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    概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究

    2012-10-17 07:26:30
    關(guān)鍵詞:連續(xù)型均勻分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)

    韓 偉

    (赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

    概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究

    韓 偉

    (赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

    本人通過教學(xué)實(shí)踐,深感概率統(tǒng)計(jì)教與學(xué)之難,通過隨機(jī)變量函數(shù)的分布這一具體內(nèi)容,分析了學(xué)生普遍認(rèn)為概率統(tǒng)計(jì)比較難學(xué)的原因,探討了概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)內(nèi)容、方法等方面的教學(xué)改革思路,以期為數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法改革實(shí)踐提供一些參考.

    概率統(tǒng)計(jì);隨機(jī)變量;函數(shù);教學(xué)改革

    概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門十分活躍的理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的學(xué)科,其知識(shí)和方法在各個(gè)領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用,已經(jīng)滲透到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的很多領(lǐng)域.在高等學(xué)校,它是理、工、農(nóng)、醫(yī)、經(jīng)管等許多專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課,正在逐漸成為文史、軍事、教育等專業(yè)的選修課.通過本課程的學(xué)習(xí),使學(xué)生初步掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本理論和方法,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力,這一點(diǎn)在注重應(yīng)用型人才培養(yǎng)的今天,顯得尤為重要.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)與學(xué)生前期所學(xué)的其他數(shù)學(xué)課程具有不同的特點(diǎn):由于隨機(jī)現(xiàn)象的不確定性,使人感到把握不定,主要表現(xiàn)在概念難以建立,方法難以掌握,思維難以展開,習(xí)題無從下手等困惑.在教學(xué)中應(yīng)循序善誘,層層剖析,深入淺出,學(xué)用結(jié)合.下面就隨機(jī)變量函數(shù)分布的教學(xué)談一點(diǎn)粗淺的體會(huì).

    1 概念理論要清楚

    對(duì)于隨機(jī)變量X和連續(xù)函數(shù)Y=g(X)求隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)的一般方法是FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y},再轉(zhuǎn)化成含有X的事件,利用X的分布即可求解.而離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或概率一般使用求和符號(hào)表示的,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或概率一般使用積分符號(hào)表示的,因此又演變出了求離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或概率和連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或概率的具體方法.

    1.1 對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,P{X=xi}=pi,i=1,2,…,求Y的分布.

    1.1.1 若yi=g(xi),i=1,2,…,為單射時(shí),則有

    1.1.2 若yi=g(xi),i=1,2,…,不為單射時(shí),即若xi≠xj時(shí),不一定有yi≠yj,則應(yīng)分別把那些相等的值合并,并根據(jù)概率加法公式把相等的pi相加,就得到 的分布列.

    1.2 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,設(shè)p(X)為隨機(jī)變量X的密度函數(shù),Y=g(X)為連續(xù)函數(shù),求Y的分布函數(shù)或密度函數(shù).

    1.2.1 分布函數(shù)法 也是求Y=g(X)的分布函數(shù)(或密度函數(shù))的通用方法

    a)先求Y的分布函數(shù)

    b)若求Y的密度函數(shù),需對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)

    1.2.2 公式法 對(duì)于單調(diào)可微函數(shù)Y=g(X),Y的分布函數(shù)(或密度函數(shù))可用下面公式求得

    其中 x=g-1(y)是 y=g(x)的反函數(shù),α=min{g(-∞),g(+∞)},β=max{g(-∞),g(+∞)}

    在計(jì)算隨機(jī)變量的函數(shù)的分布時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

    1)首先要準(zhǔn)確求出Y的取值范圍.一般地,由Y=g(X)和X的取值范圍即決定了Y的取值范圍.但是對(duì)于離散型隨機(jī)變量,要注意相同值的合并,相同值之間是“或”的關(guān)系.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,若Y=g(X)不是單調(diào)函數(shù)時(shí),往往需要將區(qū)間化成有限個(gè)或可列個(gè)單調(diào)區(qū)間.然后在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上應(yīng)用公式;

    2)應(yīng)正確計(jì)算Y的分布.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,若Y=g(X)為一般的連續(xù)函數(shù)時(shí),要使用公式(3),先求出FY(y),再求pY(y);

    3)在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的分布函數(shù)(或密度函數(shù))時(shí),得到的往往是分段函數(shù),一定要注意討論.

    2 例題要由淺入深,富有代表性

    離散型的題目較簡(jiǎn)單,在此不述.

    例1 已知隨機(jī)變量X的概率密度為

    求隨機(jī)變量Y=sinX的概率密度.

