軸對稱后向臺階不穩(wěn)定流動及壓強(qiáng)振蕩數(shù)值研究①

張翔宇，何國強(qiáng)，劉佩進(jìn)

(西北工業(yè)大學(xué)燃燒、熱結(jié)構(gòu)與內(nèi)流場重點實驗室，西安 710072)

0 引言

后向臺階流動具有幾何結(jié)構(gòu)簡單、分離點固定和來流條件容易控制等特點，是研究湍流邊界層分離和再附流動的重要形式之一。目前，國內(nèi)外對層流至湍流條件下的流動進(jìn)行了大量的試驗和數(shù)值模擬［1－3］，試驗大多在風(fēng)洞和水洞中進(jìn)行，測量手段有熱線、熱膜探針和PIV等。目前，為提高戰(zhàn)術(shù)固體火箭發(fā)動機(jī)性能，大多采用高能復(fù)合推進(jìn)劑及復(fù)雜裝藥構(gòu)型，尤其是翼柱形裝藥的固體火箭發(fā)動機(jī)在翼槽燒完時，也會形成具有自身特點的后向臺階流動。這種臺階結(jié)構(gòu)是軸對稱的，具有一定傾斜角度，并且由于側(cè)向加質(zhì)的作用，近壁面速度垂直于軸線，流場中主流速度較大，一般為完全發(fā)展的湍流流動。前柱后翼形裝藥形成的后向臺階會使流動在臺階附近形成剪切層，進(jìn)而產(chǎn)生轉(zhuǎn)角渦脫落現(xiàn)象，這是固體火箭發(fā)動機(jī)中3種典型的旋渦脫落現(xiàn)象之一［4－5］。當(dāng)渦脫落頻率與聲場某階固有頻率接近時，就可能形成共振，這種聲渦耦合產(chǎn)生的共振是大長徑比固體火箭發(fā)動機(jī)燃燒室壓強(qiáng)振蕩的源頭。Flandro和Jacobs［6］最早指出，流動經(jīng)過障礙物時，形成的旋渦脫落會將部分平均流能量轉(zhuǎn)化為聲能，從而產(chǎn)生聲能增益。Mason 和 Folkman［7］以及 Brown［8］等得出結(jié)論，旋渦脫落可誘發(fā)燃燒室的軸向基頻。Culick 和 Magiawala［9］、Dunlap［10］通過實驗研究表明，當(dāng)旋渦脫落頻率與燃燒室聲場固有頻率接近時，會引起壓強(qiáng)振蕩現(xiàn)象。Vuillot［11］、Lupoglazoff［12］設(shè)計了一種轉(zhuǎn)角渦脫落致壓強(qiáng)振蕩的發(fā)動機(jī)，并通過試驗及數(shù)值模擬證明了轉(zhuǎn)角渦脫落產(chǎn)生的聲渦作用，可引起與聲場固有頻率相耦合的壓強(qiáng)振蕩現(xiàn)象。Shanbhogue［13］等通過冷流試驗，研究了轉(zhuǎn)角渦脫落引起的壓強(qiáng)振蕩問題，得到了St數(shù)隨流場結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的規(guī)律。

本文對戰(zhàn)術(shù)發(fā)動機(jī)內(nèi)形成的軸對稱后向臺階流動進(jìn)行模型化處理，設(shè)計了一種無需外加擾動的旋渦脫落致壓強(qiáng)振蕩的流場結(jié)構(gòu)。運(yùn)用穩(wěn)定性理論得到聲渦耦合模態(tài)預(yù)測方法，并采用大渦模擬(LES)方法，針對寬來流條件進(jìn)行數(shù)值模擬。通過對比計算結(jié)果，驗證了模態(tài)預(yù)測方法的準(zhǔn)確性，分析了轉(zhuǎn)角渦脫落產(chǎn)生的一般過程及旋渦多尺度運(yùn)動規(guī)律。通過分析流場關(guān)鍵位置的壓強(qiáng)振蕩，研究了氣動聲學(xué)特性及旋渦運(yùn)動與壓強(qiáng)振蕩的關(guān)系。

