多項(xiàng)式的友陣及其應(yīng)用

周立仁

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 岳陽 414006)

多項(xiàng)式的友陣及其應(yīng)用

周立仁

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 岳陽 414006)

利用多項(xiàng)式的友陣判別兩個(gè)多項(xiàng)式有無公共根, 從而解決一類多元高次方程的求解問題.

多項(xiàng)式; 友陣; 方程; 根

多元高次方程組是否有解的判定及求解方法都較繁難. 本文利用多項(xiàng)式友陣判別兩個(gè)多項(xiàng)式有無公共根, 從而較易解決一類多元高次方程組的求解.

定義設(shè)數(shù)域上的一多項(xiàng)式

稱A為的友陣.

定理(Barnett) 設(shè)是首一復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式, 且次數(shù)均不小于1,A為的友陣, 則非退化.

推論設(shè)是次數(shù)不小于1的首一復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,A為的友陣, 則有公共根為退化陣.

由于在定理中f(x)與g(x)的地位是對等的, 故若互換它們的位置, 相應(yīng)的結(jié)論亦成立.

在利用上述結(jié)論去判斷多項(xiàng)式有無公共根時(shí), 關(guān)鍵一步是計(jì)算友陣的方冪. 下面介紹當(dāng)冪指數(shù)k不超過友陣A的階數(shù)n時(shí), 求的一種簡易方法, 其步驟為先求出Ak的第1列, 再由第1列推出第2列, 再由第2列推出第3列,, 直至推出第n列.

其中α是A的末列向量. (4)式給出了kA的第1列的求法.

例1 解方程組

[1] 楊家騏, 王卿文. 高等代數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M]. 第3版. 北京: 高等教育出版社, 2003

Polynomial Companion Matrix and It’s Applications

ZHOU Li-ren
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

A class of multivariate higher order equations was solved by using polynomial companion matrix to judge that whether two polynomials have common roots or not.

polynomial; companion matrix; equations; root

O151.2

A

1672-5298(2012)02-0014-03

2012-03-25

周立仁(1959- ), 男, 湖南湘陰人, 湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院副教授. 主要研究方向: 矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用