基于高沖擊激勵(lì)的加速度計(jì)參數(shù)辨識(shí)的研究*

胡紅波，于 梅

(中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100013)

壓電加速度計(jì)是一種使用非常廣泛的微機(jī)電裝置，在科學(xué)研究與工業(yè)生產(chǎn)中有著大量的應(yīng)用。目前，相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)都規(guī)定了很成熟的確定壓電加速度計(jì)輸入與輸出關(guān)系的方法［1－2］，但上述加速度計(jì)的校準(zhǔn)方式都屬于基于試驗(yàn)的傳遞函數(shù)估計(jì)(即ETFE)，不能用來(lái)對(duì)激勵(lì)傳感器的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)與估計(jì)，于是計(jì)量領(lǐng)域國(guó)際上近幾年提出了所謂的動(dòng)態(tài)計(jì)量的概念［3－5］，即對(duì)測(cè)量裝置的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行校準(zhǔn)。

通俗地說(shuō)，所謂動(dòng)態(tài)計(jì)量是確定測(cè)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，給出測(cè)量系統(tǒng)完整的幅度與相位響應(yīng)，不再是在時(shí)域確定測(cè)量系統(tǒng)的誤差，儀器儀表等學(xué)科領(lǐng)域?qū)τ谶@些內(nèi)容已經(jīng)做了較為深入的研究。國(guó)內(nèi)這方面突出的貢獻(xiàn)者是北京航空航天大學(xué)黃均欽教授，其專著《測(cè)試系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)》［6］標(biāo)志這一嶄新學(xué)科的建立；合肥工業(yè)大學(xué)徐科軍教授撰寫(xiě)的《傳感器動(dòng)態(tài)特性的實(shí)用研究方法》［7］同樣對(duì)傳感器動(dòng)態(tài)特性研究給出了詳盡的指導(dǎo)，參考文獻(xiàn)［8－13］是各種方法的典型應(yīng)用。本文參考本領(lǐng)域國(guó)內(nèi)外最新的動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)方法［14－16］，根據(jù)壓電加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)建立了其狀態(tài)空間模型，利用最優(yōu)的隨機(jī)濾波技術(shù)Kalman濾波形式，采用基于Hopkinson桿激光絕對(duì)法高沖擊校準(zhǔn)的數(shù)據(jù)對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)，通過(guò)對(duì)模型的驗(yàn)證以及在不同的沖擊激勵(lì)峰值下試驗(yàn)的比較，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 絕對(duì)法沖擊激勵(lì)校準(zhǔn)系統(tǒng)

本文試驗(yàn)所使用校準(zhǔn)系統(tǒng)是依據(jù)ISO16063－13“絕對(duì)法沖擊校準(zhǔn)”標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定建立的高沖擊加速度校準(zhǔn)系統(tǒng)。該系統(tǒng)原理是利用碰撞產(chǎn)生的應(yīng)力波在細(xì)長(zhǎng)桿中傳遞并在自由端反射產(chǎn)生高峰值、窄脈寬的沖擊加速度波形。需要說(shuō)明的是，該激勵(lì)系統(tǒng)產(chǎn)生的沖擊加速度波形是一個(gè)正弦波的形式，不同于碰撞激勵(lì)系統(tǒng)產(chǎn)生的半正弦平方或者高斯形狀的沖擊波形。裝置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 基于Hopkinson桿高gn值沖擊校準(zhǔn)系統(tǒng)

該高沖擊校準(zhǔn)系統(tǒng)的工作過(guò)程是:高壓氣體推動(dòng)子彈在加速管中加速，子彈通過(guò)墊層撞擊Hopkinson桿的一端，產(chǎn)生的應(yīng)力波沿桿傳遞并在安裝有被校加速度計(jì)的桿的另一端反射從而產(chǎn)生沖擊加速度。激光干涉儀測(cè)量Hopkinson桿末端的位移，相應(yīng)的PXI硬件與軟件完成數(shù)據(jù)采集及處理任務(wù)。

2 沖擊加速度信號(hào)的計(jì)算

激光干涉儀測(cè)量的是沖擊過(guò)程中的位移信號(hào)，其輸出是一個(gè)相位調(diào)制的干涉信號(hào)。對(duì)激光干涉信號(hào)解調(diào)可以得到s(t)=s(kT)=s(k)，k=0，1，…，N－1，T為采樣間隔。為了得到一個(gè)低噪聲的位移估計(jì)值(k)，我們采用圖2的方式來(lái)對(duì)位移信號(hào)進(jìn)行處理。

圖2 位移信號(hào)處理過(guò)程

首先對(duì)位移信號(hào)進(jìn)行DCT變換，考慮設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器H(z)，該數(shù)字濾波器H(z)的沖擊響應(yīng)具有與位移信號(hào)經(jīng)過(guò)DCT變換后的前L項(xiàng)相同。具體該濾波器系數(shù)的計(jì)算方法可按照Prony算法來(lái)確定［17］。本文選擇位移信號(hào)經(jīng)過(guò)DCT變換后前200個(gè)系數(shù)，即L=200，濾波器H(z)的分子分母的階次分別選擇45階，得到的低噪聲的位移信號(hào)如圖3所示。

圖3 位移信號(hào)

對(duì)上述位移信號(hào)進(jìn)行微分運(yùn)算后，得到加速度信號(hào)以及傳感器輸出的電壓信號(hào)如圖4所示。

圖4 加速度計(jì)輸入與輸出的信號(hào)及其傅里葉譜

由上圖可以看出，輸入加速度計(jì)的沖擊加速度峰值約為58 000 m/s2，其頻譜范圍較寬，覆蓋從1 kHz到20 kHz，并且其中間某一些頻率成分能量較大，兩側(cè)衰減明顯。

