大鍛件統(tǒng)計(jì)學(xué)t檢驗(yàn)法的研究和應(yīng)用

呂亞臣 齊作玉 于中海 任運(yùn)來(lái)

(1.上海重型機(jī)器廠有限公司，上海 200245；2.上海電機(jī)學(xué)院， 上海 200240)

為了穩(wěn)定控制和不斷提升大鍛件的產(chǎn)品質(zhì)量，我們提出在大鍛件生產(chǎn)領(lǐng)域中應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，分析了以單件小批量生產(chǎn)為特征的大鍛件生產(chǎn)領(lǐng)域里應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的現(xiàn)狀和困難[1、2]。同時(shí)，針對(duì)大鍛件的單件小批量生產(chǎn)特點(diǎn)，給出了大鍛件統(tǒng)計(jì)學(xué)Chi-square test的研究和應(yīng)用實(shí)例[3]。至此，我們?cè)陔y度極高的大鍛件小樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究應(yīng)用上已經(jīng)取得了一定的突破。

然而，Chi-square test所用的統(tǒng)計(jì)資料只是計(jì)數(shù)資料，其所對(duì)應(yīng)的概率論中的變量也只是離散型的隨機(jī)變量。我們?cè)趯?shí)際統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中遇到的變量通常是兩大類，即離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，它們所對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)資料也是兩個(gè)大類：即計(jì)數(shù)資料和計(jì)量資料。到目前為止，在大鍛件小樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用研究上，對(duì)離散型隨機(jī)變量或計(jì)數(shù)資料的研究應(yīng)用僅僅是起步，仍需要針對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量或計(jì)量資料展開深入研究。

離散型隨機(jī)變量或計(jì)數(shù)資料在實(shí)際應(yīng)用中占據(jù)很大比重，它們是對(duì)每個(gè)觀察單位用定量的方法測(cè)定某項(xiàng)指標(biāo)所得的資料。這類資料大都是用測(cè)量工具或儀器測(cè)得的，帶有度、量或其它單位，所以叫測(cè)量或計(jì)量資料，如抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、伸長(zhǎng)率、收縮率、沖擊功和硬度等。因此針對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量或計(jì)量資料來(lái)研究大鍛件小樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)是十分必要的。

根據(jù)大鍛件的單件小批量生產(chǎn)特點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本理論方法，本文論述了大鍛件的小樣本Student test，即t檢驗(yàn)，并給出了具體應(yīng)用示例。該方法可用于大鍛件工藝參數(shù)的科學(xué)分析和生產(chǎn)驗(yàn)證，也可用于大鍛件質(zhì)量分析和判斷，還可用于構(gòu)建新一代大鍛件工藝與產(chǎn)品質(zhì)量控制系統(tǒng)，幫助實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定和提升大鍛件工藝和產(chǎn)品質(zhì)量的目的。

1 t檢驗(yàn)法理論基礎(chǔ)

1.1 可信區(qū)間

在統(tǒng)計(jì)抽樣研究中進(jìn)行數(shù)量分析和比較時(shí)，如果以樣本均數(shù)來(lái)估計(jì)總體的均數(shù)則叫點(diǎn)估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)值屬于就數(shù)論數(shù)。從科學(xué)的角度，我們不能對(duì)就數(shù)論數(shù)下結(jié)論，而應(yīng)該對(duì)數(shù)量加以必要的統(tǒng)計(jì)處理再下結(jié)論。在科學(xué)研究中，通常用區(qū)間估計(jì)，即估計(jì)總體均數(shù)落在什么范圍，我們把這種范圍叫做均數(shù)的可信區(qū)間。

1.2 顯著性檢驗(yàn)

不可能將總體的全部個(gè)體都進(jìn)行觀察，只能從中抽取部分進(jìn)行試驗(yàn)研究。用部分的研究結(jié)果說(shuō)明總體規(guī)律性，這種方法叫做抽樣調(diào)查。抽樣調(diào)查的結(jié)果受到偶然現(xiàn)象的影響，所得結(jié)果與總體之間存在一定的差異叫作抽樣誤差。抽樣誤差總是存在于抽樣調(diào)查之中，統(tǒng)計(jì)處理就是研究各數(shù)之差是不是由抽樣誤差引起的一種方法(所以也叫誤差檢驗(yàn))。如果樣本之間的差異是由抽樣誤差引起的，那么這些樣本可能來(lái)自規(guī)律相同的總體，就其總體規(guī)律來(lái)說(shuō)沒(méi)有差異。如果各數(shù)間的差異不是由抽樣誤差引起的，那么這些樣本可能不是來(lái)自一個(gè)總體，而是來(lái)自規(guī)律不同的兩個(gè)或幾個(gè)總體。也就是說(shuō)，這些有差別的樣本可能代表著幾個(gè)不同的總體，所以差異顯著。

