光纖光柵振動(dòng)傳感器的振動(dòng)理論分析

陳 幫，郭明金，王熙熙

（武漢理工大學(xué)光纖傳感技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070）

隨著社會(huì)進(jìn)步、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和生活質(zhì)量的提高，人們的安全防范需求也在不斷增長(zhǎng)。周界入侵報(bào)警系統(tǒng)作為安全防范的首要防線，目前主要采用主動(dòng)紅外入侵傳感器［1－2］、微波對(duì)射入侵傳感器［3－4］、激光對(duì)射傳感器、振動(dòng)傳感電纜傳感器［5］和泄漏電纜入侵傳感器［6－7］，這些傳感器的主要缺點(diǎn)是受氣候環(huán)境的干擾較大，誤報(bào)率較高。光纖干涉型振動(dòng)傳感器［8－10］雖然克服了上述傳感器的缺點(diǎn)，但由于其原理的限制，不能對(duì)入侵的位置進(jìn)行精確定位。而新型光纖布喇格光柵振動(dòng)傳感器［11］既保留了光纖振動(dòng)傳感器的抗電磁干擾、信息容量大和傳輸距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn)，又克服了不能精確定址的缺點(diǎn)，具有靈敏度高、響應(yīng)時(shí)間短、誤報(bào)和漏報(bào)率低等優(yōu)點(diǎn)?；诠饫w布喇格光柵振動(dòng)傳感器的周界入侵報(bào)警系統(tǒng)可廣泛應(yīng)用于機(jī)場(chǎng)、油庫(kù)、核電站、軍事基地、監(jiān)獄外墻、住宅小區(qū)、銀行金庫(kù)、石油管道和高速公路隔離帶等，是今后周界入侵報(bào)警系統(tǒng)發(fā)展的方向。

筆者著重從理論上分析了光纖布喇格光柵振動(dòng)傳感器的振動(dòng)特性，將其近似為單質(zhì)點(diǎn)的弦振動(dòng)模型，對(duì)其進(jìn)行等效剛度變換并等效為簡(jiǎn)單的彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)。首先確定系統(tǒng)的阻尼比，然后根據(jù)系統(tǒng)阻尼比計(jì)算出系統(tǒng)的最大振幅以及光纖長(zhǎng)度的最大變化量，通過(guò)與丹麥BK公司生產(chǎn)的型號(hào)為7700的振動(dòng)臺(tái)測(cè)得的光纖長(zhǎng)度實(shí)際最大變化量相比較，來(lái)檢測(cè)彈性系數(shù)等效法是否準(zhǔn)確。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明彈性系數(shù)等效法完全正確，且相對(duì)誤差低，同時(shí)該分析方法簡(jiǎn)單，能為光纖布喇格光柵振動(dòng)傳感器在今后周界入侵報(bào)警系統(tǒng)中的應(yīng)用提供理論支持。

1 光纖布喇格光柵振動(dòng)傳感器結(jié)構(gòu)及模型

光纖布喇格光柵振動(dòng)傳感器的原理如圖1所示。光纖兩端固定，在布喇格光柵附近固定一質(zhì)量塊，質(zhì)量塊的尺寸為φ 5 mm×15 mm，材料為不銹鋼基粉末冶金材料，最后用不銹鋼或玻璃封裝。

圖1 光纖布喇格光柵振動(dòng)傳感器結(jié)構(gòu)原理

由于光纖兩端固定，且光纖的質(zhì)量與質(zhì)量塊的質(zhì)量相比完全可以忽略不計(jì)，可以把光纖作為沒(méi)有質(zhì)量，只有彈性的彈簧。因此光纖布喇格光柵振動(dòng)傳感器可近似為單質(zhì)點(diǎn)的弦振動(dòng)，如圖2所示。質(zhì)量塊m=16 g，質(zhì)量塊m到端點(diǎn)的距離L=50 mm。

為簡(jiǎn)化模型便于分析，將單質(zhì)點(diǎn)弦振動(dòng)等效為縱向振動(dòng)，如圖3所示。設(shè)光纖的彈性系數(shù)為k1，等效彈性系數(shù)為k，實(shí)驗(yàn)測(cè)得系統(tǒng)的固有頻率為20 Hz，由振動(dòng)的固有頻率f=，可得:

圖2 單質(zhì)點(diǎn)弦振動(dòng)

圖3 縱向振動(dòng)

2 物理模型推導(dǎo)

2.1 具有粘性阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

無(wú)阻尼的自由振動(dòng)只是一種假設(shè)狀況，在實(shí)際中任何系統(tǒng)的振動(dòng)都不可避免地存在阻力，因而自由振動(dòng)都是會(huì)衰減的，振幅將隨著時(shí)間而逐漸衰減，直至為0。由于粘性阻力與速度成線性關(guān)系，因此，為了簡(jiǎn)化振動(dòng)問(wèn)題的分析，通常假設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼。

該微分方程式是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。它的通解可以用二階線性常系數(shù)齊次微分方程式的通解x1（t）和特解 x2（t）之和表示［13］，即:

其中:x1（t）為阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)，在小阻尼的情況下，x1（t）=Ae－ntsin（ωrt+φr）是一個(gè)衰減振動(dòng)，只在開(kāi)始振動(dòng)后某一較短時(shí)間內(nèi)有意義，隨著時(shí)間的增加，將持續(xù)衰減，由于實(shí)驗(yàn)研究的是受迫振動(dòng)中的等幅振動(dòng)，故可以省去x1（t）；x2（t）為阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。從微分方程式非齊次項(xiàng)是正弦函數(shù)這一性質(zhì)可知特解亦為正弦函數(shù)，它的頻率與激振頻率相同。因此可以設(shè)特解為:

Hd（ω）為位移頻響函數(shù)，將x2（t）的一階導(dǎo)和二階導(dǎo)代入式（3）可得［14］:

從式（7）可以看出，具有粘性阻尼的系統(tǒng)受到簡(jiǎn)諧激振力作用時(shí)，受迫振動(dòng)也是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率與激振ω相同，振幅A、相位角φ取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)（質(zhì)量m、彈簧的剛度k、粘性阻尼系數(shù)c）和激振力的性質(zhì)（加速度a、頻率ω），而與初始條件無(wú)關(guān)。

2.2 系統(tǒng)的阻尼比

由式（6）可知，為了求出系統(tǒng)的振幅，必須求出系統(tǒng)的阻尼比ξ，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的頻響進(jìn)行分析，可以確定系統(tǒng)的阻尼比ξ。

為求幅頻曲線峰值所對(duì)應(yīng)的角頻率ω1，可通過(guò)對(duì)式（6）求極值的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，令:

由式（9）解得:

由于一般工程結(jié)構(gòu)的阻尼比都較小（ξ≤0.1），則可認(rèn)為:ω1= ωn。由此可見(jiàn)，幅頻特性曲線峰值對(duì)應(yīng)的頻率可以確定為系統(tǒng)的固有頻率。即相頻特性曲線在－90°處對(duì)應(yīng)的頻率為系統(tǒng)的固有角頻率。

在半功率點(diǎn)處，頻響函數(shù)的幅值可表示為［15］:

解式（11），可得到兩個(gè)近似解:

易知，a、b兩頻率特性曲線所對(duì)應(yīng)的相位分別為:

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

由式（10）～式（15）的分析可知幅頻特性曲線在半功率點(diǎn)處以及相頻特性曲線在 －45°和－135°處所對(duì)應(yīng)的頻率分別為 ωn、ωa和 ωb，按式（14）確定系統(tǒng)的阻尼比ξ。

系統(tǒng)位移頻響函數(shù)的幅頻和相頻曲線如圖4所示，系統(tǒng)的固有頻率 ωn=20 Hz；ωa=18 Hz；ωb=22 Hz。

圖4 系統(tǒng)位移頻響函數(shù)的幅頻和相頻曲線

阻尼比為:

粘性阻尼系數(shù)為:

把k=252.4 N/m，c=0.4 N·s/m，F(xiàn)0=ma=16 ×10－3×3=0.048 N 代入式（6），有:

最大振幅時(shí)，光纖的長(zhǎng)度變化量Δl1為:

對(duì)于有效彈光系數(shù)pe=0.22的石英光纖，易知［16］:ΔλB=0.78λBεx。

其中，λB為光纖光柵的反射中心波長(zhǎng)（λB=1303.82 nm）；εx為光纖光柵的軸向應(yīng)變，εx==7.81 ×10－5，則光纖光柵的中心波長(zhǎng)變化量為:

光纖光柵中心波長(zhǎng)變化圖如圖5所示。由圖5可知，對(duì)光纖光柵振動(dòng)傳感器施加1～50 Hz的正弦掃頻，施加的加速度為3 m/s2，掃頻頻率為1 kHz/s。實(shí)驗(yàn)所用的信號(hào)發(fā)生裝置來(lái)自丹麥BK公司，其型號(hào)分別為:Heterodyne Analyzer Type2010、Power Amplifier Type 2719、Preeision Conditioning Amplifier TyPe2650、Vibration Exciter Type 4808；解調(diào)儀由武漢理工大學(xué)光纖中心自行研制。實(shí)際測(cè)得光纖光柵的中心波長(zhǎng)變化量為70 pm（1303.89－1303.82=0.07 nm）。

圖5 光纖光柵中心波長(zhǎng)變化圖

通過(guò)上述分析計(jì)算可知，光纖光柵的振動(dòng)理論波長(zhǎng)變化量為79.42 pm，實(shí)際測(cè)量的波長(zhǎng)變化量為70 pm，雖然在同一個(gè)數(shù)量級(jí)，還是存在一定誤差，產(chǎn)生誤差的原因可能有:①測(cè)量所取的點(diǎn)較少，不能夠全面反映光纖光柵的振動(dòng)狀況；②測(cè)量?jī)x器有誤差；③在理論建模過(guò)程中，忽略了很多變量，造成理論計(jì)算結(jié)果存在誤差。

4 結(jié)論

實(shí)驗(yàn)通過(guò)彈性系數(shù)等效法，把單質(zhì)點(diǎn)的弦振動(dòng)等效為最簡(jiǎn)單的彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)，并分析了光纖布喇格光柵振動(dòng)傳感器的振動(dòng)特性。理論計(jì)算光纖光柵的中心波長(zhǎng)最大變化量為79.42 pm，實(shí)際測(cè)量的光纖光柵中心波長(zhǎng)變化量為70 pm，在同一個(gè)數(shù)量級(jí)，能滿足基于光纖布喇格光柵振動(dòng)傳感器的周界入侵報(bào)警系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用需要。

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