非飽和土毛細滯回與變形耦合彈塑性本構(gòu)模型

馬田田，韋昌富，陳 盼，魏厚振，伊盼盼

（1.中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 巖土力學(xué)與工程國家重點實驗室，武漢 430071；2. 武昌理工學(xué)院，武漢 430223）

1 引 言

在分析非飽和土問題時，通常將水力學(xué)和力學(xué)性質(zhì)分開考慮。但試驗現(xiàn)象表明，非飽和土中滲流與變形存在復(fù)雜的耦合作用[1－2]。滲流過程影響土體的強度與變形，例如反復(fù)的干、濕循環(huán)會使非飽和土的強度降低[3]。同時，土體的變形又會改變非飽和土的土-水特性，從而影響孔隙水的滲流過程[4]。因此，有效地模擬任意含水率變化路徑下非飽和土的滲流、變形及強度變化之間的耦合作用是亟需解決的關(guān)鍵問題。要解決該關(guān)鍵問題首先需要建立兩個本構(gòu)方程，即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和土-水特征關(guān)系及其之間的相互影響。

Alonso等[5]在修正劍橋模型的基礎(chǔ)上，提出BBM（Barcelona Basic Model）[6]模型。該模型采用雙應(yīng)力變量，引入 LC（Loading-Collapse）屈服面概念來考慮吸力對屈服應(yīng)力的硬化作用，能夠模擬非飽和土吸水濕陷現(xiàn)象。采用 SI、SD屈服面來描述飽和度的塑性屈服。Wheeler等[7]用吸力控制的非飽和土等向壓縮和三軸試驗數(shù)據(jù)驗證了BBM模型的合理性。Wheeler[8]、Nuth[9]、孫德安[10]、繆林昌[11]和盛岱超等[12]在BBM模型基礎(chǔ)上，采用有效應(yīng)力代替凈應(yīng)力作為應(yīng)力狀態(tài)變量，也用LC屈服面描述非飽和土在不同應(yīng)力下的吸水濕陷現(xiàn)象。

Wheeler等[7]指出，BBM等非耦合本構(gòu)模型不能預(yù)測在常吸力下飽和度隨著剪切而發(fā)生變化的特性，也不能反映飽和度隨變形的發(fā)展增大的這種耦合特性。因此，不能準確地預(yù)測不排水條件下非飽和土的水力和力學(xué)性狀。BBM模型及其以此為基礎(chǔ)發(fā)展的模型，以塑性體變?yōu)橛不瘏?shù)，因此，不能反映當(dāng)塑性體變不變時，吸濕即基質(zhì)吸力減小使屈服面縮小的現(xiàn)象[8]。

在描述非飽和土的本構(gòu)行為時，目前最流行的做法是基于“LC曲線”提出的模型，用來反映屈服應(yīng)力隨吸力的硬化作用。為了反映土體塑性變形中的非飽和效應(yīng)，LC曲線（加載-崩塌）已成為許多傳統(tǒng)非飽和土本構(gòu)模型的核心組成部分[2,5－7,13]。

但研究發(fā)現(xiàn)，基于LC屈服面的模型有以下局限性[14]：①該類模型在含水率循環(huán)變化時不適用，如在飽和與非飽和狀態(tài)的轉(zhuǎn)換區(qū)域附近，如果土體處于脫濕過程且基質(zhì)吸力小于進氣值，可視為飽和土；如果土體處于吸濕過程，則表現(xiàn)出明顯的非飽和特性；②LC曲線只是描述屈服強度隨吸力增加而增大的性質(zhì)，而沒有引入飽和度作為基本變量，因此，不能考慮前期含水率及其變化歷史的影響[8]。由于存在毛細滯回效應(yīng)，即使在吸力相同的情況下，飽和度并不相同，土體表現(xiàn)出完全不同的力學(xué)特性；③模型中沒有考慮毛細循環(huán)滯回特性；④沒有考慮飽和度及其循環(huán)變化和土體變形及強度變化之間的耦合效應(yīng)[8]。

目前主要有兩種方式考慮吸力對前期固結(jié)壓力的硬化作用，韋昌富[14]、Khalili[15]和 Tamagnini[16]等在原本的硬化函數(shù)基礎(chǔ)上乘以一個受吸力影響的系數(shù)，此種方法可以描述吸力的影響與體積硬化作用兩者的耦合效應(yīng)，其中韋昌富[14]是將吸力改為飽和度，未考慮吸力的影響；Jommi[17]、Li[18]則認為，吸力對土體應(yīng)變硬化有一個附加作用，將吸力的影響與體變硬化的作用分別考慮，總的硬化函數(shù)等于兩者之和。