1 計算構(gòu)型設(shè)計

1.1 聲渦耦合模態(tài)預(yù)測方法

對于某一特定構(gòu)型的發(fā)動機(jī)燃燒室，如果其平均流邊界層的不穩(wěn)定頻率處于軸向聲模態(tài)范圍內(nèi)，就有可能形成旋渦脫落引起的壓強(qiáng)振蕩現(xiàn)象。Lupoglazoff等通過求解不可壓Orr－Sommerfeld方程，得到了后向臺階結(jié)構(gòu)燃燒室的徑向速度分布曲線。分析表明，具有拐點的雙曲正切形速度分布是剪切層發(fā)展為離散旋渦的重要條件。應(yīng)用空間增長率理論，分析流體動力學(xué)穩(wěn)定性問題，旋渦波動量為

其中，α =αr+iαi∈C，ω∈R，B 是積分常數(shù)，f(y)、φ(y)、π(y)是渦量波動分布。任意給定ω，計算求解本征問題的解為α=αr+iαi，并引入以下無量綱角頻r=2πfδ/ΔUr+iai。

通過處理可得到cr與實際頻率的關(guān)系曲線。分析表明，在cr的臨界值(cr)cr以上，邊界層是穩(wěn)定的。此外，計算中還需定義以下參數(shù):無量綱旋渦位移速度將邊界層厚度表示成燃燒室直徑D的函數(shù)δ=KDD;將剪切層速度差ΔUe表示成平均流速度U的函數(shù)ΔUe=KUU=KU(a0M)。最終形成后向臺階不穩(wěn)定流動需同時滿足以下2個條件:

(1)流場第p階固有模態(tài)fp位于剪切層不穩(wěn)定范圍內(nèi)，即無量綱頻率(cr)p小于臨界頻率(cr)cr;

本文采用半封閉聲腔模型fp=(2p－1)a0/(4L)。

(2)旋渦運(yùn)動距離l應(yīng)至少包含一個渦波長度λv，即 λv＜l。

代入KV、KU表達(dá)式，對于給定構(gòu)型，可認(rèn)為二者為常數(shù)。聯(lián)立以上二式，整理得:

式中的關(guān)鍵參數(shù)參考文獻(xiàn)［11］中的結(jié)果，代入數(shù)值計算得到:

式(4)就是后向臺階流動中，給定長徑比及臺階位置條件下主流速度與轉(zhuǎn)角渦脫落可能誘發(fā)的聲模態(tài)之間的關(guān)系。需指出的是，上述結(jié)論僅是發(fā)生不穩(wěn)定的必要條件。盡管如此，經(jīng)驗表明，輕微的不穩(wěn)定趨勢，就有可能引發(fā)聲渦耦合現(xiàn)象。這也就是為什么當(dāng)滿足必要條件時，就很容易發(fā)生不穩(wěn)定，而制造完全穩(wěn)定的發(fā)動機(jī)卻十分困難。

1.2 研究對象的幾何結(jié)構(gòu)

為得到后向臺階流動渦脫落及氣動聲學(xué)的一般規(guī)律，需對計算模型進(jìn)行適當(dāng)簡化。忽略側(cè)向加質(zhì)的影響，將后向臺階擴(kuò)張角θ確定為90°。長徑比參考戰(zhàn)術(shù)發(fā)動機(jī)燃燒室特征，并進(jìn)行適當(dāng)縮比，整個流動區(qū)域為軸對稱結(jié)構(gòu)，總長1 200 mm;將后向臺階布置在流場中央，臺階前后段L1、L2等長，且均為600 mm;單側(cè)后向臺階高度H為25 mm;臺階前后管路直徑D1、D2分別為50 mm和100 mm。流動區(qū)域示意圖見圖1。

