關(guān)于三點(diǎn)式振蕩器關(guān)鍵問(wèn)題的探討

于紅兵，張金華

(成都信息工程學(xué)院通信工程系，四川成都610225)

三點(diǎn)式振蕩器作為常見(jiàn)的振蕩電路獲得了普遍的應(yīng)用，但關(guān)于它的工作機(jī)制的描述，在現(xiàn)有“高頻電子線(xiàn)路”課程教材的理論分析中，仍然有一些值得商榷之處［1-5]。

本文從振蕩器的信號(hào)特點(diǎn)入手，結(jié)合反饋型振蕩器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，引出復(fù)頻域環(huán)路增益與相量形式的環(huán)路增益的概念，并對(duì)兩者的不同取值特點(diǎn)加以分析，得到環(huán)路增益的一般計(jì)算原則。為了方便地求出某些較為復(fù)雜的振蕩器的環(huán)路增益，本文提出了一種較為簡(jiǎn)便的算法，并應(yīng)用到三點(diǎn)式振蕩器的計(jì)算中，分析三點(diǎn)式振蕩器起振條件關(guān)鍵問(wèn)題的細(xì)節(jié)。筆者還討論了這一計(jì)算過(guò)程及其計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)的不同之處，并且用相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。

1 環(huán)路增益概念

文獻(xiàn)［6，7] 提出了電路起振是零激勵(lì)線(xiàn)性電路的本征問(wèn)題，信號(hào)模式為est。文獻(xiàn)指出有普適意義的電路起振條件判據(jù)是:存在復(fù)數(shù)s0，使復(fù)頻域中的環(huán)路增益T(s0)=1，而且Re(s0)＞0，Im(s0)≠0。s0正是微分方程通解所涉及的特征根，而T(s0)=1是特征方程，以上條件說(shuō)明特征根在復(fù)平面的右半平面。所以，復(fù)頻域形式的環(huán)路增益與通常的相量形式的環(huán)路增益相比較，前者是更基本的概念。然而復(fù)頻域形式的環(huán)路增益到底從何而來(lái)呢?本文將闡釋如下。

起振時(shí)信號(hào)模式為est，說(shuō)明所有電路變量均以est的形式變化，因而任意兩個(gè)電路變量之間將保持固定的比例系數(shù)(一般為復(fù)數(shù))。

對(duì)于反饋型振蕩器而言，如果能進(jìn)一步找到電路變量y1，y2，…，yn之間一一對(duì)應(yīng)且各不相同的約束關(guān)系并構(gòu)成閉合的約束鏈:y2=K1y1，y3=K2y2，…，yn=Kn－1yn－1，y1=Knyn。則有:y1=KnKn－1…K1y1。由于y1≠0，因此KnKn－1…K1=1。又由于電路中存在電抗元件，因而K1，K2，…，Kn中至少有一個(gè)與s有關(guān)。所以KnKn－1…K1=1是s的函數(shù)，可稱(chēng)為復(fù)頻域形式的環(huán)路增益，記為T(mén)(s)。KnKn－1…K1=1即為T(mén)(s)=1，可由此解出特征根s=s0，因而這一關(guān)于特征根的方程正是特征方程。另一方面，T(s0)=1等價(jià)于T(s0)y1=y1，其物理意義在于:無(wú)論電路處于何種狀態(tài)(起振時(shí)或達(dá)到平衡后)，反饋量與原值一定相等。

以上分析既給出了復(fù)頻域形式環(huán)路增益的構(gòu)造性定義，又闡述了它在實(shí)際電路中必然取值為1的理由，同時(shí)還引導(dǎo)出了它的一般計(jì)算方法。文獻(xiàn)［7] 中，對(duì)如圖1所示的共射變壓器耦合振蕩器環(huán)路增益的計(jì)算正是遵循了這種方法，從而得到了與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合的起振條件。其約束關(guān)系為

上式中，rbe是晶體管的共射交流輸入電阻，β是晶體管的共射交流電流放大倍數(shù)，n是變壓器的匝數(shù)比

圖1 共射變壓器耦合振蕩器

因而復(fù)頻域形式的環(huán)路增益為

文獻(xiàn)［6] 肯定了用相量法同樣可以表達(dá)起振條件。通常，一個(gè)振蕩器能夠在某個(gè)ω1處滿(mǎn)足T(jω1)＞1，且T(ω)/ω|ω=ω1＜0，該振蕩器便可以起振。T(ω)是T(jω)的幅角。這里這一相量形式環(huán)路增益T(jω1)＞1的要求與起振時(shí)復(fù)頻域形式環(huán)路增益T(s0)=1的要求并不矛盾。其要點(diǎn)在于，jω1并不是起振時(shí)的特征根，分析相量形式的環(huán)路增益T(jω)即是討論復(fù)頻域形式的環(huán)路增益T(s)在虛軸上的取值特點(diǎn)，而這有助于判斷特征根到底是在右半平面還是在左半平面。如此一來(lái)，就可以不用求解特征方程(它常常轉(zhuǎn)化為難解的高次方程)，從而可以簡(jiǎn)化計(jì)算。