    接下來求積分,再求導(dǎo)即可.

    對(duì)于這樣的問題,要引導(dǎo)學(xué)生作出圖像,簡(jiǎn)單明了.

    舉一反三:

    1)設(shè)隨機(jī)變量 X在(0,π)內(nèi)服從均勻分布,即 X~U(0,π),試求Y=sinX的分布函數(shù)G(y)和密度函數(shù)g(y).(課本的練習(xí)題)

    2)設(shè)隨機(jī)變量 X 在(-π/2,π/2)內(nèi)服從均勻分布,試求Y=CosX的密度函數(shù)fY(y).

    例2 對(duì)球的直徑X做近似測(cè)量,設(shè)其值均勻分布于區(qū)間[a,b],試求球體積Y的密度函數(shù).

    實(shí)驗(yàn)儀器:H 2 S檢測(cè)儀:PN-2000在線式H 2 S檢測(cè)儀;反應(yīng)釜:江蘇海安石油科技耐高溫高壓抗腐蝕不銹鋼反應(yīng)釜;p H計(jì):上海雷磁PHBJ-260便攜式p H計(jì)。

    又如:設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的事件X服從指數(shù)分布,平均無故障工作的時(shí)間EX為5小時(shí),設(shè)備定時(shí)開機(jī),出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī),而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)FY(y).

    例3 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)FX(x)為嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù),證明Y=FX(X)服從均勻分布.

    說明:當(dāng) y<0 時(shí),F(xiàn)Y(y)=0,當(dāng) y≥1 時(shí),F(xiàn)Y(y)=1,當(dāng) 0≤y<1時(shí),

    這個(gè)例子說明一維連續(xù)型隨機(jī)變量不同的密度函數(shù)p(x)可以對(duì)應(yīng)同一個(gè)分布函數(shù)FX(x).另一方面,這是一個(gè)十分典型的例題,可以有多種變形,如:

    1)設(shè)隨機(jī)變量X服從(a,b)上的均勻分布,令Y=cX+d(c≠0).證明Y服從均勻分布.

    2)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,Y=1-e-2x,在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.

    例4 設(shè)隨機(jī)變量X服從 (-1,1)上的均勻分布,Y=sgnX,求Y的概率分布.

    又如:設(shè)隨機(jī)變量X服從(0,2)上的均勻分布

    求Y的分布函數(shù).

    顯然,Y不是離散型隨機(jī)變量,Y也不是連續(xù)性隨機(jī)變量.Y的分布函數(shù)FY(y)在Y=1處不連續(xù).

    在教材中,一般只討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量,在二者之間還有一種隨機(jī)變量,由于本身較復(fù)雜,應(yīng)用也少,故沒有討論.對(duì)于隨機(jī)變量函數(shù),若隨機(jī)變量是離散型的,其函數(shù)一定是離散型的;若隨機(jī)變量是連續(xù)型的,其函數(shù)也可是離散型的,也可是連續(xù)型的,也可是非離散非連續(xù)型的.

    概率統(tǒng)計(jì)來源于生活,具有深厚的應(yīng)用基礎(chǔ),其有些內(nèi)容使人感到是實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的總結(jié),有點(diǎn)像文科課程,而不像數(shù)學(xué);另外,它又具有嚴(yán)密的理論體系,抽象,難于理解.正是這種二重性,使概率統(tǒng)計(jì)成為難教難學(xué)的“邊緣”學(xué)科,因此,在教學(xué)上要把握好利用好它的特點(diǎn),應(yīng)用性強(qiáng),要結(jié)合實(shí)踐來學(xué),學(xué)以致用;理論性強(qiáng),要把握住它的整體框架,在這個(gè)框架下找準(zhǔn)用好每一個(gè)概念、定理、公式,并掌握好它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.

    概率統(tǒng)計(jì)討論的是不確定性問題,它的理論、方法和思維方式與以往所學(xué)的確定性理論都有很大的不同,學(xué)生感到很陌生,難以理解,無從下手,因此,教學(xué)中要注重概念的交代和比較辨析,注重理論的嚴(yán)密和實(shí)用,注重方法的演示和訓(xùn)練.循序漸進(jìn),由淺入深,層層剖析.使學(xué)生掌握好概率統(tǒng)計(jì)這個(gè)無處不用的“萬能”工具.

    〔1〕沈京一.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2008.

    〔2〕王麗霞.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2010.

    〔3〕茆詩(shī)松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2005.

    O21

    A

    1673-260X(2012)03-0006-02

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