FD－SWE－II型駐波實(shí)驗(yàn)儀上弦振動(dòng)的研究

熊小勇，蔡 倫

(湖北民族學(xué)院理學(xué)院，湖北恩施445000)

弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的基本內(nèi)容［1］，該實(shí)驗(yàn)直觀、形象地給出了駐波波形，有助于加深學(xué)生對(duì)橫波的產(chǎn)生、傳播和駐波形成條件的理解.對(duì)弦振動(dòng)進(jìn)行研究時(shí)，頻率過大時(shí)，形成駐波的振幅太小，駐波現(xiàn)象不夠明顯;頻率過小時(shí)，形成駐波的振幅雖明顯但所需弦線長度太長，通常會(huì)受到測量條件限制，不便測量.針對(duì)弦振動(dòng)儀器實(shí)驗(yàn)改進(jìn)的報(bào)道［2－3］也有不少，但是，都只是對(duì)波長的測量誤差進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)儀器方面的改進(jìn).本文就駐波形成條件，固定弦線密度下弦線張力與波長之間關(guān)系，振動(dòng)頻率與波長之間關(guān)系，以及實(shí)驗(yàn)最佳頻率和最佳張力進(jìn)行了探討.

1 理論推導(dǎo)

駐波實(shí)驗(yàn)常用一根拉緊的弦線來演示，弦線一端系著跨過定滑輪的砝碼，另一端接在振動(dòng)器(電動(dòng)音叉)上.建立如圖1所示坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)間t=0時(shí)，設(shè)弦的初始位移和初速度均為零，振動(dòng)器在弦線激起的諧振動(dòng)方程為:

y(L，t)=A sin ωt

式中A為振幅，ω為諧振圓頻率.這個(gè)問題的定解是泛定方程:

圖1 駐波實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of standing wave experiment device

式(1)～(3)表明弦線振動(dòng)的數(shù)學(xué)表示式是非齊次邊界條件的二階線性齊次偏微分方程，滿足這個(gè)定解問題的波動(dòng)方程［4］為:

式中:第一項(xiàng)是駐波函數(shù)表達(dá)式，第二項(xiàng)表示兩端固定弦線上可能出現(xiàn)的駐波.一般情況下，一個(gè)駐波系統(tǒng)的振動(dòng)是它的各種簡正模式的疊加.簡正模式的本征頻率:

當(dāng)振動(dòng)源以某一頻率激起弦線系統(tǒng)振動(dòng)，如果此頻率與系統(tǒng)的某個(gè)本征頻率相同(或相近)，就會(huì)在弦線上產(chǎn)生共振弦線，弦線就會(huì)以該頻率做大幅度的振動(dòng).在圖1中，O點(diǎn)是反射點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)波節(jié)，A點(diǎn)近似看成波節(jié)(此時(shí)振動(dòng)器的振幅比弦線的振幅小得多)，振動(dòng)器持續(xù)振動(dòng)產(chǎn)生的定向能流補(bǔ)償了振動(dòng)過程中阻尼、吸收、透射產(chǎn)生的能量損耗，從而使弦線上產(chǎn)生持續(xù)穩(wěn)定的駐波波形.

將υ=λ·f代入式(5)中，不難得出:

亦是只有當(dāng)OA的長度L等于半波長的整數(shù)倍時(shí)，弦線上才會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的駐波波形.根據(jù)文獻(xiàn)［5］張緊軟繩中橫波波速:

式中T為線繩所受張力，ρ為單位長度線繩的質(zhì)量(即線密度).

為驗(yàn)證這一關(guān)系成立，可以在上式兩端取自然對(duì)數(shù)，得:

式(8)給出了當(dāng)固定弦線密度ρ，弦線振動(dòng)形成駐波時(shí)，T、f、λ相互關(guān)系.

2 弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)中采用FD－SWE－II型弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)儀(如圖2)，弦線平均密度ρ=2.980×10－4kg/m，繩中張力T大小通過增加砝碼來實(shí)現(xiàn)，弦長L通過可動(dòng)滑輪支架來控制.