2 常見(jiàn)振蕩器的環(huán)路增益計(jì)算

常見(jiàn)振蕩器的結(jié)構(gòu)都可以用圖2的形式表示。它由一個(gè)三端口網(wǎng)絡(luò)和一條反饋線(xiàn)構(gòu)成，其中三端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的反饋可忽略。以圖1所示的共射變壓器耦合振蕩器為例，去掉反饋線(xiàn)后，A點(diǎn)、B點(diǎn)和地之間的電路構(gòu)成三端口網(wǎng)絡(luò)，這個(gè)三端口網(wǎng)內(nèi)部的反饋可忽略。

圖2 振蕩器結(jié)構(gòu)圖

首先，對(duì)三端口網(wǎng)絡(luò)可應(yīng)用雙口網(wǎng)絡(luò)的Z參數(shù)等效，其伏安關(guān)系為

由于三端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的反饋可忽略，故Z12=0。用Z參數(shù)等效電路取代三端口網(wǎng)絡(luò)，得到圖3所示的與原振蕩器等價(jià)的電路。

圖3 圖2所示振蕩器的等效

此電路中，在電路變量i1與vs之間存在著由兩個(gè)不同的約束關(guān)系構(gòu)成的閉合約束鏈為?

根據(jù)環(huán)路增益的構(gòu)造性定義，有

以共射變壓器耦合振蕩器為例，有

Z11=rbe，Z22=1/［Cs+以及Z21=β/n［Cs+] ，由此得到的環(huán)路增益與前面直接在原振蕩器中討論的結(jié)果相同。

式(2)中需要計(jì)算的量都是三端口網(wǎng)絡(luò)的Z參數(shù)，因此這種計(jì)算環(huán)路增益的方法可稱(chēng)為環(huán)路增益的Z參數(shù)算法。類(lèi)似地也可以推導(dǎo)出環(huán)路增益的g參數(shù)算法和h參數(shù)算法等。這些算法在計(jì)算時(shí)考慮的對(duì)象已經(jīng)不是含有反饋線(xiàn)的原振蕩器，而是去掉了反饋線(xiàn)的三端口網(wǎng)絡(luò)。這將切斷原電路中的反饋聯(lián)系，在不少情況下，電路對(duì)象的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性將大大降低，環(huán)路增益的計(jì)算也就成為可能。

3 三點(diǎn)式振蕩器的完整分析

三點(diǎn)式振蕩器其交流通路如圖4所示。該電路所需元件不多，但其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性并不低。對(duì)此，不少教材中認(rèn)為三個(gè)電抗元件X1，X2和X3構(gòu)成諧振回路［2-5]，因此令X1+X2+X3=0作為諧振條件，以此為邏輯起點(diǎn)用于推導(dǎo)其他關(guān)系。筆者認(rèn)為，這是值得商榷的。因?yàn)橹C振這個(gè)概念在其一般意義上指的是在某個(gè)頻率下端口特性為純電阻(包括零和無(wú)窮大)，不可能針對(duì)某個(gè)電路再給出一個(gè)不同的定義。對(duì)于三點(diǎn)式振蕩器中的三個(gè)純電抗元件，這是不會(huì)出現(xiàn)的現(xiàn)象(阻抗不可能成為實(shí)數(shù)或無(wú)窮大)。

圖4 三點(diǎn)式振蕩器的交流通路

如果采用環(huán)路增益的Z參數(shù)算法，X1+X2+X3=0將成為以下推導(dǎo)的一個(gè)成果，從而可以重新理出一條分析的線(xiàn)索。圖4已經(jīng)將三點(diǎn)式振蕩器畫(huà)為由一個(gè)三端口網(wǎng)絡(luò)和一條反饋線(xiàn)構(gòu)成。去掉反饋線(xiàn)，考慮剩下的三端口網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)三極管內(nèi)部的反饋可忽略時(shí)，有

將上式代入式(2)中，得到

如果求特征根，則將面臨求解至少三次方程的問(wèn)題，所以需要轉(zhuǎn)而以相量法進(jìn)行分析。這時(shí)X1，X2和X3都是虛數(shù)，如果要求T(jω1)＞1，為保證T(jω1)為實(shí)數(shù)，考慮到式(4)分子項(xiàng)和分母第二項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，則必有

