同倫攝動(dòng)法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用

銀 山，特木爾朝魯

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，呼和浩特 010051；2.上海海事大學(xué) 文理學(xué)院，上海 200135）

同倫攝動(dòng)法在彈性力學(xué)中的應(yīng)用

銀 山1，特木爾朝魯2

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，呼和浩特 010051；2.上海海事大學(xué) 文理學(xué)院，上海 200135）

本文中，應(yīng)用同倫攝動(dòng)法給出彈性力學(xué)的非線性問(wèn)題,均勻載荷作用下邊界可移夾緊的圓薄板問(wèn)題的新的近似解.并且給出與傳統(tǒng)的攝動(dòng)解之間的對(duì)照?qǐng)D,從而說(shuō)明同倫攝動(dòng)法在彈性力學(xué)的非線性問(wèn)題中有效性.

薄板；同倫攝動(dòng)法；卡門方程

1 引言

非線性問(wèn)題是在彈性力學(xué)中熱門問(wèn)題之一.板的大撓度問(wèn)題是典型的非線性邊值問(wèn)題之一,其控制方程是著名的卡門方程[1].所以很多研究人員研究了卡門方程并且給出了很好的具有實(shí)際意義的成果.如韋(S.Way)[2]曾用冪級(jí)數(shù)解研究了在均布載荷下邊緣固定的圓薄板問(wèn)題；李斐(S.levy)[3]用重三角級(jí)數(shù)法得到了均布載荷下簡(jiǎn)支長(zhǎng)方板的數(shù)值解；錢偉長(zhǎng)[4,5]用攝動(dòng)法重新處理了均布載荷下和各種不同邊界條件下的圓薄板的大撓度問(wèn)題；葉開(kāi)源[6]利用攝動(dòng)法處理了邊緣載荷下環(huán)形薄扳大撓度問(wèn)題，Q.S.Lia，Jie Liu等人[7]提出了分析大撓度薄板的屈曲的新方法,其他[8-11]等等.

近幾十年內(nèi)，非線性問(wèn)題的解析法得到了很大的發(fā)展，且出現(xiàn)了很多解析法，如Adomain解析法[12]，變分迭代法[13]，同倫攝動(dòng)法[14,15]等等.但是這些方法在彈性力學(xué)領(lǐng)域中很少被應(yīng)用.

本文中,利用同倫攝動(dòng)法給出均勻載荷作用下邊界可移夾緊的圓薄板問(wèn)題的新近似解.在[4,5]中作為攝動(dòng)參數(shù)的中心撓度a在本文中分解為級(jí)數(shù).這有利于控制近似解得精度.細(xì)節(jié)在下一節(jié)中給出.均勻載荷作用下邊界可移夾緊的圓薄板問(wèn)題的基本方程是著名的卡門方程

邊界條件為

其中W,Nr分別表示撓度和徑向正應(yīng)力；q,h和b分別表示均勻載荷、圓薄板的厚度和半徑；μ,E是泊松比和楊氏彈性模量；D=Eh3/(12(1-μ2))是板的抗彎系數(shù).通過(guò)下面無(wú)量綱化變換

邊值問(wèn)題(1.1)-(1.5)重新寫(xiě)成下列形式

其細(xì)節(jié)見(jiàn)[4].

2 利用同倫攝動(dòng)法解該非線性邊值問(wèn)題

通過(guò)變換w(x)=au(x),邊值問(wèn)題(1.7)-(1.11)改寫(xiě)為

其中w(1)=a.現(xiàn)在，對(duì)方程(2.15)構(gòu)造同倫

現(xiàn)在,把(2.8)-(2.11)代入(2.1)與(2.7),并令 pi(i=0,1,2,…)的系數(shù)為零.根據(jù)邊界條件(2.4)-(2.6),得到下列形式的一些線性邊值問(wèn)題

從(2.12),得到

把上式代入(2.13),解得

類似的方法，能解出其余的u1,q1,sj(i,j=1,2,…,n)

最后，令p=1，得到n階近似解

3 結(jié)論

根據(jù)同倫攝動(dòng)法，由定義如下近似誤差

對(duì)四階近似解與四階攝動(dòng)解[5]的誤差線的對(duì)照，其中μ=0.3,a0=0.498,a1=0.0019999,a2=0.0000000999,a3=0.00000000001.由此,證實(shí)同倫攝動(dòng)法在該非線性邊值問(wèn)題中的有效性.對(duì)應(yīng)的四階近似解曲線如圖3-4所示.在傳統(tǒng)的攝動(dòng)法中作為攝動(dòng)參數(shù)的中心撓度[5],根據(jù)近似解的階數(shù)，分解為有限級(jí)數(shù),即對(duì)n階近似解,a分解為

而且a的恰當(dāng)?shù)姆纸庵苯佑绊懡平獾恼`差.

圖1 Error1 η曲線

圖2 Error2 η曲線

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O343.5；O29

A

1673-260X（2012）04-0001-03