Loret等[19]分析試驗數(shù)據(jù)提出以式（1）表示吸力對前期固結(jié)壓力的硬化作用，

式中：pc為非飽和土的屈服應(yīng)力；pc0為飽和土的初始屈服應(yīng)力；X為硬化參數(shù)；ξ為系數(shù)；pcm(Sc)、pca(Sc)為吸力對前期屈服應(yīng)力的貢獻，Sc為基質(zhì)吸力； pcm(Sc)=1為體應(yīng)變硬化與吸力影響之間是解耦的， pca(Sc)=1為體應(yīng)變硬化與吸力影響是耦合的。但上述模型都沒有考慮飽和度和基質(zhì)吸力同時對初始屈服應(yīng)力的貢獻。

Wheeler[20]、Mualem[21]通過試驗發(fā)現(xiàn)，飽和度對非飽和土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系有很大的影響，建議在非飽和土彈塑性本構(gòu)模型中引入循環(huán)土-水特征曲線，來描述含水率循環(huán)變化對非飽和土變形的影響。

在描述土-水特征曲線時，所見模型主要分為4種：經(jīng)驗?zāi)Ｐ?、區(qū)域模型[21]、理性外推模型[22]和邊界面模型[23]。盡管這些模型不同程度地考慮了毛細滯回現(xiàn)象，但很少反映土體變形對持水特征的影響?？娏植齕24]、方祥衛(wèi)[25]、龔壁衛(wèi)等[26]通過試驗研究了土體的密實狀態(tài)對土-水特征關(guān)系的影響，Gallipoli[27]通過試驗提出了土體體變與 van Genuchten模型[28]參數(shù)的關(guān)系，因此，可以考慮體變對土-水特征曲線的影響?；谝陨洗嬖诘膯栴}，本文將吸力和飽和度同時作為硬化參數(shù)，在同一個框架中建立了塑性變形和毛細滯回耦合的本構(gòu)模型。

2 非飽和土毛細滯回與骨架變形耦合本構(gòu)模型

2.1 應(yīng)力狀態(tài)變量

應(yīng)力狀態(tài)變量采用Bishop[29]有效應(yīng)力σi′j和基質(zhì)吸力Sc：

在三軸應(yīng)力狀態(tài)下：

式中：σij為總應(yīng)力張量；σi′j為有效應(yīng)力張量；Sr為飽和度；ua、uw分別為孔隙氣壓力和孔隙水壓力；δij為單位張量。式（1）是將Bishop有效應(yīng)力[29]中的參數(shù)χ取為飽和度Sr[15]。Houlsby[30]提出與此應(yīng)力狀態(tài)變量（σi′j，Sc）功共軛的應(yīng)變?yōu)椋é舏j，Sr），其中εij為應(yīng)變張量。p′為平均有效應(yīng)力；q為廣義剪應(yīng)力；p為平均總應(yīng)力。

2.2 基質(zhì)吸力和飽和度對屈服應(yīng)力的作用

在達到相同吸力的條件下，分別通過吸濕和脫濕之后的土樣含水率的大小、分布可能并不相同，如圖1所示。從非飽和土的CT掃描圖[31－32]可以看出，相同含水率條件下，孔隙水的分布狀態(tài)是不同的，經(jīng)歷吸濕過程的土樣比經(jīng)歷脫濕過程的含水率分布更加均勻，因此，非飽和土的力學(xué)性質(zhì)也不同。通過測量兩種狀態(tài)試樣的壓縮波傳播時發(fā)現(xiàn)，前者的壓縮波速明顯比后者小[31,33－34]。

圖1 非飽和土的CT掃描圖（飽和度均為92%時分別經(jīng)過吸濕和脫濕而成的土樣）Fig.1 CT images of unsaturated soil(degree of saturation is 92%, after drying and wetting respectively)

從上面的分析可知，由于毛細滯回的影響，非飽和土體的土-水狀態(tài)與土體所經(jīng)歷的水力狀態(tài)密切相關(guān)，而土-水狀態(tài)的變化必將影響土體的強度與變形。因此，必須要同時考慮基質(zhì)吸力和飽和度對前期固結(jié)壓力的影響。通過試驗[35]發(fā)現(xiàn)，屈服應(yīng)力隨著吸力的增加、飽和度的減小而增大，因此，假設(shè)用式（6）來考慮吸力和飽和度對屈服應(yīng)力的硬化作用，

采用類似Alonso[5]提出的壓縮曲線的斜率與吸力的關(guān)系，定義h函數(shù)為

式中：r為非飽和土處于殘余飽和度時的強度與飽和土屈服強度的比值；m為屈服應(yīng)力隨飽和度和吸力增長的速度；為最大的塑性體積應(yīng)變；為殘余飽和度；Sb為非飽和土的進氣值； Sc/Sb為吸力比?！?〉為Macauley大括號，定義為 x = xH(x)，其中H(x)為Heaviside公式。