統(tǒng)計(jì)上用概率P來(lái)表示由抽樣誤差引起的可能性有多大。習(xí)慣上將P≤0.05 或P≤0.01稱為小概率事件，表示事件發(fā)生的可能性很小。統(tǒng)計(jì)學(xué)上習(xí)慣規(guī)定P>0.05為差異不顯著，0.05≥P>0.01為差異顯著，P≤0.01為差異非常顯著。

1.3 t檢驗(yàn)

t檢驗(yàn)是根據(jù)t分布(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)原理建立起來(lái)的顯著性檢驗(yàn)方法。

自由度為n的t分布的概率密度為[4]：

(1)

式中，-∞

根據(jù)f(t)的圖形，它關(guān)于t=0是對(duì)稱的，并且形狀類似于正態(tài)變量概率密度的圖形。該圖形適合于用小的自由度n或者小的樣本量來(lái)表示。在t分布表格中，n通常也是比較小的數(shù)值，有些t表格只表示了最大為45的n值。n越大，t值的變化越小。

統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的結(jié)果表明，我們應(yīng)該根據(jù)所抽取樣本量的大小來(lái)選擇不同的顯著性檢驗(yàn)方法。通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的分析歸納，可以得出以下觀點(diǎn)：

對(duì)于計(jì)量資料的顯著性檢驗(yàn)，當(dāng)樣本含量較小，比如200例以下，應(yīng)該選用t(Student)檢驗(yàn)；當(dāng)樣本含量大于200，則采用n→∞的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的檢驗(yàn)。

關(guān)于最小樣本量，目前沒(méi)有確切的要求，但原則是應(yīng)該滿足統(tǒng)計(jì)要求。比如，正態(tài)性檢驗(yàn)，它適用于7～2 000的樣本量。而根據(jù)t值和t分布的特征和各種統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用實(shí)例，樣本量應(yīng)該在6～200之間。

2 t檢驗(yàn)方法和實(shí)例

2.1 長(zhǎng)軸類鍛件不合格原因分析

長(zhǎng)軸類鍛件軸端的力學(xué)性能在拔長(zhǎng)比達(dá)到一定條件后容易出現(xiàn)各向異性，它們之間的比值稱為異性系數(shù)。

20世紀(jì)80年代，上海重型機(jī)器廠為上海電機(jī)廠生產(chǎn)45鋼電機(jī)軸時(shí)常常會(huì)碰到電機(jī)軸切向性能不能滿足技術(shù)要求的問(wèn)題。在對(duì)1987年的電機(jī)軸統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)，全年有39個(gè)鍛件在試驗(yàn)檢查中出現(xiàn)了切向力學(xué)性能不合格的問(wèn)題。進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，39個(gè)不合格鍛件中，軸端鍛比大于10的占95%，切向斷面收縮率不合格的占97%，延伸率不合格的占3%。

這是典型的各向異性問(wèn)題，表現(xiàn)是軸端部拔長(zhǎng)比過(guò)大。但是，鋼錠必須經(jīng)過(guò)鐓粗拔長(zhǎng)的變形過(guò)程，最后的成品必須是有細(xì)的軸頸。因此，鍛造上根本不能回避大拔長(zhǎng)比的問(wèn)題。

為此，有研究者提出改善電機(jī)軸切向力學(xué)性能的根本性措施是：改進(jìn)冶煉工藝，研究鋼錠缺陷，發(fā)展冶煉鑄錠技術(shù)，提高冶金質(zhì)量[5]。

國(guó)內(nèi)其它重機(jī)廠也同樣碰到過(guò)類似的問(wèn)題。到底靠冶煉能否解決長(zhǎng)軸類鍛件的軸端各向異性呢？

為了解決40A船用電機(jī)軸的各向異性問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]統(tǒng)計(jì)計(jì)算了堿性電爐鋼和電渣熔煉鋼的各向異性系數(shù)，包括延伸率、斷面收縮率和沖擊值的各向異性系數(shù)。該文獻(xiàn)最后只是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了經(jīng)驗(yàn)性直觀判斷，并沒(méi)有給出科學(xué)的分析判斷。

1987年統(tǒng)計(jì)電機(jī)軸的數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常只出現(xiàn)軸向斷面收縮率不合格與延伸率不合格的情況，故本文只討論延伸率和斷面收縮率的t檢驗(yàn)應(yīng)用。

2.2 延伸率t檢驗(yàn)應(yīng)用

電爐鋼與電渣鋼的延伸率異向系數(shù)見(jiàn)表1。

采用兩樣本均數(shù)比較的t檢驗(yàn)方法進(jìn)行分析，給出分析結(jié)果。

延伸率統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)經(jīng)處理后得到表2。

延伸率各向異性系數(shù)的檢驗(yàn)步驟如下：

(1)建立假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0: 電爐鋼延伸率異性系數(shù)的總體均數(shù)μ1與電渣鋼延伸率異性系數(shù)μ2相同，即μ1=μ2。

