二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式

張曉霞，王 杰，阮建苗

(浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

2008年Alomari等［11］考慮了f(x，y)為二維依坐標(biāo)s-凸函數(shù)的情形，2009年Latif等［12］1653考慮了f (x，y)為二維依坐標(biāo)h-凸函數(shù)的情形，即有

命題4 設(shè)f:Δ= a，[ ]b× c，[ ]d?0，[ )∞ × 0，[ )∞→R是Δ上的二維依坐標(biāo)h-凸函數(shù)，且f∈L2(Δ)，h∈L1(［0，1］)，那么有

同理，令gx(y)=f(x，y)，則?x∈ a，[ ]b，gx:c，[ ]d→R是 c，[ ]d上的(h-m)-凸函數(shù)，則有

二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式

張曉霞，王 杰，阮建苗*

(浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

建立了二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式，推廣了二維依坐標(biāo)凸函數(shù)、二維依坐標(biāo)s-凸函數(shù)(第二種意義下)、二維依坐標(biāo)m-凸函數(shù)與二維依坐標(biāo)h-凸函數(shù)情形下的Hermite-Hadamard型不等式.

Hermite-Hadamard型不等式;凸函數(shù);(h-m)-凸函數(shù)

1 引言及主要結(jié)果

1985年Toader①提出了m-凸函數(shù)的概念，2007年Varosanec［1］提出了h-凸函數(shù)的概念.h-凸函數(shù)是凸函數(shù)、s-凸函數(shù)、Godunova-Levin函數(shù)以及P-函數(shù)等函數(shù)類的推廣，我們熟知這些函數(shù)類在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中有大量的應(yīng)用，因此h-凸函數(shù)引起眾多學(xué)者的興趣與關(guān)注(見文獻(xiàn)［2-4］等).2011年Ozdemir等［5］3進(jìn)一步推廣了h-凸函數(shù)與m-凸函數(shù)的概念，提出了(h-m)-凸函數(shù)的概念，即

定義1 設(shè)m∈(0，1］，函數(shù)h:［0，1］→(0，∞)，區(qū)間I?R，若函數(shù)f:I→R滿足條件

其中x，y∈I，α∈ 0，[ ]1，則稱f為I上的(h-m)-凸函數(shù).

命題1［6］設(shè)f:R→R是一個(gè)凸函數(shù)，則對(duì)于任意的a，b∈R且a＜b，有

1999年Dragomir等［7］考慮了f為s-凸函數(shù)的情形，2002年Dragomir［8］又考慮了f為m-凸函數(shù)的情形，2008年Sarikay等［9］考慮了f為h-凸函數(shù)的情形，2011年Ozdemir等［5］4-6進(jìn)一步考慮了f為(hm)-凸函數(shù)的情形，即有

命題2 設(shè)f是[ a，b]?[0 ，∞)上的(h-m)-凸函數(shù)，且f∈L1(［a，b］)，則有

與

與此同時(shí)，Hermite-Hadamard型不等式的高維推廣也引起了廣泛關(guān)注.2001年Dragomir［10］778考慮了二維依坐標(biāo)凸函數(shù)情形下的Hermite-Hadamard型不等式，即有:

命題3 設(shè)f:Δ= a，[ ]b× c，[ ]d?0，[ )∞ × 0，[ )∞→R是Δ上的二維依坐標(biāo)凸函數(shù)，那么有

2008年Alomari等［11］考慮了f(x，y)為二維依坐標(biāo)s-凸函數(shù)的情形，2009年Latif等［12］1653考慮了f (x，y)為二維依坐標(biāo)h-凸函數(shù)的情形，即有

命題4 設(shè)f:Δ= a，[ ]b× c，[ ]d?0，[ )∞ × 0，[ )∞→R是Δ上的二維依坐標(biāo)h-凸函數(shù)，且f∈L2(Δ)，h∈L1(［0，1］)，那么有

2011年Ozdemir等［13］225考慮了f(x，y)為二維依坐標(biāo)m-凸函數(shù)的情形，即有

命題5 設(shè)f:Δ= a，[ ]b× c，[ ]d?0，[ )∞ × 0，[ )∞→R是Δ上的二維依坐標(biāo)m-凸函數(shù)，且m∈(0，1］，那么有

其中

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文的主要目的是建立二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式.