式（7）滿足以下條件：①當(dāng) Sr= 100%和Sc=0時，h=1.0；②隨著Sr的減小，Sc的增大而增大，并趨于一個穩(wěn)定值；③隨著的增大，飽和度和基質(zhì)吸力對強度的影響逐漸減弱，當(dāng)趨于最大值即時，飽和度和基質(zhì)吸力不再對強度有影響。

本文采用修正劍橋模型[36]，如圖2所示，屈服函數(shù)為

式中：f為屈服函數(shù)；M為臨界狀態(tài)線的斜率。

圖2 修正劍橋模型的屈服面Fig.2 Yield surfaces of modified Cam-clay model

圖中飽和土的屈服應(yīng)力pc0是塑性體變的函數(shù)。非飽和土的屈服應(yīng)力pc是塑性體變、飽和度、基質(zhì)吸力的函數(shù)。

彈性變形和塑性變形分別為

式中：λ、κ為初始壓縮曲線的斜率和回彈斜率；υ為土體比容積。

采用相關(guān)流動法則

式中：G為土體的剪切模量。硬化準則為

從前面的推導(dǎo)得出，吸力和飽和度對屈服應(yīng)力的硬化作用如圖3所示。圖中實線為脫濕時基質(zhì)吸力對前期屈服應(yīng)力的影響，虛線為吸濕時基質(zhì)吸力對前期屈服應(yīng)力的影響，圖上的數(shù)據(jù)點為Wheeler[7]所做的試驗。從圖上可以看出，當(dāng)基質(zhì)吸力相同時，由于存在滯回效應(yīng)，脫濕對應(yīng)的飽和度比吸濕時高，所以相應(yīng)的屈服應(yīng)力較吸濕時小，而且含水率分布較不均勻，這點與前面提出的飽和度的作用相對應(yīng)。

圖3 模型得出的LC曲線與試驗數(shù)據(jù)的對比Fig.3 Comparison between simulated LC curves and tested data

從上面的分析可以看出，盡管沒有將基質(zhì)吸力當(dāng)作獨立變量來考慮，但推導(dǎo)得出的LC曲線與試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果良好。

2.3 變形對土-水特征關(guān)系的影響

Wei等[37]嚴格以內(nèi)變量熱動力學(xué)和多孔介質(zhì)理論為基礎(chǔ)，提出了一個簡單實用的毛細滯回內(nèi)變量模型。該模型基于多相、多孔介質(zhì)理論，將毛細循環(huán)現(xiàn)象視為一個非飽和土的能量耗散過程。在循環(huán)邊界曲線給定的情況下，該模型只需一個參數(shù)就能確定任意含水率變化路徑下非飽和土的土-水特征關(guān)系。該模型改進后可以考慮體變對土水特征關(guān)系的影響。

該模型以Feng等[38]提出的土-水特征曲線為邊界線

式中：b、d、b0、d0、α為材料參數(shù)，與土體的土-水狀態(tài)相關(guān)，在脫濕和吸濕時取不同值。

當(dāng)不考慮變形的影響時，基質(zhì)吸力與飽和度變化關(guān)系為

通過試驗發(fā)現(xiàn)，土體的孔隙比對土-水特征曲線有重要影響[39]，孔隙比減小時，進氣值增大，土-水特征曲線向右移動。

考慮變形對土-水特征曲線的影響，有

式中：Vw、Vv分別為水和孔隙的體積；等號右邊第1項表示基質(zhì)吸力對飽和度的影響，第2項描述變形對飽和度變化的影響。忽略彈性變形的影響，式（17）可以變?yōu)?/p>

式中：n為孔隙率；第2項表示毛細滯回與變形的耦合效應(yīng)。

3 模型驗證

3.1 各向同性壓縮和吸濕試驗

采用孫德安[40]的各向同性加壓濕陷試驗來驗證所提出的模型。試樣采用屬于粉質(zhì)黏土的珍珠黏土（pearl clay），非飽和擊實樣。此黏土的液限為49%，塑限為22%，土粒相對密度為2.71，初始含水率為26%。圖4為模型模擬的結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)對比圖。應(yīng)力路徑為從 A點（ pnet=20 kPa，Sc=147 kPa）保持吸力為常數(shù)加載到 B點（pnet=98 kPa， Sc= 147 kPa），然后保持凈應(yīng)力不變，進行吸濕試驗，到達 C點（ pnet=98 kPa,Sc=0 kPa），最后土樣在 0吸力下各向同性壓縮至196 kPa。其中pnet為平均凈應(yīng)力， pnet=p-ua。圖上從A點到B點和C點到D點為各向同性壓縮，B點到C點為吸濕路徑，當(dāng)吸力減小時，屈服應(yīng)力降低。類似地，另外一條路徑從 pnet= 196 kPa 開始吸濕。從圖上可以看出，盡管吸濕時有效應(yīng)力降低，但屈服應(yīng)力也在減小，土體的塑性變形大于回彈體變，因此，發(fā)生了濕陷現(xiàn)象。

