干摩擦力學系統(tǒng)的建模及振動響應分析

汪 俊WANG Jun

（廣州城市職業(yè)學院 信息與汽車工程學院，廣州 510405）

0 引言

干摩擦廣泛存在于機械系統(tǒng)的摩擦副中，如金屬絲減振器，金屬橡膠元件，車輛中離合器的主動盤與從動盤的摩擦面中，如圖1所示。其減振的頻帶寬，可有效的降低系統(tǒng)的振幅，是一類行之有效的被動隔振和減振裝置，因此得到了工業(yè)界的廣泛關注。

圖1 離合器中的干摩擦交接面

由于干摩擦力學特性的強非線性(如回復力與位移曲線呈遲滯特性)，使得干摩擦元件的設計較為困難，通常依靠經(jīng)驗或大量的試驗試制等手段進行設計，成本高，周期長。為此，建立合理的干摩擦力學模型和推導計算量適當?shù)臄?shù)值方法就顯得尤為重要。至上世紀三十年代以來，國內(nèi)外眾多學者對此展開了大量研究。

Den.Hartog在1931年提出了理想的干摩擦模型(coulomb模型)。假設一物體在干摩擦交接面上運動，干摩擦阻力總是阻礙運動，因此，干摩擦力的方向總與運動方向相反，但其大小不變。從時域上看，干摩擦阻力的波形為方波，其變化規(guī)律可表示如下：

其中，F(xiàn)t為干摩擦阻力的大小， 為物體的運動速度。

Den.Hartog的模型表達了理想的干摩擦。然而，大量的實驗研究表明，物體與干摩擦表面相接觸時，物體速度方向的改變并不是突然發(fā)生的，而是存在一個過渡過程。由于接觸面本身有一定的彈性，在外力的作用下，造成了接觸面有一定的彈性變形。當外力的方向改變時，物體的運動方向并沒有立刻改變，當外力的大小增大到一定程度，物體與接觸面才產(chǎn)生相對位移。

考慮到接觸面的彈性性質(zhì)，Iwan在1961年提出了著名的雙折線遲滯模型，該模型將干摩擦阻力看成一根彈簧和一個標準的coulomb摩擦副串聯(lián)，且能更好的表達干摩擦阻力的非線性性質(zhì)。

本文針對一個含有干摩擦元件的單自由度系統(tǒng)，實測了其在諧波激勵下出現(xiàn)的粘滑運動，并將計算值與實測值進行了對比。結(jié)果表明，文中給出的建模和計算方法是有效的。

1 單自由度干摩擦系統(tǒng)的實驗研究

測試對象為一含干摩擦的單自由度系統(tǒng)，圖2為測試原理圖。由MTS的作動端對物體施加垂直方向的位移激勵x (t)＝x0＋xmsin (2π ft)，其中，f為激勵頻率(Hz)，xm為激勵幅值(mm)，x0(mm)為預載。圖2中，OA所示的位置是初始位置。在預載x0的作用下，OA由初始位置運動至水平位置OB，然后在水平位置OB附近作往復擺動。

假設在位移激勵Δx下，OB運動到了OC。假設OA的長度為l，則的擺角為：

圖3為時間-擺角關系的測試結(jié)果，可見單自由度系統(tǒng)時間—擺角呈現(xiàn)明顯的粘-滑運動。

圖2 單自由度運動響應測試原理

圖3 單自由度系統(tǒng)的粘-滑運動

2 單自由度干摩擦系統(tǒng)的力學模型

研究對象為圖3所示的振動系統(tǒng)。該系統(tǒng)由兩輪、一帶和一個集中質(zhì)量組成。其中，集中質(zhì)量連接彈簧k (N/m),阻尼c (Ns/m),集中質(zhì)量受到幅值為P (N)、頻率為ω (rad/s)、相位為0度的激勵力作用。假設集中質(zhì)量與帶之間的摩擦為干摩擦，則該集中質(zhì)量的受力情況與圖2中的單自由度物體類似。文中只考慮集中質(zhì)量在力激勵作用下的位移的時域響應和頻域響應，不計算兩輪和帶的運動，因此，圖1中振動系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)。

以地面為參考坐標系，以集中質(zhì)量的靜平衡位置為坐標原點，設集中質(zhì)量的位移為x (m)且向右為正，帶的速度為vb(m/s)，干摩擦為Z (t)，則集中質(zhì)量的運動微分方程為：

由于干摩擦的作用，使得集中質(zhì)量的運動出現(xiàn)滑移—粘著—滑移交替出現(xiàn)的情況，因此分別討論滑移、粘著時的運動方程及相應的解。

其中，Z (t)表示干摩擦的大小為時間的函數(shù)，其增量形式的本構(gòu)關系為：

圖4 包含雙折線模型的單自由度振動系統(tǒng)