2009年Latif等［12］1651把h-凸函數(shù)的概念推廣到二維空間，提出了二維h-凸函數(shù)與二維依坐標(biāo)h-凸函數(shù)的概念，它們分別是二維凸函數(shù)、二維s-凸函數(shù)與二維依坐標(biāo)凸函數(shù)、二維依坐標(biāo)s-凸函數(shù)等概念的推廣(詳見文獻(xiàn)［10］777，［14］).2011年Ozdemir等［13］222-223提出了二維m-凸函數(shù)與二維依坐標(biāo)m-凸函數(shù)的概念.類似地，我們?cè)诒疚闹幸M(jìn)二維(h-m)-凸函數(shù)與二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)的概念.

定義2 設(shè)函數(shù)f:Δ= a，[ ]b × c，[ ]d?0，[ )∞ × 0，[ )∞→R，函數(shù)h:0，[ ]1→0，[ )∞，且若?α∈［0，1］，(x，y)，(z，w)∈Δ，有

其中m∈(0，1］，則稱函數(shù)f是Δ上的二維(h-m)-凸函數(shù).

定義3 設(shè)m∈(0，1］，函數(shù)f與h如定義2所述.若?(x，y)∈Δ，單變量映射fy:［a，b］→R，fy(u)=f(u，y)和fx:［c，d］→R，fx(v)=f(x，v)都是(h-m)-凸函數(shù)，則稱函數(shù)f是Δ上的二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù).這等價(jià)于?t，s∈［0，1］，(x，u)，(x，w)，(y，u)，(y，w)∈Δ，有

注1 容易證明，若f是Δ上的二維(h-m)-凸函數(shù)，則f必是Δ上的二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)，且由文獻(xiàn)［12］知，上述結(jié)論反之不真;

注2 若m=1，則二維依坐標(biāo)(h-1)-凸函數(shù)即為二維依坐標(biāo)h-凸函數(shù);特別地，若h(α)∈{ α，αs}，則二維依坐標(biāo)(h-1)-凸函數(shù)分別為二維依坐標(biāo)凸函數(shù)與二維依坐標(biāo)s-凸函數(shù)(在第二種意義下).若h(α)=α，則二維依坐標(biāo)(α-m)-凸函數(shù)即為二維依坐標(biāo)m-凸函數(shù).

根據(jù)注1與注2，本文僅考慮f為二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)的情形.我們的結(jié)論有:

定理1 設(shè)函數(shù)f:Δ= a，[ ]b× c，[ ]d?0，[ )∞ × 0，[ )∞→R是Δ上的二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)，且若f∈L2(Δ)，h∈L1(［0，1］)，那么有

其中Vi(i=1，2，3，4)如命題5中所定義.

注3 特別地，若h(t)=t，則(1.7)式即為(1.6)式.

定理2 設(shè)函數(shù)f:Δ= a，[ ]b× c，[ ]d?0，[ )∞ × 0，[ )∞→R是Δ上的二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)，f∈L2(Δ)，那么有

注4 若m=1，(1.8)式中的第一個(gè)不等式即(1.5)中的第一個(gè)不等式，而第二個(gè)不等式即為

特別地，若進(jìn)一步有h(t)=t，則(1.8)式即為(1.4)式.

2 定理的證明

2.1 定理1的證明

證明 令gy(x)=f(x，y).因?yàn)閒是Δ上的二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)，則?y∈ [ c，d]，gy: [ a，b]→R是 [ a，b]上的(h-m)-凸函數(shù)，由(1.2)式得

即

對(duì)(2.1)式兩邊同除以(d-c)，并關(guān)于y在 c，[ ]d上積分，得

同理，令gx(y)=f(x，y)，則?x∈ a，[ ]b，gx:c，[ ]d→R是 c，[ ]d上的(h-m)-凸函數(shù)，則有

由(2.2)式與(2.3)式知，命題成立，即定理1得證.

2.2 定理2的證明

證明 令gy(x)=f(x，y).因?yàn)閒是Δ上的二維依坐標(biāo)(h-m)-凸函數(shù)，則?y∈ [ c，d]，gy: [ a，b]→R是 [ a，b]上的(h-m)-凸函數(shù)，則由(1.3)式得

即

對(duì)(2.4)式兩邊同除以(d-c)，并對(duì)y在 c，[ ]d上積分，得

同理，令gx(y)=f(x，y)，則?x∈ a，[ ]b，gx:c，[ ]d→R是 c，[ ]d上的(h-m)-凸函數(shù)，則有

同理，有

則由(2.7)與(2.8)式，得

同理可得

則把(2.10)、(2.11)式，以及(2.5)、(2.6)式中的第一個(gè)不等式代入(2.9)式，即得定理2的第一個(gè)不等式.