2 數(shù)值研究方法

在后向臺階流動中，臺階后緣會產(chǎn)生類似平板剪切層的大渦序列，整個流場中的旋渦結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜。工程應(yīng)用中，普遍采用的雷諾時均(RANS)方法難以模擬這種復(fù)雜的流動特性和旋渦結(jié)構(gòu)。因此，本文采用大渦模擬(LES)方法，對多尺度旋渦的運(yùn)動過程進(jìn)行數(shù)值模擬。

2.1 控制方程離散及求解

LES在湍流數(shù)值模擬中只計算大尺度脈動，將小尺度脈動對大尺度運(yùn)動的作用建立亞格子模型，過濾小尺度脈動，并得到亞格子應(yīng)力項，亞格子模型的選擇至關(guān)重要。后向臺階流動中，剪切層與近壁面流動關(guān)系密切。因此，選用對近壁面區(qū)域進(jìn)行修正的WALE(Wall－Adatping Local Eddy－viscosity)亞格子模型，從而避免了Smagorinsky模型難以準(zhǔn)確預(yù)測近壁區(qū)流動及湍流轉(zhuǎn)捩現(xiàn)象的不足［14］。計算中，不考慮化學(xué)反應(yīng)以及凝相粒子的影響，控制方程采用純氣相可壓N－S方程?？臻g參數(shù)離散采用具有二階精度的BCD(Bounded Central Differencing)格式，時間上采用二階隱式格式，時間步長為10－5s。為提高計算的收斂性，先采用空間二階離散格式的RANS方法得到流場的穩(wěn)態(tài)解，然后采用上述LES方法求解非定常流動。

2.2 計算網(wǎng)格與邊界條件

由于LES受網(wǎng)格密度及人為劃分的影響顯著，須將可能出現(xiàn)大尺度回流區(qū)與渦脫落區(qū)的計算域進(jìn)行高精度的空間網(wǎng)格剖分。在臺階前后、轉(zhuǎn)角及壁面附近進(jìn)行加密。計算采用二維軸對稱方法，通過網(wǎng)格收斂驗證，總網(wǎng)格數(shù)約為55 000(圖2)。介質(zhì)為常溫常壓可壓氣體，粘性模型采用Sutherland定律，入口邊界給出空氣質(zhì)量流率、來流總壓和初始溫度，出口邊界給出靜壓和回流溫度，壁面采用無滑移絕熱壁面條件。該計算模型是一個進(jìn)口為聲學(xué)反射邊界的半封閉聲腔。

2.3 計算方法驗證

后向臺階流動數(shù)值模擬的關(guān)鍵是對旋渦運(yùn)動及壓強(qiáng)振蕩的準(zhǔn)確模擬。陳曉龍等［15］通過搭建冷流試驗系統(tǒng)，在高壓空氣中加入示蹤粒子，對轉(zhuǎn)角渦脫落進(jìn)行了可視化研究。

圖3是應(yīng)用上述數(shù)值方法對流場進(jìn)行的二維大渦模擬結(jié)果與冷流試驗中的高速攝影結(jié)果。在激光照射下，混合了粒子的流向氣體呈亮白色，而照片中的“黑洞”現(xiàn)象是由于旋渦中高速運(yùn)動氣體將粒子甩出造成的?？煽闯觯疚牟捎玫臄?shù)值方法得到的旋渦位置和結(jié)構(gòu)與試驗結(jié)果較為吻合。

此外，還對VKI實驗室針對Ariane 5 P230助推器縮比模型的冷流試驗進(jìn)行了數(shù)值模擬校驗。該實驗器為軸對稱結(jié)構(gòu)［16］(圖4)，通過高頻壓強(qiáng)傳感器測量了流場不同位置的壓強(qiáng)振蕩。圖5是計算域網(wǎng)格劃分，與后向臺階流動數(shù)值模擬采用的網(wǎng)格剖分尺寸一致。