H1:μ1≠μ2。

表1 電爐鋼與電渣鋼的延伸率異向系數(shù)Table 1 Elongation anisotropy coefficients of electric furnace steel and electric slag steel

表2 電爐鋼與電渣鋼延伸率的各向異性系數(shù)Table 2 Elongation anisotropy coefficients of electric furnace steel and electric slag steel

(2)計(jì)算t值

1)合并方差

s02=[∑X12-(∑X1)2/n1+∑X22-

(∑X2)2/n2]/(n1+n2-2)=0.013 7

2)均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤

S(m1-m2) = [s02(1/n1+1/n2)]1/2= 0.053 8

3)計(jì)算均數(shù)

m1=∑X1/n1=1.237

m2=∑X2/n2=1.091 4

4)計(jì)算t值

t=(m1-m2)/S(m1-m2)=4.047 7

(3)確定P值

自由度n′=n1+n2-2=17

按n′和t界值表，所以P<0.001。

(4)判定結(jié)果

按α=0.05準(zhǔn)則，拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為電爐鋼延伸率異性系數(shù)的總體均數(shù)μ1與電渣鋼延伸率異性系數(shù)μ2差異顯著。

2.3 斷面收縮率t檢驗(yàn)應(yīng)用電爐鋼與電渣鋼的斷面

電爐鋼與電渣鋼的斷面收縮率異向系數(shù)見(jiàn)表3。

斷面收縮率統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)經(jīng)處理后得到表4。

收縮率各向異性系數(shù)的檢驗(yàn)步驟如下：

(1)建立假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0: 電爐鋼收縮率異性系數(shù)的總體均數(shù)μ1與電渣鋼收縮率異性系數(shù)μ2相同，即μ1=μ2。

H1:μ1≠μ2。

(2)計(jì)算t值

1)合并方差

s02=0.034 0

2)均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤

S(m1-m2) = 0.084 8

3)計(jì)算均數(shù)

m1=∑X1/n1=1.396

m2=∑X2/n2=0.972 2

4)計(jì)算t值

t=(m1-m2)/S(m1-m2)=5.000 5

(3)確定P值

自由度n′=n1+n2-2=17

表3 電爐鋼與電渣鋼的斷面收縮率異向系數(shù)Table 3 Area reduction anisotropy coefficients of electric furnace steel and electric slag steel

表4 電爐鋼與電渣鋼斷面收縮率的各向異性系數(shù)Table 4 Area reduction anisotropy coefficients of electric furnace steel and electric slag steel

t=5.000 5

按n′和t界值表，所以P<0.001。

(4)判定結(jié)果

按α=0.05準(zhǔn)則，拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為電爐鋼收縮率異性系數(shù)的總體均數(shù)μ1與電渣鋼收縮率異性系數(shù)μ2差異顯著。

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的檢驗(yàn)計(jì)算可得出結(jié)論，采用電渣鋼可解決長(zhǎng)軸類鍛件的各向異性問(wèn)題。

3 結(jié)束語(yǔ)

大鍛件小樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究還有許多內(nèi)容值得繼續(xù)展開。大鍛件小樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)是大鍛件生產(chǎn)行業(yè)的一項(xiàng)關(guān)鍵共性技術(shù)，它的成果將廣泛應(yīng)用于整個(gè)大鍛件行業(yè)或領(lǐng)域中。關(guān)鍵共性技術(shù)研發(fā)是一項(xiàng)長(zhǎng)期的基礎(chǔ)性工作。由于關(guān)鍵共性技術(shù)的研究難度大、周期長(zhǎng)，效果也是多年后才能顯現(xiàn)，較難受到企業(yè)的高度重視，已經(jīng)成為制約我國(guó)大鍛件產(chǎn)業(yè)持續(xù)健康發(fā)展的核心問(wèn)題。加快大鍛件生產(chǎn)行業(yè)關(guān)鍵共性技術(shù)的研究和發(fā)展，尚需國(guó)家、行業(yè)和國(guó)有大型企業(yè)的共同努力。

[1] 齊作玉.大鍛件生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法與概念的探討.大型鑄鍛件，2010,(5):38-41.

[2] 呂亞臣，任運(yùn)來(lái)，齊作玉.構(gòu)建新一代大鍛件工藝與質(zhì)量控制系統(tǒng). 大型鑄鍛件，2010,(6):42-45.

[3] 齊作玉，呂亞臣，任運(yùn)來(lái).大鍛件統(tǒng)計(jì)學(xué)Chi-square test的研究和應(yīng)用.大型鑄鍛件，2011,(1):9-25.

[4] 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研組編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).第1版.北京:高等教育出版社，1979， 208-226.

[5] 《大型鍛件的生產(chǎn)》編寫組編. 大型鍛件的生產(chǎn).第1版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1978，30-41.

[6] 李兆勁.電渣重熔對(duì)鋼的各向異性的改善.大型鑄鍛件，1995,(2):28-32.