下面證明定理2的第二個(gè)不等式.類似地，對(duì)(2.6)式中的第二個(gè)不等式做估計(jì)，得

則由(2.12)式與(2.6)式中的第二個(gè)不等式，得

把(2.14)～(2.17)式代入(2.13)式即得定理2的第二個(gè)不等式.綜上所述，命題得證.

注釋:

①Toader G.Some generalization of the convexity.Proc Colloq Approx Opt.Cluj-Napoca［Romania］:University of Cluj-Napoca，Dept.of Mathematics，1985:329-338.

［1］Varosanec S.On h-convexity［J］.J Math Anal Appl，2007，326(1):303-311.

［2］Latif M A.On some inequalities for h-convex functions［J］.Int J of Math.Analy，2010，4(30):1473-1482.

［3］Burai P，Hazy A.On approximately h-convex functions［J］.J of Convex Analy，2011，18(2):447-454.

［4］Hazy A.Bernstein-Doetsch type results for h-convex functions［J］.Math Ineq Appl，2011，14(3):499-508.

［5］?zdemir M E，Akdemir A O，Set E.On(h-m)-convexity and Hadamard-type inequalities［J/OL］.Math CA，2011.［2011-12-15］.http://arxiv.org/pdf/1103.6163v1.

［6］Dragomir S S，Pearce C E M.Quasi-convex functions and Hadamard’s inequality［J］.Bull Austral Math Soc，1998，57 (3):377-385.

［7］Dragomir S S，F(xiàn)itzpatrick S.The Hadamard’s inequality for s-convex functions in the second sense［J］.Demonstratio Math，1999，32(4):687-696.

［8］Dragomir S S.On some new inequalities of Hermite-Hadamard type for m-convex functions［J］.Tamkang J of Math，2002，33(1):45-55.

［9］Sarikaya M Z，Saglam A，Yildrim H.On some Hadamard-type inequalities for h-convex functions［J］.J Math Ineq，2008，2(3):335-341.

［10］Dragomir S S.On Hadamard’s inequality for convex functions on the co-ordinates in a rectangle from the plane［J］.Taiwanese J Math，2001，5(4).

［11］Alomari M，Darus M.The hadamard’s inequality for s-convex function of 2-variables on the co-ordinates［J］.Int J Math Anal，2008，2(13):629-638.

［12］Latif M A，Alomari M.On Hadamard-type inequalities for h-convex function on the co-ordinates［J］.Int J of Math Anal，2009，3(33).

［13］?zdemir M E，Set E，Sarikaya M Z.Some new hadamard type inequalities for co-ordinated m-convex and(α-m)-convex functions［J］.Hacettepe J Math and Statistics，2011，40(2).

［14］Alomari M，Darus M.Co-ordinates s-convex function in the first sense with some Hadamard-type inequalities［J］.Int J Contemp Math Sci，2008，3(30):1557-1567.

On Hermite-Hadamard Type Inequalities for(h-m)-Convex Functions on the Bi-dimensional Co-ordinates

ZHANG Xiaoxia，WANG Jie，RUAN Jianmiao
(School of Science and Technology，Zhejiang International Studies University，Hangzhou 310012，China)

The Hermite-Hadamard type inequalities for(h-m)-convex functions on the bi-dimensional co-ordinates is established in this paper，which are generalizations of the Hermite-Hadamard type inequalities for concex functions，s-convex fucntions(in the second sence)，m-convex functions and h-convex functions on the bi-dimensional co-ordinates.

Hermite-Hadamard type inequalities;convex functions;(h-m)-convex functions

O174

A

2095-2074(2012)03-0085-06

2012-03-20

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11101372)

張曉霞(1990-)，女，浙江金華人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2008級(jí)本科生;王杰(1989-)，男，浙江寧波人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級(jí)本科生.

*通訊作者:阮建苗(1979-)，男，浙江象山人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，理學(xué)博士.