發(fā)動機(jī)頭部壓強(qiáng)振蕩頻率的試驗結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果見表1。由表1可看出，采用的二維軸對稱LES數(shù)值方法得到的壓強(qiáng)振蕩頻率與試驗結(jié)果較為接近，前四階頻率與實驗結(jié)果間的最大誤差小于6%，可較好地對湍流場氣動聲學(xué)問題進(jìn)行研究。

表1 LES結(jié)果與試驗結(jié)果對比Table 1 Results of LES and cold experiments Hz

3 后向臺階流動的旋渦結(jié)構(gòu)

3.1 轉(zhuǎn)角渦脫落的形成過程

在后向臺階流動中，一般以雷諾數(shù)作為特征參數(shù)進(jìn)行研究，定義Re=UH/ν。其中，U為來流速度;H為臺階高度;ν為介質(zhì)的運(yùn)動粘度。為方便分析流場特征，需將流動區(qū)域進(jìn)行劃分。

以Re=11 288(Ma=0.02)的算例為例，處理穩(wěn)態(tài)計算結(jié)果繪制流函數(shù)分布圖(圖6)，在緊靠臺階后緣突擴(kuò)區(qū)域形成一個低速角渦區(qū)，在其下游是一個狹長的近壁面回流區(qū)，接著流動再附著并繼續(xù)發(fā)展。通過上述分析，可得如圖7所示的后向臺階湍流分離流動流場的基本劃分方法。

連續(xù)介質(zhì)經(jīng)過后向臺階時，會在臺階下游形成典型的流動剪切層，隨著剪切層向下游發(fā)展，形成流向渦，這種大尺度旋渦運(yùn)動對流動穩(wěn)定性及氣動聲學(xué)問題都具有重要影響。

LES可獲得旋渦結(jié)構(gòu)的運(yùn)動演化過程，通過整個計算區(qū)域內(nèi)的等渦量線圖可觀察剪切層的運(yùn)動特征，包括旋渦的產(chǎn)生、脫落和合并過程。

圖8描述了流動穩(wěn)定后轉(zhuǎn)角渦脫落形成的典型過程。圖8(a)是一個旋渦脫落后新旋渦產(chǎn)生的初始過程，隨著剪切層在后向臺階下游持續(xù)發(fā)展，由于流動自身的不穩(wěn)定性，剪切層沿徑向擺動，同時受到近壁面回流區(qū)的卷吸作用，沿流向運(yùn)動了一定距離后，剪切層向壁面方向發(fā)展(X=0.67 m)。

遠(yuǎn)離臺階后，流動速度逐漸降低，向壁面移動的部分剪切層又受到后續(xù)發(fā)展的剪切層的擠壓作用，此時新的渦核基本形成(X=0.68 m)，如圖8(b)所示。

此后，隨著旋渦向下游繼續(xù)發(fā)展，新的渦量注入渦核，旋渦體積增加。當(dāng)旋渦增長到一定體積時，完整的渦結(jié)構(gòu)基本形成(X=0.69 m)，其受剪切層的影響也逐漸減小(圖8(c))。

此后，逐漸形成了穩(wěn)定的渦脫落(X=0.70 m)，渦量呈離散式分布(圖8(d))。下文分析中，采用的旋渦脫落頻率按上述過程進(jìn)行判定。

3.2 轉(zhuǎn)角渦脫落的形成過程

后向臺階流動的軸向速度分布特點是臺階下游流速低，且距離臺階越遠(yuǎn)，流速越低。由于流道結(jié)構(gòu)突擴(kuò)及壁面的粘性作用，管流中心流速大于近壁面處流速。由于湍流的多尺度性和隨機(jī)性，旋渦運(yùn)動也呈現(xiàn)類似特點。流場中旋渦運(yùn)動的典型過程如圖9所示。

