用試探方程法求解Boussinesq方程

楊玉婷，崔澤建

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002)

非線性發(fā)展方程已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域，而求解非線性發(fā)展方程［1］的精確顯示解又是至關(guān)重要的．至今已經(jīng)發(fā)展了一些有效的方法，包括逆散射法［2］、Backlund 變換［2］、雙線性法、對稱性法［3］等．本文利用由劉成仕提出的試探方程法［4-7］結(jié)合積分變換求解一個重要的非線性發(fā)展方程——Boussinesq方程，得到了方程的3類精確顯示解．

1 試探方程法

我們考慮偏微分方程

這里p是一個多項式，我們首先做一個行波變換

有時通過積分可以對方程(3)進行降階．試探方程法可以概述為以下幾個步驟：

第1步 采取如下多項式變換

其中，φ是ξ的一個未知函數(shù)，這里a0，a1，…，am為確定的常數(shù)，且m≥1．

這樣方程(3)可以變成

Q為相應(yīng)的多項式．

第2步 我們令

則

把(6)代入方程(5)可得

第3步 假設(shè)方程(7)有如下多項式形式的解：

這里，b0，b1，…，bn是確定的常數(shù)．利用齊次平衡原理可以得到m和n的關(guān)系，把試探多項式(8)代入(7)可以得到一個關(guān)于φ的多項式，再根據(jù)多項式的系數(shù)相等可以得到一個代數(shù)方程組，然后通過解這個代數(shù)方程組，就可以得出a0，a1，…，am，b0，b1，…，bn的值．

第4步 積分以下一階常微分方程

我們可以得到φ的值，進一步我們可以通過把φ的值代入方程(4)得到u的值．

2 應(yīng)用

下面我們通過用試探方程法來求解Bouss-inesq方程：

其中 α，β，γ 為常數(shù)．

先進行行波變換，然后再積分，Boussinesq方程變?yōu)槿缦滦问?/p>

這里，C是任意的常數(shù)．為了求解的方便，不妨設(shè)

根據(jù)我們上面所述的試探方程法，結(jié)合齊次平衡原理，我們可以得到

首先取 m=2，n=2 ，則

把(12)式代入(11)式可以得到

根據(jù)變換(6)式、(13)式可以變成如下一階常微分方程：

進一步，我們假設(shè)(14)具有如下多項式形式的解

把表達式(14)代入(13)可以產(chǎn)生一個關(guān)于φ的多項式．令多項式的系數(shù)為零，可以得到如下代數(shù)方程組：

解這個代數(shù)方程組得到一族參數(shù)的值

不失一般性，我們可以取b1=0，對b0，b2分別取不同的值．

1)若b0=1，b2=-1，則φ =coth(ξ-ξ0)，所以

或

2)若 b0=-1，b2=1，則φ =tanh(ξ-ξ0)，所以

或

3)若b0=1，b2=1，則 φ =tan(ξ- ξ0)，所以

或

現(xiàn)在，我們再取m=4，n=3，不失一般性，設(shè)

于是可以得到相應(yīng)的代數(shù)方程組

解得：

不失一般性，取b1=1，則

所以

3 結(jié)語

本文利用試驗方程法求解了Boussinesq方程，得到了3種形式的精確解，即正切函數(shù)形式、雙曲函數(shù)形式和指數(shù)形式．從求解Boussinesq方程的精確顯示解的過程來看，試探方程法是簡捷、方便、切實可行的，它豐富了Boussinesq方程的解系．此外，這些解對于解釋一些物理現(xiàn)象也是很有幫助的，期待這種方法在求解其他非線性發(fā)展方程中發(fā)揮更大的作用．

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