因此，X1+X2+X3=0并不是由于存在諧振而引出的結(jié)論。而T(jω1)=β·X1/X2＞1，即

這就是三點(diǎn)式振蕩器的定性要求(即:“X1，X2的電抗符號(hào)應(yīng)相同，X3與X1，X2的電抗符號(hào)應(yīng)相反”)的理論依據(jù)。根據(jù)文獻(xiàn)［6] ，起振時(shí)還要求T(ω)/ω|ω=ω1＜0?，F(xiàn)證明如下。

所要解決的問(wèn)題是:如果在ω1處使X1+X2+X3=0，要證明在β＞X2/X1(即T(jω1)＞1)的情況下r(ω)/ω|ω=ω1＜0。為此在很接近于ω1的ω2=ω1+Δω(ω1＞＞Δω＞0)處，考察T(jω1)的取值情況。根據(jù)式(4)有

當(dāng)ω=ω1時(shí)，分子和分母第二項(xiàng)為正實(shí)數(shù)，分母第一項(xiàng)為零，T(ω=ω1)=0;當(dāng)ω=ω2=ω1+Δω時(shí)，由于Δω很小，分子和分母第二項(xiàng)仍將保持為正實(shí)數(shù)，記X1=jx1，X2=jx2，X3=jx3。若有x1+x2+x3＞0，則T(ω=ω2)＜0，使T(ω)/ω|ω=ω1＜0。于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證(x1+x2+x3)/ω＞0?？紤]到X1，X2和X3原則上分別都是電抗元件的混聯(lián)。如果將這種混聯(lián)后的電抗值統(tǒng)一地記為x，則需一般性地證明x/ω＞0。

我們采用數(shù)學(xué)歸納法:首先，對(duì)于單電感或單電容，其電抗值分別為ωL和－1/ωC，得到(ωL)/ω和(－1/ωC)/ω都是大于零的;其次，設(shè)XA和XB分別是兩個(gè)由電抗元件混聯(lián)而得的單口網(wǎng)絡(luò)的電抗值，若xA/ω＞0，xB/ω＞0，則串聯(lián)后的電抗值(xA+xB)，及并聯(lián)后的電抗值，可統(tǒng)一地記為x，都滿(mǎn)足x/ω＞0。根據(jù)以上兩點(diǎn)可以推論，任意電抗元件混聯(lián)后的電抗值都滿(mǎn)足x/ω＞0。因而T(ω)/ω|ω=ω1＜0得證。

對(duì)于本文分析與傳統(tǒng)分析的不同之處，還可以設(shè)計(jì)以下兩方面的仿真實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證:

(1)可以驗(yàn)證β大于X2/X1即可起振，β小于X2/X1時(shí)不能起振;

(2)電路中電路變量存在以下關(guān)聯(lián)關(guān)系為

前一個(gè)式子代入后一個(gè)式子，就可以得到i2與i1之間的關(guān)系式為

進(jìn)而得到vx2與vx1的比(即所謂反饋系數(shù)為

對(duì)于電容三點(diǎn)式振蕩器，有

這說(shuō)明反饋系數(shù)一般為復(fù)數(shù)，而不是如文獻(xiàn)［2，3，5] 所述的實(shí)數(shù)。這一點(diǎn)很容易用仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證(電感三點(diǎn)式振蕩器也可進(jìn)行類(lèi)似驗(yàn)證)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文推進(jìn)了筆者關(guān)于復(fù)頻域環(huán)路增益的認(rèn)識(shí)［6，7]，引入了復(fù)頻域形式環(huán)路增益的構(gòu)造性定義，得到環(huán)路增益的一般計(jì)算原則。針對(duì)相量形式環(huán)路增益，強(qiáng)調(diào)了T(jω1)＞1的要求與起振時(shí)復(fù)頻域形式環(huán)路增益T(s0)=1的要求并不矛盾。

為了能夠比較方便地求出某些較為復(fù)雜的振蕩器的環(huán)路增益，本文提出了環(huán)路增益的Z參數(shù)算法。進(jìn)一步將此算法應(yīng)用到三點(diǎn)式振蕩器的計(jì)算中，用相量形式討論了此電路的起振條件以及電壓分配方式等相關(guān)問(wèn)題，對(duì)于此電路的若干關(guān)鍵問(wèn)題提出了本文的觀點(diǎn)。

最后，這些分析的定量結(jié)論經(jīng)過(guò)了實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，這兩種實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都很好地證實(shí)了本文的相關(guān)分析結(jié)論，說(shuō)明這一分析過(guò)程確實(shí)反映了三點(diǎn)式振蕩器的工作機(jī)制。

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