圖4 凈應(yīng)力與比容積的關(guān)系Fig.4 Relation between net stress and specific volume

圖5 基質(zhì)吸力與濕陷變形的關(guān)系和SWCC曲線Fig.5 Relation between matric suction and deformation and SWCC

圖6為當(dāng) Sc= 147 kPa時各向同性壓縮之后，在時進行吸濕。圖中是飽和度隨平均凈應(yīng)力的變化關(guān)系，因為有塑性應(yīng)變發(fā)生，飽和度隨著凈應(yīng)力增大而略微增大。這是由于塑性變形使孔隙比減小造成的。

圖6 飽和度隨凈應(yīng)力的變化關(guān)系Fig.6 Variation of saturation with net stress

圖7為土樣在給定的平均凈應(yīng)力下經(jīng)過吸濕和脫濕之后的比容積變化，從圖可以看出，土體在吸濕階段會產(chǎn)生彈性膨脹，而在脫濕階段則表現(xiàn)出明顯塑性收縮現(xiàn)象，這與Sharma[3]得出的結(jié)論相一致。

圖7 模型對吸濕、脫濕循環(huán)中比容積變化的模擬Fig.7 Specific volume change obtained by simulation under of wetting and drying cycles

3.2 常凈應(yīng)力和常吸力下的剪切試驗

采用孫德安[1]所做的非飽和土三軸試驗結(jié)果進行模擬。根據(jù)試驗結(jié)果，得出pearl clay的力學(xué)參數(shù)為 λ=0.12，κ=0.03， pc0= 70 kPa，r=4.5，m= 3.65，=0.15，G= 8 MPa。

土 樣 在 pnet= 196 kPa 、 Sc= 147 kPa時 ，q= 0 → 296 kPa加載至破壞。圖8～11為試驗結(jié)果和模型模擬的對比。圖8為體變εv與主應(yīng)變ε1之間的關(guān)系。圖9、11為主應(yīng)力比 σ1/σ3與主應(yīng)變ε1、ε3之間的關(guān)系。圖 10為 σ1/σ3與飽和度Sr之間的關(guān)系，圖上初始的直線段表示土樣為彈性狀態(tài)，與前面忽略彈性體變對飽和度的影響假設(shè)相一致。從圖9、11中可以看出，模型得出第一主應(yīng)變較小，第三主應(yīng)變較大，與試驗數(shù)據(jù)有偏差，但總體上的趨勢是相一致的。圖 10中的直線段為初始的彈性變形，對飽和度沒有影響。

圖8 第一主應(yīng)變與體變的試驗結(jié)果與模型預(yù)測Fig.8 Test and prediction results of maximum principal strain and volume strain

圖9 第一主應(yīng)變與主應(yīng)力比的試驗結(jié)果與模型預(yù)測Fig.9 Test and prediction results of maximum principal strain and ratio of principal stresses

圖10 飽和度與主應(yīng)力比的試驗結(jié)果與模型預(yù)測Fig.10 Test and prediction results of saturation and ratio of principal stresses

圖11 第三主應(yīng)變與主應(yīng)力比的試驗結(jié)果與模型預(yù)測Fig.11 Test and prediction results of minor principal strain and ratio of principal stresses

3.3 體變對土-水特征曲線的影響

土體發(fā)生體變時，孔隙比降低，進氣值增大，因此，使得土-水特征曲線向外移動。模型所得結(jié)果如圖12所示，從圖可以看出，體變對吸濕的影響較脫濕大。這是因為體積壓縮導(dǎo)致孔隙變小，大孔隙比例減小，使得大孔隙對小孔隙的阻隔作用減弱，形成的滯回圈變小。

圖12 體變對土-水特征曲線的影響Fig.12 Effect of volume strain on soil-water characteristic curves

4 結(jié) 論

本文在修正劍橋模型的基礎(chǔ)上，考慮了非飽和土的硬化作用建立了毛細滯回與變形耦合的本構(gòu)模型。該模型摒棄了傳統(tǒng)模型的LC曲線，在修正劍橋模型和毛細滯回內(nèi)變量模型的基礎(chǔ)上增加了兩個參數(shù)考慮基質(zhì)吸力和飽和度對屈服應(yīng)力的硬化作用。兩個參數(shù)可通過試驗得出的LC曲線得到。其他參數(shù)可通過常規(guī)的力學(xué)和水力學(xué)試驗得到。通過與試驗結(jié)果對比，證明此模型可以模擬基本的非飽和土力學(xué)與水力學(xué)行為，包括濕陷、強度隨基質(zhì)吸力的增加而增大等。而且同時考慮了體變對土-水特征曲線的影響，毛細滯回及其含水率變化歷史對變形的影響。

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