3 系統(tǒng)響應的求解方法

由于干摩擦的作用，使得集中質(zhì)量的運動出現(xiàn)滑移—粘著—滑移交替出現(xiàn)的情況，因此分別討論滑移、粘著時的運動方程及相應的解。

3.1 集中質(zhì)量的運動為滑移時的運動方程

當集中質(zhì)量的運動為滑移時，在用雙折線模型描述干摩擦力的情況下，干摩擦相當于剛度為ks的彈簧，因此，式（3）變?yōu)椋?/p>

定義如下的變量：

則（6）變?yōu)椋?/p>

式（8）為二階常系數(shù)非齊次微分方程，其解由對應的齊次微分方程的通解和非齊次微分方程的特解組成。通解只對應于振動響應的過渡階段，會隨時間推移而消失，因此不予考慮?？稍O式（8）的特解的形式為：

其中：

3.2 集中質(zhì)量的運動為粘著時的運動方程

其中，xslip為當集中質(zhì)量由滑移變?yōu)檎持鴷r的臨界點所對應的位移，t為粘著段對應的時間區(qū)間的長度。

3.3滑移—粘著臨界時刻的

當滑移和粘著的運動方程分別確定后，集中質(zhì)量的時域位移響應可在滑移、粘著段分段可導，因此，求解滑移—粘著—滑移變化的臨界時刻就十分重要。當集中質(zhì)量的速度 時，系統(tǒng)由滑移變?yōu)檎持?，因此可?作為判斷臨界時刻的標準。

本文采取變步長法，求解滑移—粘著的臨界時刻，圖5為計算程序的流程圖。集中質(zhì)量處于粘著的時間與處于滑移的時間之和為周期的一半，因此粘著—滑移轉(zhuǎn)變的臨界時刻可由此確定。

3.4 系統(tǒng)幅頻響應的求解方法

由于雙折線本構(gòu)關系Z (t)為非線性的泛函，其示意圖如圖6所示，造成直接求頻響方程十分困難，因此考慮Z (t)的簡化形式。

雙折線遲滯模型的阻力具有周期性，且沒有第一類間斷點，并絕對可積，因此，可將其阻力展開成Fourier級數(shù)。

如圖7所示，可將雙折線遲滯模型的阻力分段表示：

在2處，1—2與2—3分別表示的分段函數(shù)應連續(xù)，可得：

圖5 臨界時刻計算流程圖

圖6 雙折線示意圖

xy為雙折線本構(gòu)關系的滑移極限。所以，利用分段積分定理，可得阻力F的Fourier級數(shù)為：

其中：

以往的文獻曾對式（12）進行頻譜分析，指出，式（12）中的高次諧波位移與基頻位移之比均低于5.5%，甚至往往低于1%。因此，可取式（13）中n=1的各項來近似代替雙折線遲滯模型的阻力。

當n=1時，簡化后可得：

因此，雙折線遲滯模型的等效阻力為：

將式（13）代入式（1）中，再對式（1）進行傅里葉變換，經(jīng)整理、簡化后最終可得：

其中，xm為集中質(zhì)量位移響應的幅值，利用Newton迭代法求解非線性方程（18）即可得到集中質(zhì)量的幅頻響應曲線。

4 計算結(jié)果及分析

為分析不同的系統(tǒng)參數(shù)對集中質(zhì)量粘滑運動的影響，在幅值為20N，頻率為5HZ的簡諧激勵下，分別計算了不同參數(shù)時系統(tǒng)的時域位移響應。系統(tǒng)的各參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

4.1 時域響應

為分析不同的系統(tǒng)參數(shù)對集中質(zhì)量粘滑運動的影響，在幅值為20N，頻率為5HZ的簡諧激勵下，分別計算了不同參數(shù)時系統(tǒng)的時域位移響應。系統(tǒng)的各參數(shù)如表1所示。圖7為集中質(zhì)量的位移響應。由圖7可見，文中的計算方法可表征集中質(zhì)量的粘滑運動，且?guī)俚拇笮ξ灰频姆涤杏绊懀瑤僭龃髸r位移的幅值增大。

4.1.1 不同阻尼時集中質(zhì)量的位移響應

圖8為集中質(zhì)量的位移響應，由圖8可見，阻尼的大小對位移的幅值有影響，帶速增大時位移的幅值減小。

圖7 集中質(zhì)量位移響應

圖8 集中質(zhì)量位移響應 (m=0.5，k=10，zs=20，ks=25)

圖9 集中質(zhì)量位移響應 (c=0.5，m=0.5，zs=20，ks=25)

4.1.2 不同剛度時集中質(zhì)量的位移響應

由圖9可見，剛度k的大小對位移的幅值有影響，k增大時位移的幅值減小。

4.2 幅頻響應

取系統(tǒng)參數(shù)為 m=0.05，c=0.5，k=25，zs=20，ks=22，在幅值為30N，頻率為0～10HZ掃頻的激勵下，計算集中質(zhì)量的幅頻響應，結(jié)果如圖10所示。可見當激勵頻率為5.1HZ左右時，幅頻響應達到峰值。

圖10 集中質(zhì)量的幅頻響應曲線

5 結(jié)論

文中給出了干摩擦系統(tǒng)的建模及計算方法，分析了干摩擦系統(tǒng)中的參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響，結(jié)果表明，文中的建模和數(shù)值方法是有效的，可供干摩擦設計借鑒。

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