3 加速度傳感器模型的建立

通常我們認(rèn)為加速度計(jì)是一個(gè)線性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，在其線性動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)將其等效為一個(gè)一自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)［18］，如圖5所示。其輸入輸出微分方程如式(1)所示。

圖5 加速度計(jì)等效模型

對(duì)于式(1)所示的二階微分方程，引入狀態(tài)變量x=［x1x2］T，則可以得到一階狀態(tài)微分方程為:

加速度傳感器輸出信號(hào)的方程為:

式中，H=［1 0］，w(t)為測(cè)量噪聲信號(hào)。采用零階保持器對(duì)式(2)進(jìn)行離散化，則可以得到差分方程為:

輸出方程為:

式(4)中，ξT(kT)為零均值高斯分布噪聲。對(duì)于上面的狀態(tài)空間模型，給定y(t)，a(t)，設(shè)x(kT)，y(kT)的期望為 x*(kT)，y*(kT)，運(yùn)用 Kalman濾波器形式［17］，可以得到如下的Kalman濾波器方程。

式中K為Kalman系統(tǒng)矩陣。定義預(yù)測(cè)誤差e(t)=y(kT)－Hx*(kT)，則式(6)可以改寫(xiě)為如下形式。

引入一個(gè)單位的前向移位因子q，則式(7)可以重新寫(xiě)為如下的形式:

上式中:

參數(shù)θ=［δ ω0ρ］T表示傳感器特性參數(shù)向量。

4 傳感器傳遞函數(shù)參數(shù)估計(jì)的方法

通過(guò)前面建立了加速度傳感器的傳遞函數(shù)模型，設(shè)得到的加速度計(jì)輸入輸出數(shù)據(jù)為Z(N)=［y(T)，a(T)，y(2T)，a(2T)，…，y(NT)，a(NT)］，定義任意的一個(gè)系數(shù)K，計(jì)算預(yù)測(cè)誤差e(NT)=y(NT)－Hx*(NT)=e(NT，θ)，最小化下面的范數(shù)

即可以得到參數(shù)的估計(jì)值=argθmin(VN(θ，Z(N))，將參數(shù)估計(jì)值代入式(9)即得到了加速度計(jì)的傳遞函數(shù)GT(q，θ)。

5 試驗(yàn)結(jié)果與模型的驗(yàn)證

利用上述的沖擊校準(zhǔn)裝置，對(duì)選定的加速度計(jì)進(jìn)行絕對(duì)法沖擊校準(zhǔn)。激光干涉儀的干涉信號(hào)與加速度計(jì)輸出的電壓信號(hào)同步采樣，采樣率100 MHz，利用Matlab軟件提供的系統(tǒng)辨識(shí)工具箱［19］，計(jì)算得到該傳感器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線如圖6(a)所示.通過(guò)得到的多項(xiàng)式系數(shù)，可以得到該傳感器的諧振頻率為350 000 rad/s，即為 56 kHz，阻尼 δ為 0.015。根據(jù)傳遞函數(shù)估計(jì)(ETFE)方法，圖6(b)給出了經(jīng)過(guò)辨識(shí)計(jì)算得到的傳遞函數(shù)與按照ETFE計(jì)算得到的傳感器的響應(yīng)曲線。

從圖6(b)我們可以看出，辨識(shí)得到的傳遞函數(shù)與按照ETFE計(jì)算得到的結(jié)果具有良好的一致性。為了進(jìn)一步對(duì)得到的模型參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，我們比較傳感器的實(shí)際輸出與模型計(jì)算得到的輸出，結(jié)果如圖7(a)所示，從該比較圖可以看出，模型的輸出與傳感器的實(shí)際輸出很吻合。圖7(b)顯示了在不同的沖擊加速度峰值下(gn=9.806 65 m/s2)，通過(guò)上述算法計(jì)算得到?jīng)_擊加速度計(jì)在0～20 kHz頻率范圍內(nèi)，加速度計(jì)的幅度譜曲線。

從圖7(b)看出，在不同的加速度峰值下，通過(guò)上述算法所得到的加速度幅度譜差別都在1%以內(nèi)，雖然上述實(shí)驗(yàn)的沖擊加速度峰值范圍比較寬，我們可以認(rèn)為引起上述差別主要的原因是因?yàn)樵肼暥皇羌铀俣扔?jì)的非線性特性。

圖6 辨識(shí)得到傳遞函數(shù)及與ETFE計(jì)算得到傳感器傳遞特性比較

圖7 模型輸出與不同峰值辨識(shí)結(jié)果的比較

6 結(jié)論

本文根據(jù)加速度傳感器的物理結(jié)構(gòu)，用狀態(tài)空間描述了其數(shù)學(xué)模型，通過(guò)激光絕對(duì)法沖擊校準(zhǔn)的數(shù)據(jù)，對(duì)所建立的模型按照相應(yīng)的算法對(duì)其參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)。本文所描述的方法在中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院保存的沖擊標(biāo)準(zhǔn)裝置上進(jìn)行了測(cè)試，試驗(yàn)結(jié)果表明該方法能夠很好的描述傳感器的動(dòng)態(tài)特性。目前本領(lǐng)域國(guó)際上正在制定相關(guān)的激光絕對(duì)法傳感器參數(shù)辨識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)，相信該標(biāo)準(zhǔn)的制定對(duì)于規(guī)范傳感器動(dòng)態(tài)校準(zhǔn)會(huì)起到很大的作用。

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