“電路理論”課程中耦合電路的諧振問題討論

趙艾萍，張 峰

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海200240)

“電路理論”課程教學(xué)中，對(duì)于耦合電感和串并聯(lián)諧振的介紹通常是按知識(shí)點(diǎn)單獨(dú)進(jìn)行的［1-3]。例如，討論線性耦合電感元件時(shí)，除了推導(dǎo)其端口電壓—電流關(guān)系之外，還會(huì)介紹一些去耦等效的方式，尤其是T型去耦的應(yīng)用;而在諧振電路的分析討論中，往往會(huì)強(qiáng)調(diào)諧振網(wǎng)絡(luò)的端口特性、品質(zhì)因數(shù)［4]或能量問題［5]。部分學(xué)生對(duì)這些概念的理解不夠精準(zhǔn)，反映在解題過程中會(huì)出現(xiàn)各種問題。本文針對(duì)考生在一道電路考研試題的求解中所出現(xiàn)的問題，分析其成因，并提出了相應(yīng)的解決辦法。這個(gè)典型例題有助于學(xué)生正確理解諧振和耦合的概念并掌握其分析方法，也可為“電路理論”教學(xué)工作中重要知識(shí)點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容的融合交叉及其分析提供借鑒。

1 問題提出

［例1] 圖1所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知I=I1=I2，電感之間存在耦合關(guān)系。當(dāng)R2=100Ω，ωM=100Ω時(shí)，虛線框內(nèi)組成的并聯(lián)電路達(dá)到諧振，試求此時(shí)電路中的R1和X1。

圖1 例1電路

不少學(xué)生出現(xiàn)了以如下錯(cuò)誤求解思路。

(1)將T型去耦等效電路代之原電路，如圖2所示。

圖2 例1電路的T型去耦等效電路一

(2)根據(jù)主電路電流和兩支路電流大小相等且此時(shí)并聯(lián)諧振，得出:“并聯(lián)的兩條支路阻抗實(shí)部相等、虛部相反”的結(jié)論。從而求得R1=R2，進(jìn)而再根據(jù)其它已知條件求得X1。

乍看之下，該解題思路非常巧妙，但卻是錯(cuò)誤的。這是什么原因呢?究其原因是對(duì)去耦之后的電路諧振的理解不正確。即上面帶引號(hào)的結(jié)論有誤。

根據(jù)電路理論知識(shí)，諧振的外在表現(xiàn)是端口電壓和端口電流同相，即圖1中同相.然而去耦之后的圖2電路中，所以去耦之后的虛線框電路并非發(fā)生了并聯(lián)諧振，也就不能按照上面的解題思路求解阻抗參數(shù)。

2 問題分析

為了進(jìn)一步討論，可以把圖2重新改畫成圖3所示的電路。

3例1電路的T型去耦等效電路二

圖3中的虛線框內(nèi)部是耦合電感去耦等效電路，注意由題意可知原電路并聯(lián)諧振的表現(xiàn)是與同相，以電壓為參考相量畫出此題的電路相量圖如圖4所示。

圖4 例1電路的相量圖

12有60o，容性支路電流超前有60o，所以在圖1中兩條并聯(lián)支路的阻抗模相等|Z|=UAB/I1=UAB/I2，阻抗角(即端電壓超前對(duì)應(yīng)支路電流的角度)互為相反φ1=60o=－φ2。再根據(jù)圖3中感性阻抗jωM上的電壓超前電流有90o。由于U·，所以利用相量圖可以得出:超前，它與支路電流和的夾角不再相等。也就是說，圖3中去耦之后的A-A'之間的兩條并聯(lián)支路的阻抗角并非相反。

可見，正確地畫出電路中各電量的相量圖，有助于正確理解題意，從而可以得出正確的判斷。

3 問題求解

遇到諧振問題，最有效最直觀的方法還是畫出電路的相量圖以幫助理解。原題電路去耦之后的等效電路如圖3所示，求解過程如下。

對(duì)于容性支路，有Z2=R2－jX2=|Z2|∠-60o=，則R2=|Z2|cos(-60o)，于是可得|Z2|=100/cos(-60o)=20Ω。

解得:R1=13.4Ω，X1=223.2Ω。

當(dāng)然，也可以根據(jù)相量圖直接求解，特別是習(xí)題中某些相量之間構(gòu)成直角三角形的情況。下面的例題將介紹這一內(nèi)容。

4 同類討論

上述例題由于融合了諧振和耦合這兩個(gè)較難的知識(shí)點(diǎn)，所以求解過程中對(duì)基本概念的正確把握顯得至關(guān)重要。使用相量圖輔助分析和計(jì)算將是非常直觀有效的方法。

為了進(jìn)一步加深對(duì)諧振和耦合這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)融合交叉題型的理解和掌握，并學(xué)習(xí)掌握如何運(yùn)用相量圖輔助直接解題的方法。筆者給出了另一例題及其簡(jiǎn)要分析，以供教學(xué)參考。

［例2] 圖5所示正弦穩(wěn)態(tài)電路的ω=104rad/s。已知電壓表V的讀數(shù)為100 V，主路電流表A的讀數(shù)為2A，且電路發(fā)生并聯(lián)諧振。求電容C的值和各支路電流表的讀數(shù)。

為了便于討論，添加端點(diǎn)標(biāo)識(shí)和各支路電流變量，并將耦合電感去耦等效如圖6所示。

圖5 例2電路

圖6 例2電路的去耦等效電路

已知UAB=100V，I=2A，故I3=1A，I'=I－I3=1A。且超前為90°，也即超前為90°。

根據(jù)相量圖可知，有

7例2電路的相量圖

此例中，相量圖不僅可以幫助學(xué)生正確理解題意，還可以簡(jiǎn)化電路計(jì)算，輔助直接求解。

特別需要強(qiáng)調(diào)的是，在此類融合了耦合電感的諧振習(xí)題中，要仔細(xì)觀察諧振發(fā)生的部位。在去耦之前一定要明確哪兩個(gè)電量(即諧振支路的端口電壓與端口電流)同相，去耦之后的電路中，這兩個(gè)同相的電量有可能依然是同一端口的電壓和電流(如圖6中的與)。也有可能不再是同一端口的電量(如圖3中的與)。

所以結(jié)合去耦電路和電路相量圖，可以較為直觀地理解和分析各電量之間的關(guān)系，從而得出正確的結(jié)果。

5 結(jié)語

諧振和耦合一直是“電路理論”教學(xué)中兩個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，在教學(xué)中不僅要求學(xué)生掌握每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的基本概念，還要通過一定的例題讓學(xué)生充分理解并掌握。本文針對(duì)學(xué)生求解融合了諧振和電感耦合兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)的題目時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤及其原因進(jìn)行了分析，闡述了此類問題的求解方法，強(qiáng)調(diào)了應(yīng)用相量圖可以使此類問題的分析求解更加直觀和易于理解，甚至方便直接計(jì)算。

［1] 陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎(chǔ)［M] .北京:高等教育出版社，2007

［2] 邱關(guān)源，羅先覺.電路［M] .北京:高等教育出版社，2006

［3] 李瀚蓀.簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)［M] .北京:高等教育出版社，2002

［4] 田社平，陳洪亮，張峰.電路品質(zhì)因數(shù)的計(jì)算［J] .南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2010，4

［5] 汪小娜，周永紅，單潮龍，王向軍.關(guān)于諧振電路中能量問題的討論［J] .南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2011