臺階后緣由剪切層發(fā)展出離散的小尺寸旋渦(X=0.64 m)，其在向下游發(fā)展過程中，運(yùn)動速度逐漸降低，被后續(xù)形成的旋渦追趕，并發(fā)生初始合并過程(X=0.74 m)，隨著壁面渦量及離散渦量的注入(X=0.9 m)，進(jìn)而形成大尺度旋渦向下游運(yùn)動，直至離開流場(X=1.0 m)。

通過分析渦量云圖，將不同來流條件下的旋渦多尺度運(yùn)動頻率列于表2。由于旋渦運(yùn)動的隨機(jī)性，取旋渦運(yùn)動3～5個周期的平均值。可看出，隨著來流速度增加，各尺度的旋渦運(yùn)動頻率均相應(yīng)增加。

表2 多尺度旋渦運(yùn)動頻率Table 2 Frequency of the multi-scale vortex motion

4 壓強(qiáng)振蕩及氣動聲學(xué)特性

后向臺階流動中的旋渦脫落和旋渦合并過程，會引發(fā)流動的不穩(wěn)定性。Powell方程指出［17］，在流速很低的條件下，僅存在渦的地方才會產(chǎn)生聲。當(dāng)旋渦運(yùn)動與聲場固有頻率接近時，就可能發(fā)生聲渦耦合現(xiàn)象，造成流場中持續(xù)的壓強(qiáng)振蕩。LES方法不但可模擬不同來流條件下的旋渦發(fā)展過程，還可得到流場各處壓強(qiáng)隨時間的變化規(guī)律。通過FFT分析，獲得壓強(qiáng)波動的特征頻率和振幅。計算中，記錄流場中關(guān)鍵部位的壓強(qiáng)值，壓強(qiáng)監(jiān)測點分布如圖10所示。

圖10中，1位于流場進(jìn)口壁面上，試驗中高頻振蕩壓強(qiáng)傳感器一般布置在燃燒室頭部，是研究燃燒不穩(wěn)定問題的重要布測點;2位于臺階轉(zhuǎn)角處;3表示布置在角渦區(qū)和回流區(qū)的監(jiān)測點;4表示布置在再發(fā)展區(qū)的監(jiān)測點。

對于不規(guī)則的聲腔結(jié)構(gòu)，ANSYS軟件的模態(tài)分析，可確定固有頻率及振型。試驗證實，該方法對頻率預(yù)測準(zhǔn)確性很高。ANSYS分析聲場前5階軸向模態(tài)分別為 99.5、182.6、381.5、464.7、663.6 Hz。對各工況下數(shù)值模擬記錄的監(jiān)測點1壓強(qiáng)值進(jìn)行FFT分析，得到結(jié)果如圖11所示，橫坐標(biāo)表示壓強(qiáng)振蕩頻率，縱坐標(biāo)表示振幅(波動量與平均壓強(qiáng)之比)。將流場的結(jié)構(gòu)及各工況來流參數(shù)代入式(4)進(jìn)行計算，得到誘發(fā)聲場前5階軸向振型所需的來流Ma范圍(表3)。并將上述結(jié)果列于表4。

表3 聲渦耦合模態(tài)預(yù)測Table 3 Prediction of acoustic-flow coupling mode

表4 數(shù)值模擬與聲渦耦合模態(tài)預(yù)測結(jié)果對比Table 4 Results of the mode prediction and LES

