大，在此不一一列出。設置最大迭代次數(shù)count=100次，利用Matlab7.0編程，分3類情況進行討論。

情況1 預算確定情況下的學校選址與設計問題求解結(jié)果如圖3和圖4所示。由圖3可知，遺傳算法對求解該模型具有良好的收斂性，在迭代次數(shù)count=18時收斂。預算確定情況下，免費與收費設施的選址與設計屬性如圖4所示。由圖4可知，需建立10所免費學校，其編號為:7，8，25，29，37，41，42，44，48，49；建立兩所收費學校，其編號為:15，17，其中兩所學校的師資屬性均為優(yōu)秀，硬件屬性均為良好。兩所收費學校距離較近，因為該區(qū)域人口眾多，且為該區(qū)內(nèi)收入最高的區(qū)域，為了保證有能力的消費者能夠充分享受到優(yōu)質(zhì)的教育資源，故選擇以上兩點作為收費學校選址點。

圖3 預算確定時迭代次數(shù)與目標函數(shù)值關(guān)系圖

圖4 預算確定情況下學校選址與設計圖

情況2 新增需求點后學校選址與設計問題。假定該區(qū)需新建兩個配套生活小區(qū)，已存在設施的候選點集合不變，新增的兩個小區(qū)也作為候選點集，即 I={i1，i2，…，i52}，求解選址與設計問題，其求解結(jié)果如圖5所示。

圖5 新增需求點后迭代次數(shù)與目標函數(shù)值關(guān)系圖

由圖5可知，遺傳算法求解該模型具有良好的收斂性，在迭代次數(shù)count=41時收斂。新增需求點后學校選址與設計屬性如圖6所示。由圖6可知，需建立11所免費學校，即在預算確定情況所確定的10所免費學校的基礎上新增加1所編號為52的免費學校，另外，需建立兩所收費學校，其編號為:16，51，其中兩所學校的師資屬性均為良好，硬件屬性前者為優(yōu)秀，后者為良好。

圖6 新增需求點后學校選址與設計圖

結(jié)果表明，與情況1相比，在不增加預算的前提下，首先保證基本需求，即新增1所免費學校，然而，由于預算并沒有增加，故收費設施的服務等級要受到影響，即原來有兩個優(yōu)秀與兩個良好，現(xiàn)在變?yōu)?個優(yōu)秀，3個良好。另外，收費學校選址點發(fā)生了變化，原因為新增的51、52點的需求人數(shù)相當大，且消費水平較高，故新增的需求點附近要有收費學校來滿足需求，同時為了平衡新建居民區(qū)與老居民區(qū)對優(yōu)質(zhì)教育資源的需求，因而選擇編號為16、51的點作為收費學校選址點。

情況3 預算及消費水平變化后的學校選址與設計問題。假定國家對公共設施的投入持續(xù)增長，消費者的消費水平持續(xù)提高，筆者以5年規(guī)劃為例，討論該區(qū)的預算及消費水平變化后的學校選址與設計問題。假設財政預算經(jīng)費B每年按4%增長，需求點的消費水平Ri每年按10%增長，在此情況下免費學校的選址情況不變，收費學校的選址與設計結(jié)果如表1所示。

表1 收費學校選址及其屬性設計

由表1可知，隨著投入經(jīng)費的增加與消費水平的提高，第2年與第1年相比，兩所收費學校的屬性發(fā)生了明顯的變化，即設備屬性均由良好變?yōu)閮?yōu)秀。第3年與第2年相比，收費學校的數(shù)目發(fā)生了變化，即增加了1所收費學校。同樣，第4年與第3年比屬性有改善，第5年與第4年比，增加了1所收費學校。結(jié)果表明，隨著對公共設施投入水平的增加，優(yōu)質(zhì)資源從質(zhì)與量上均將得以改善。

4 結(jié)論

筆者考慮了顧客的消費水平，基于Huff重力模型，以最大化收費設施的效用為目標，建立了一類基于消費水平的公共設施選址與設計模型。筆者以武漢市某區(qū)為例進行案例分析，結(jié)果表明，采用遺傳算法求解該模型的收斂性較好。從案例所討論的3種情況來看，收費設施建設于人口比較集中且消費水平較高的選址點；在不增加預算的前提下，首先保證基本需求，即新增免費學校，而收費設施的服務等級要受到影響；隨著對公共設施投入水平的增加，優(yōu)質(zhì)資源在質(zhì)與量上均將得到改善。

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