實(shí)驗(yàn)過程中，仔細(xì)調(diào)節(jié)弦長使弦線出現(xiàn)共振，依次盡可能出現(xiàn)n=1，2，3，4個(gè)波峰.然后用實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上的標(biāo)尺測量弦長L，根據(jù)式(6)計(jì)算出波長λ，重復(fù)3次測量取其平均值.由于頻率f越小，波長λ越大，弦線上波動(dòng)現(xiàn)象不夠明顯，波長λ測量誤差增大;而頻率f越大，振幅越小，弦線上波長λ測量誤差也會(huì)增大［6］.因此，實(shí)驗(yàn)中，T值設(shè)置在0.86～3.55 N，頻率 f選取在90～125 Hz范圍，測量的波長數(shù)據(jù)見表1.

圖2 儀器結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Instrument structure

2.1 驗(yàn)證波長與張力的關(guān)系

先將表1數(shù)據(jù)中張力T和波長λ取自然對(duì)數(shù)，然后通過Origin進(jìn)行線性擬合出lnT－lnλ圖線，擬合相關(guān)結(jié)果見表2.表2中，f為振源頻率，k為擬合直線的斜率，Δk/k為擬合直線的斜率與式(8)中理論斜率0.5的相對(duì)誤差，R2為擬合相關(guān)系數(shù).

依據(jù)表2擬合結(jié)果可以看出，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)線性效果好，擬合相關(guān)系數(shù)均超過99.3%，斜率相對(duì)誤差較小.在f=110 Hz時(shí)，斜率的相對(duì)誤差僅為1.97%，測量數(shù)據(jù)線性效果較好，擬合相關(guān)系數(shù)R2為0.996.這一結(jié)果，比文獻(xiàn)［7］中提到f=90 Hz時(shí)二次曲線圖像效果更好.

2.2 驗(yàn)證頻率與波長的關(guān)系

先將表1數(shù)據(jù)中頻率f和波長λ取自然對(duì)數(shù)，然后通過Origin進(jìn)行線性擬合出lnf－lnλ圖線，擬合相關(guān)結(jié)果見表3.依據(jù)表3擬合結(jié)果可以看出，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)線性效果不夠理想，擬合直線的斜率與式(8)理論斜率 －1的相對(duì)誤差較大，這可能是可調(diào)頻率數(shù)顯機(jī)械振動(dòng)源上數(shù)顯頻率未能得到校準(zhǔn)產(chǎn)生的.但是，從擬合相關(guān)系數(shù)和相對(duì)誤差來考慮，T=1.36N時(shí)lnf－lnλ線性效果最好，相對(duì)誤差最小.砝碼平均質(zhì)量為25.236g，底座質(zhì)量為37.778g，取恩施地區(qū)重力加速度為g=9.799 N/kg，T=1.36 N即是底盤加上4個(gè)砝碼的重量.

3 結(jié)論

通過對(duì)弦線上產(chǎn)生駐波的理論推導(dǎo)可知，在弦長和張力滿足一定條件下，當(dāng)弦的某個(gè)本征振動(dòng)頻率與振動(dòng)源頻率相同(或相近)時(shí)，在弦上就能形成穩(wěn)定的駐波，通過改變弦的張力，可以得到弦振動(dòng)的不同簡正模式.在固定線性密度的弦振動(dòng)研究過程中，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明:①驗(yàn)證拉力與波長關(guān)系時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析找到了棉線最佳實(shí)驗(yàn)頻率為110 Hz，所得數(shù)據(jù)線性關(guān)系相對(duì)誤差最小;②驗(yàn)證頻率與波長關(guān)系時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合相對(duì)誤差較大，最佳實(shí)驗(yàn)拉力為1.36 N(即底盤上放置四個(gè)砝碼).通過以上結(jié)論，在今后弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)過程中，可以更簡單、更準(zhǔn)確指導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)研究.

表2 不同頻率下lnT－lnλ關(guān)系擬合結(jié)果Tab.2 The lnT－lnλ relations fitting results in the different frequences

表3 不同拉力下lnf－lnλ關(guān)系擬合結(jié)果Tab.3 The lnf－lnλ relations fitting results in the different tensions

［1］ 沈元華，陸申龍.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］ 易立志，左安友.弦振動(dòng)的研究實(shí)驗(yàn)儀器的改進(jìn)［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2001，21(6):47.

［3］ 李堯，馮正南，盧海燕.弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置的改進(jìn)［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2004，17(4):56－57.

［4］ 梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法［M］.4版.北京:高等教育出版社，2010.

［5］ 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程:力學(xué)［M］.2版.北京:高等教育出版社，2005.

［6］ 劉東紅.弦振動(dòng)駐波分析［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2002，15(1):13－15.

［7］ 張開明.弦振動(dòng)研究［J］.太原師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，9(4):96－99.