對比ANSYS模態(tài)分析結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果可知，本文設(shè)計的后向臺階流動出現(xiàn)了較為明顯的壓強(qiáng)振蕩現(xiàn)象。在設(shè)計來流范圍下，流動最多可誘發(fā)聲場的前5階軸向頻率。隨著來流速度增加，各階軸向振型相繼被激發(fā)，同時壓強(qiáng)振蕩振幅也逐漸增大，在流場頭部前兩階軸向頻率的振幅最大，最大振幅接近平均壓強(qiáng)的5‰。聲渦耦合模態(tài)預(yù)測方法對不同速度下可能誘發(fā)的軸向聲模態(tài)預(yù)測結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果十分吻合，當(dāng)來流速度接近激發(fā)某階固有頻率所需的速度下限時，該頻率逐漸被激發(fā)。分析可知，激發(fā)軸向基頻所需的來流速度最低。工況1對應(yīng)的來流Ma=0.01，此時沒有發(fā)生聲渦耦合現(xiàn)象。因此，通過該方法，也可對后向臺階穩(wěn)定流動的速度上限進(jìn)行預(yù)估。

對比相同工況下流場中不同壓強(qiáng)監(jiān)測點的FFT分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，監(jiān)測點2、3與1的壓強(qiáng)振蕩頻率一致，但各階頻率的振幅更低，流場頭部壓強(qiáng)振蕩最為強(qiáng)烈。處于再發(fā)展區(qū)的監(jiān)測點4各階頻率的振幅更小，并出現(xiàn)了小于軸向基頻的低振幅的寬峰振蕩，此頻率隨來流速度增加而逐漸增加。

工況2～5監(jiān)測點4的FFT分析結(jié)果如圖12所示。結(jié)合表2給出的多尺度旋渦運(yùn)動結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)，低于軸向基頻的頻率與大尺度旋渦運(yùn)動頻率接近。在來流速度較低的情況下(工況2)，再發(fā)展區(qū)中大尺度旋渦運(yùn)動頻率對壓強(qiáng)振動的影響較大。隨來流速度增加，聲渦耦合現(xiàn)象逐漸增強(qiáng)，當(dāng)聲場某階固有頻率被激發(fā)后，壓強(qiáng)振蕩頻率與聲場固有頻率相耦合，流場中的壓強(qiáng)振蕩以聲場軸向各階頻率為主。當(dāng)大尺度旋渦運(yùn)動頻率與基頻接近時，會造成基頻的多峰現(xiàn)象(工況4、5)。表2的結(jié)果也表明，當(dāng)近臺階小尺寸旋渦形成頻率接近聲場某階固有頻率時，該頻率及更低階頻率就有可能被激發(fā)。這說明后向臺階流動中，轉(zhuǎn)角處旋渦脫落及旋渦運(yùn)動是誘發(fā)聲渦耦合現(xiàn)象的源頭。

5 結(jié)論

(1)后向臺階下游形成剪切層，由于流動不穩(wěn)定性和近壁面回流區(qū)的作用，剪切層會發(fā)展為渦量離散分布的旋渦結(jié)構(gòu)。隨來流速度增加，旋渦脫落頻率增大，脫落位置也更靠近后向臺階。小尺寸旋渦被后續(xù)形成的旋渦追趕，并發(fā)生初始合并過程，隨壁面渦量及離散渦量的注入，最終形成大尺度旋渦，直至離開流場。

(2)從穩(wěn)定性理論推導(dǎo)出后向臺階流動的聲渦耦合模態(tài)預(yù)測方法，可對不同速度下可能激發(fā)的聲場頻率進(jìn)行合理預(yù)測。當(dāng)來流速度增加至激發(fā)某階固有頻率所需的速度下限時，該頻率逐漸被激發(fā)。通過該方法，還可對后向臺階穩(wěn)定流動的速度上限進(jìn)行預(yù)估。

(3)流場頭部壓強(qiáng)波動振幅最大，頻率與聲場軸向模態(tài)相耦合。再發(fā)展區(qū)出現(xiàn)低于軸向基頻的寬峰振蕩受大尺度旋渦運(yùn)動的影響，該頻率與基頻接近時，會造成基頻的多峰現(xiàn)象。當(dāng)近壁面小尺寸旋渦形成頻率接近聲場某階固有頻率時，該頻率及更低階頻率就有可能被激發(fā)。

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